大連海事大學(xué) 平穩(wěn)隨機(jī)過程

1、2012.11 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程 平穩(wěn)隨機(jī)過程 各態(tài)歷經(jīng)過程 復(fù)隨機(jī)過程 高斯隨機(jī)過程提綱平穩(wěn)隨機(jī)過程 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程 定義：一個(gè)隨機(jī)過程X(t)，如果它的n維概率密度（或n維分布函數(shù)）不隨時(shí)間起點(diǎn)選擇的不同而改變，即對任何的n和 ，X(t)的n維概率密度滿足 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性與所選取的時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，整個(gè)過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化),(),(21212121nnXnnXtttxxxptttxxxp平穩(wěn)隨機(jī)過程 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程 性質(zhì)1：若X(t)為平穩(wěn)過程，則它的一維概率密度與時(shí)間無關(guān) 令 ，有)()0 ,(),(),(111111xpxptxptxpXXXX1, 1tn

2、平穩(wěn)隨機(jī)過程 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程 性質(zhì)1： X(t)的均值，均方值和方差也都是常數(shù)，不再是時(shí)間的函數(shù)11212)()(dxxpxtXEXXXmdxxpxtXE111)()(21121)()(XXXdxxpmxtXD）（平穩(wěn)隨機(jī)過程Ot)(tXXmXXmXXmOt)(tYYmYYmYYm兩個(gè)平穩(wěn)過程的典型例子（相同的均值與方差）平穩(wěn)隨機(jī)過程 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程 性質(zhì)2：平穩(wěn)過程X(t)的二維概率密度只與t1,t2的時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)t1無關(guān)令 ，且 ，則),(),(21212121ttxxpttxxpXX1t),(), 0 ,(),(2112212121xxpttxxpttxxpXXX12tt

3、平穩(wěn)隨機(jī)過程 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程性質(zhì)2： X(t)的自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)都僅是時(shí)間間隔 的函數(shù) 當(dāng) 時(shí)，)(),(),(21212121XXXRdxdxxxpxxttR 2212121)()()(),(),(XXXXXXmRtmtmttRttC022)0()0(XXXXmRC平穩(wěn)隨機(jī)過程 寬平穩(wěn)隨機(jī)過程/廣義平穩(wěn)過程（只在相關(guān)理論范圍內(nèi)考慮的平穩(wěn)隨機(jī)過程） 定義：若隨機(jī)過程滿足 X(t)和Y(t)聯(lián)合寬平穩(wěn))(),(),()(21221tXEttRttRmtXEXXX1221),(),(ttRttRXYXY平穩(wěn)隨機(jī)過程 寬平穩(wěn)隨機(jī)過程 一個(gè)嚴(yán)平穩(wěn)過程只要均方值有界，就是廣義平穩(wěn)的，反之則不一定

4、 一個(gè)廣義平穩(wěn)的高斯過程必定是嚴(yán)平穩(wěn)的 本書以后的內(nèi)容中，凡是提到平穩(wěn)過程時(shí)，除特別指明外，通常都指寬平穩(wěn)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程 例：設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)過程式中Y是隨機(jī)變量，試分別討論兩個(gè)隨機(jī)過程的平穩(wěn)性 解：對于隨機(jī)過程 常數(shù) 常數(shù)YtX)(1tYtX)(2YXmYEtXEtm)()(11)(1tX)()(),(22111211YEtXtXEttRX),()(2211YEttRtXEX平穩(wěn)隨機(jī)過程 為寬平穩(wěn)過程 對于隨機(jī)過程 的均值與時(shí)間有關(guān)，自相關(guān)函數(shù)與時(shí)間t1,t2均有關(guān)，所以不是平穩(wěn)過程)(1tX)(2tXYXtmYtEtYEtXEtm)()(22)()(),(2212212212212YEttY

5、ttEtXtXEttRX)(2tX平穩(wěn)隨機(jī)過程 例：設(shè)有狀態(tài)連續(xù)，時(shí)間離散的隨機(jī)過程式中t只能取整數(shù)值，即t=1,2,式中A是在(0,1)上均勻分布的隨機(jī)變量，試討論X(t)的平穩(wěn)性 解：(1)可以證明X(t)是寬平穩(wěn)的AttX2sin)(daaatpAtEtXEA)(2sin)2sin()(02sin10atda平穩(wěn)隨機(jī)過程所以，X(t)是寬平穩(wěn)的 (2)討論X(t)是否是嚴(yán)平穩(wěn)的令 過程的狀態(tài)為102121212sin2sin)()(),(daatattXtXEttRXdaattatt101212)(2cos)(2cos212121, 0, 5 . 0tttt1tt 平穩(wěn)隨機(jī)過程這表明，過

