微分方程基本概念

1、2021/8/61微分方程 第十二章yxfy求已知, )( 積分問題積分問題 yy求及其若干階導數(shù)的方程已知含, 微分方程問題微分方程問題 推廣 2021/8/62微分方程的基本概念 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一節(jié)引例引例 第十二章 2021/8/63引例引例1. 一曲線通過點(1,2) ,在該曲線上任意點處的解解: 設(shè)所求曲線方程為 y = y(x) , 則有如下關(guān)系式:xxy2ddxxyd2Cx 2(C為任意常數(shù))由 得 C = 1,.12 xy因此所求曲線方程為21xy由 得切線斜率為 2x , 求該曲線的方程 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/8/64引例引

2、例2. 列車在平直路上以sm20的速度行駛, 制動時獲得加速度,sm4 . 02a求制動后列車的運動規(guī)律.解解: 設(shè)列車在制動后 t 秒行駛了s 米 ,已知4 . 0dd22ts,00ts200ddtts由前一式兩次積分, 可得2122 . 0CtCts利用后兩式可得0,2021CC因此所求運動規(guī)律為tts202 . 02說明說明: 利用這一規(guī)律可求出制動后多少時間列車才能停住 , 以及制動后行駛了多少路程 . 即求 s = s (t) .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/8/65常微分方程偏微分方程含未知函數(shù)及其導數(shù)的方程叫做微分方程微分方程 .方程中所含未知函數(shù)導數(shù)的最高階數(shù)叫

3、做微分方程(本章內(nèi)容)0),()(nyyyxF),() 1()(nnyyyxfy( n 階顯式微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地 , n 階常微分方程的形式是的階階.分類或機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/8/66,00ts200ddtts引例24 . 022ddxy 使方程成為恒等式的函數(shù).通解通解 解中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程) 1(00) 1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 確定通解中任意常數(shù)的條件.n 階方程的初始條件初始條件( (或初值條件或初值條件) ):的階數(shù)相同.特解特解xxy2dd21xy引例1 Cxy22122 . 0Ct

4、Cts通解:tts202 . 0212 xy特解:微分方程的解解 不含任意常數(shù)的解, 定解條件定解條件 其圖形稱為積分曲線積分曲線. .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/8/67例例1. 驗證函數(shù)是微分方程tkCtkCxsincos2122ddtx的解,0Axt00ddttx的特解 . 解解: 22ddtxt kkCsin22)cossin(212t kCt kCkxk2這說明tkCtkCxsincos21是方程的解 . 是兩個獨立的任意常數(shù),21,CC),(21為常數(shù)CCt kkCcos2102xk利用初始條件易得: ,1AC 故所求特解為tkAxcos,02C故它是方程的通解.并求滿足初始條件 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/8/68求所滿足的微分方程 .例例2. 已知曲線上點 P(x, y) 處的法線與 x 軸交點為 QPQxyox解解: 如圖所示, yYy1)(xX 令 Y = 0 , 得 Q 點的橫坐標yyxX,xyyx即02 xyy點 P(x, y) 處的法線方程為且線段 PQ 被 y 軸平分, 第二節(jié) 目錄