6、程的一維變量x與a是雙值關(guān)系，于是求得過程的一維概率密度為可見，X(t)的一維概率密度與時(shí)間t有關(guān)，因此X(t)只是寬平穩(wěn)的，不是嚴(yán)平穩(wěn)過程)2sin(2sin1111atatx2221111)()(),(xtdxdaapdxdaaptxpX平穩(wěn)隨機(jī)過程 平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)性質(zhì) 1.平穩(wěn)過程的均方值就是自相關(guān)函數(shù)在 時(shí)的非負(fù)值 2.自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)證：0)()0(2tXERX0)()(XXRR)()()()()()(XXRtXtXEtXtXER平穩(wěn)隨機(jī)過程 平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)性質(zhì) 3.自相關(guān)函數(shù)在 具有最大值 物理意義：同一時(shí)刻隨機(jī)過程自身的相關(guān)性最強(qiáng) 注意：不排除 時(shí)，也有可能出現(xiàn)同樣

7、的最大值，如周期平穩(wěn)過程證：任何正函數(shù)的數(shù)學(xué)期望恒為非負(fù)值，即0)()0(XXRR0)()(2tXtXE0)()()(2)(222tXtXtXtXE0平穩(wěn)隨機(jī)過程 平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)對于平穩(wěn)過程，有代入前式得所以0)()(2)0(2tXtXERX)()()()0(XXRtXtXER)0()()(22XRtXEtXE平穩(wěn)隨機(jī)過程 平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)性質(zhì) 4.若平穩(wěn)過程X(t)滿足條件X(t)=X(t+T)，則稱它為周期平穩(wěn)過程 周期平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)必為周期函數(shù)，且它的周期與過程的周期相同證：)()()()()()(XXRtXtXETtXtXETR平穩(wěn)隨機(jī)過程 例：設(shè)隨機(jī)過程為式中，

8、為常數(shù)，為 上均勻分布的隨機(jī)變量，N(t)為一般平穩(wěn)過程，對于所有t而言，與N(t)皆統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，求得其相關(guān)函數(shù)為結(jié)論：相關(guān)函數(shù)也含有與隨機(jī)過程X(t)的周期分量相同周期的周期分量)()cos()(0tNtatX0,a)2 , 0()(cos2)()()(02NXRatXtXER平穩(wěn)隨機(jī)過程 平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)性質(zhì) 5.不包含任何周期分量的非周期平穩(wěn)過程滿足證：對于此類非周期平穩(wěn)過程，當(dāng)增大時(shí)，隨機(jī)變量X(t)與X(t+)之間相關(guān)性會減弱，在 的極限情況下，兩者相互獨(dú)立，故有2)()(limXXXmRR2)()(lim)()(lim)(limXXmtXEtXEtXtXER平穩(wěn)隨機(jī)過程 平穩(wěn)過程

9、的自相關(guān)函數(shù)性質(zhì) 6.若平穩(wěn)過程含有平均分量（均值）為 ，則自相關(guān)函數(shù)將含有固定分量 ，即而且，若在滿足上一性質(zhì)的條件下，則有證：因此Xm2Xm2)()(XXXmCR)()0(2XXXRR2)()()()()(XXXXXmRmtXmtXEC2)()(XXXmCR平穩(wěn)隨機(jī)過程 平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)對于非周期平穩(wěn)過程有當(dāng) ，有2)(XXmR0)()0()0(2XXXXRRC平穩(wěn)隨機(jī)過程 例：平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為求X(t)的均值，均方值和方差 解：式中， 是X(t)的周期分量的自相關(guān)函數(shù)，此分量的均值為零， 是X(t)的非周期分量的自相關(guān)函數(shù)，由性質(zhì)5可得100)10cos(10010

10、0)(10eRX)()()100100()10cos(100()(2110XXXRReR)(1XR)(2XR平穩(wěn)隨機(jī)過程所以，有100)(222XXRm10)(22XXRm1021XXXmmm300)0()(2XRtXE200)0(22XXXmR平穩(wěn)隨機(jī)過程 例：已知平穩(wěn)過程X(t)的相關(guān)函數(shù)為求X(t)的均值 解：利用性質(zhì)5得 利用性質(zhì)6得261425)(XR25)(2XXRm5Xm42529)0(22XXXmR平穩(wěn)隨機(jī)過程 平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)性質(zhì) 7.自相關(guān)函數(shù)必須滿足并對所有的w都成立 平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)不含有階躍函數(shù)因子，也即自相關(guān)函數(shù)曲線圖形不會出現(xiàn)平頂，垂直邊或在幅度上的任何不

11、連續(xù)0)(deRjX平穩(wěn)隨機(jī)過程 X(t)和Y(t)聯(lián)合寬平穩(wěn) 考慮兩個(gè)寬平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)和Y(t)，如果它們的互相關(guān)函數(shù)僅是單變量的函數(shù)，即稱X(t)和Y(t)為聯(lián)合寬平穩(wěn)或?qū)捚椒€(wěn)相依1221),(),(ttRttRXYXY平穩(wěn)隨機(jī)過程 聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 1. 注：一般而言，互相關(guān)函數(shù)不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)證：)()(YXXYRR)()()()()()(YXXYRtXtYEtYtXER)(XYR)(YXR平穩(wěn)隨機(jī)過程 聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 2.證：由上式成立，必須滿足判別式即得證)0()0()(2YXXYRRR222)0()0()(YXYXXYCCC0)

12、()(2tXtYE0)0()(2)0(2XXYYRRR042 acb0)0()0(4)(42YXXYRRR平穩(wěn)隨機(jī)過程 聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 3.證：由性質(zhì)2得 因任意正數(shù)的幾何平均值小于等于它的算術(shù)平 均值，故)0()0(21)(YXXYRRR21)0()0(21)(22YXYXXYCCC)0()0()(YXXYRRR)0()0(21)0()0(YXYXRRRR各態(tài)歷經(jīng)過程 各態(tài)歷經(jīng)過程的提出 研究隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，需要對一個(gè)過程進(jìn)行大量重復(fù)的實(shí)驗(yàn)或觀察，能否以一個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)觀察到的一個(gè)樣本函數(shù)作為提取整個(gè)過程數(shù)字特征的充分依據(jù)？ 辛欽證明：有一種（在具備一定的補(bǔ)充條件下）平

13、穩(wěn)隨機(jī)過程，對其任一個(gè)樣本函數(shù)所作的各種時(shí)間平均，從概率意義上趨近于此過程的各種統(tǒng)計(jì)平均，稱之為各態(tài)歷經(jīng)過程各態(tài)歷經(jīng)過程 各態(tài)歷經(jīng)過程的提出 對各態(tài)歷經(jīng)過程的理解：這類過程的各個(gè)樣本函數(shù)都同樣地經(jīng)歷了整個(gè)過程的所有可能狀態(tài)，因此，從這類隨機(jī)過程的任何一個(gè)樣本函數(shù)中就能得到隨機(jī)過程的全部統(tǒng)計(jì)信息，即可以用任何一個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均來替代對過程的大量樣本的統(tǒng)計(jì)平均各態(tài)歷經(jīng)過程 例：在較長時(shí)間T內(nèi)觀測一個(gè)已工作在穩(wěn)定狀態(tài)下的一個(gè)噪聲二極管的輸出電壓。對其進(jìn)行采樣，對在T時(shí)間內(nèi)采得的k個(gè)電壓值 進(jìn)行算術(shù)平均，求得其時(shí)間平均為kxx,1kxxtxk1)(t)(tXO1xkx各態(tài)歷經(jīng)過程 對一個(gè)工作在穩(wěn)定

14、狀態(tài)下的噪聲二極管，在工作條件不變的情況下，對它進(jìn)行k次獨(dú)立重復(fù)的試驗(yàn)，取出它的k個(gè)條件樣本函數(shù)，并對任一時(shí)刻的狀態(tài) 的所有取值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均 當(dāng) 時(shí)，從概率意義上看 噪聲電壓在時(shí)間上的平均值與它的統(tǒng)計(jì)平均值相等)(tX)(1)()(11kjkjjxxkXtXPxtXEkT,1)()(tXEtxP各態(tài)歷經(jīng)過程1x)(1tXt)(tXOt)(tXnkx各態(tài)歷經(jīng)過程 各態(tài)歷經(jīng)過程的定義 嚴(yán)各態(tài)歷經(jīng)過程的定義如果一個(gè)隨機(jī)過程X(t)，它的各種時(shí)間平均（時(shí)間足夠長）以概率1收斂于相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)平均，即 工程上只在相關(guān)理論的范圍內(nèi)考慮各態(tài)歷經(jīng)過程，故引入寬各態(tài)歷經(jīng)過程1lim相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)平均各種時(shí)間平均TP各態(tài)

15、歷經(jīng)過程 各態(tài)歷經(jīng)過程的定義 時(shí)間平均1.隨機(jī)過程的時(shí)間均值對每個(gè)樣本函數(shù)都有一個(gè)確定的時(shí)間均值，所以隨機(jī)過程的時(shí)間均值是個(gè)隨機(jī)變量TTTdttXTtX),(21lim)(各態(tài)歷經(jīng)過程 各態(tài)歷經(jīng)過程的定義 時(shí)間平均2.隨機(jī)過程的時(shí)間相關(guān)對每個(gè)樣本函數(shù)都有一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)，所以隨機(jī)過程的時(shí)間自相關(guān)函數(shù)是個(gè)隨機(jī)過程TTTdttXtXTtXtX),(),(21lim)()(各態(tài)歷經(jīng)過程 各態(tài)歷經(jīng)過程的定義 寬各態(tài)歷經(jīng)過程的定義設(shè)X(t)是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程1.如果以概率1成立，則稱過程X(t)的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性2.如果以概率1成立，則稱過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性XmtXEtX)()()

16、()()()(tXtXEtXtX各態(tài)歷經(jīng)過程 各態(tài)歷經(jīng)過程的定義 寬各態(tài)歷經(jīng)過程的定義3.如果過程X(t)的均值和自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性，則稱X(t)為寬各態(tài)歷經(jīng)過程注：“以概率1成立”是對過程X(t)的所有樣本函數(shù)來說的各態(tài)歷經(jīng)過程 各態(tài)歷經(jīng)性的實(shí)際意義 對一般隨機(jī)過程，其時(shí)間平均是個(gè)隨機(jī)變量 各態(tài)歷經(jīng)過程各樣本函數(shù)的時(shí)間平均趨于一個(gè)非隨機(jī)的確定量 對各態(tài)歷經(jīng)過程可以直接用它的任一個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均來代替對整個(gè)過程統(tǒng)計(jì)平均的研究TTTdttxTtXE)(21lim)(TTTXdttxtxTR)()(21lim)(各態(tài)歷經(jīng)過程 例：討論隨機(jī)過程X(t)=Y的各態(tài)歷經(jīng)性，式中Y是方差不為零的

17、隨機(jī)變量t)(tXO1y3y2y4y各態(tài)歷經(jīng)過程 解： 常數(shù) 常數(shù)故隨機(jī)過程X(t)為寬平穩(wěn)的但可見， 是個(gè)隨機(jī)變量，時(shí)間均值隨Y的取值不同而變化，于是)(YEtXE)()(2YEtXtXEYYdtTtXTTT21lim)()(tX)()(tXEtX各態(tài)歷經(jīng)過程所以X(t)不是寬各態(tài)歷經(jīng)過程此例說明：平穩(wěn)過程不一定具有各態(tài)歷經(jīng)性復(fù)隨機(jī)過程 復(fù)隨機(jī)變量 定義其中X和Y均為實(shí)隨機(jī)變量 復(fù)隨機(jī)變量Z是實(shí)隨機(jī)變量X,Y組成的二維隨機(jī)變量，Z的統(tǒng)計(jì)特性可以用X和Y的聯(lián)合概率分布完整的描述jYXZ復(fù)隨機(jī)過程 復(fù)隨機(jī)變量Z的數(shù)學(xué)期望 復(fù)隨機(jī)變量Z的方差 其中 Dz與Dx,Dy的關(guān)系YXZjmmYjEXEZE

18、m2ZEZDDZZmZZYjXjmmjYXmZZYXZ)()(YXZDDYEXEYXEZED22222復(fù)隨機(jī)過程 兩個(gè)復(fù)隨機(jī)變量的相關(guān)矩 定義其中 表示復(fù)共軛，即當(dāng) 時(shí)，2121ZZECZZ111jYXZ222jYXZ111YjXZ)()(2121212121221121XYYXYYXXZZCCjCCYjXYjXEZZECZZZ21ZZZDC21復(fù)隨機(jī)過程 兩個(gè)復(fù)隨機(jī)變量的關(guān)系 若兩個(gè)復(fù)隨機(jī)變量滿足則稱Z1,Z2統(tǒng)計(jì)獨(dú)立 若兩個(gè)復(fù)隨機(jī)變量滿足 或則稱Z1,Z2不相關(guān)),(),(),(22,11,2211,22112211yxpyxpyxyxpYXYXYXYX0)()(212121ZZZZmZm

19、ZEC212121ZEZEZZERZZ復(fù)隨機(jī)過程 兩個(gè)復(fù)隨機(jī)變量的關(guān)系 若兩個(gè)復(fù)隨機(jī)變量滿足則稱Z1,Z2正交02121ZZERZZ復(fù)隨機(jī)過程 復(fù)隨機(jī)過程 定義其中X(t),Y(t)均為實(shí)隨機(jī)過程 復(fù)隨機(jī)過程Z(t)的統(tǒng)計(jì)特性可以由X(t),Y(t)得2n維聯(lián)合概率密度函數(shù)完整的描述，其概率密度為)()()(tjYtXtZ),(21212121,nnnnYXttttttyyyxxxp復(fù)隨機(jī)過程 復(fù)隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望 復(fù)隨機(jī)過程的方差 其中 與Dx(t),Dy(t)的關(guān)系)()()()(tjmtmtZEtmYXZ)()(2tZEtDZ)()()()()(tYjtXtmtZtZZ)()()(tmt

20、XtXX)()()(tmtYtYY)()()(tDtDtDYXZ復(fù)隨機(jī)過程 復(fù)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù) 復(fù)隨機(jī)過程的自協(xié)方差函數(shù) 當(dāng) 時(shí)，自協(xié)方差函數(shù)就是方差，即)()(),(tZtZEttRZ)()()()()()(),(tmtZtmtZEtZtZEttCZZZ0)(),(tDttCZZ復(fù)隨機(jī)過程 若Z(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程)(),()(),(ZZZZYXZCttCRttRjmmm復(fù)隨機(jī)過程 兩個(gè)復(fù)隨機(jī)過程的互相關(guān)函數(shù) 兩個(gè)復(fù)隨機(jī)過程的互協(xié)方差函數(shù) 若兩個(gè)復(fù)隨機(jī)過程聯(lián)合平穩(wěn)，則)()(),(2121tZtZEttRZZ)()()()()()(),(21212121tmtZtmtZEtZtZEttC

21、ZZZZ)(),(2121ZZZZRttR)(),(2121ZZZZCttC復(fù)隨機(jī)過程 兩個(gè)復(fù)隨機(jī)過程的關(guān)系 如果對任意 有則稱兩個(gè)復(fù)隨機(jī)過程互不相關(guān) 如果對任意 有則稱兩個(gè)復(fù)隨機(jī)過程正交0),(21ttCZZ0),(21ttRZZ復(fù)隨機(jī)過程 例：隨機(jī)過程X(t)由N個(gè)復(fù)數(shù)信號之和構(gòu)成，即式中， 為角頻率（常數(shù)）， 為第k個(gè)信號的幅度，是隨機(jī)變量， 是在 上均勻分布的隨機(jī)相位，現(xiàn)假設(shè)對所有變量 都是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，求X(t)的自相關(guān)函數(shù)NktjkkeAtX1)(0)(0kAk)2 , 0()2 , 1(,NkAkk復(fù)隨機(jī)過程 解：因?yàn)?統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，所以)()(),(tXtXEttRX1)(1)(00

22、0NktjkNltjlkleAeAENkNljlkjlkeAAEe11)(0)(XRkkA ,NkNljlkjXlkeEAAEeR11)()(0復(fù)隨機(jī)過程由于于是有)sin()cos()(lklkjjEeElk 20202)sin()cos()2(1lklklkddjlklk, 1, 0NkkjXAEeR12)(0高斯隨機(jī)過程 高斯隨機(jī)過程的概念 如果隨機(jī)過程X(t)的任意n維概率分布都是高斯分布，則稱它為高斯隨機(jī)過程 高斯隨機(jī)過程X(t)的n維概率密度函數(shù)其中 是n維矢量， 是協(xié)方差矩陣2)()(exp)2(1),(12/1/22121XXMXCMXCTnnnXtttxxxpXMC高斯隨機(jī)過程 高斯隨機(jī)過程的概念其中111)()()()(nnXXntmtmtXEtXEXMnnnnnnnnCCCCCCCCC212222111211CjijiXjjiiijmmttRmXmXEC),()(高斯隨機(jī)過程 高斯隨機(jī)過程的概念 高斯隨機(jī)過程的n維概率分布完全由均值矢量和協(xié)方差矩陣確定，且有關(guān)時(shí)間的因素，全部包含在均值矢量和協(xié)方差