面積計算奧數(shù)題

1、面積計算奧數(shù)題 ( 總 9 頁)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One 1 CAL本頁僅作為文檔封面，使用請直接刪除六年奧數(shù)綜合練習題十答案（圖形面積）簡單的面積計算是小學數(shù)學的一項重要內(nèi)容 ？要會計算面積，首先要能識別一些特別的圖形： 正方形、 三角形、平行四邊形、梯形等等，然后會計算這些圖形的面積 ？如果我們把這些圖形畫 在方格紙上，不 但容易識別，而且容易計算.上面左圖是邊長為4的正方形，它的面積是 4X4= 16 （格）；右圖是3X5的長方形，它 的面積是上面左圖是一個銳角三角形，它的底是5,高是4,面積是5X44-2= 10 （格）；右圖是一 個鈍角三角形

2、，底是4,高也是4,它的面積是4X4*2 = 8 （格）？這里特別說明，這兩個三角形的高線一樣長，鈍/7/角三角形的高線有可能在三角形的外面 .上面左圖是一個平行四邊形，底是 5,高是3,它的面積是5X 3= 15 （格）；右圖是一個 梯形，上底 是4,下底是7,咼是4,它的面積是（4+7 ） X44-2 = 22（格）？上面面積計算的單位用“格”，一格就是一個小正方形.如果小正方形邊長是1厘米，1格就是1平方厘米；如果小正方形邊長是 1米，1格就是1平方米？也就是說我們設定一個方格的 邊長是1個長 度單位，1格就是一個面積單位？在這一講中，我們直接用數(shù)表示長度或面積，省略了相應的長度單位和面

3、積單位.一. 三角形的面積用直線組成的圖形，都可以劃分成若干個三角形來計算面積？三角形面積的計算公式是：三角形面積二底X高*2.這個公式是許多面積計算的基礎？因此我們不僅要掌握這一公式，而且要會靈活運用4, DC長是2,那么三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍呢?解：三角形ABD與三角形ADC的高相同.三角形ABD面積二4 X高一 2.三角形ADC面積二2X高一 2？因此三角形ABD的面積是三角形ADC面積的2倍?注意：三角形的任意一邊都可以看作是底，這條邊上的高就是三角形的高，所以每個三角形都可看成有三個底，和相應的三條高例2右圖中，BD, DE, EC的長分別是2, 4,是線段AE

4、的中點，三角形ABC的高為4.求三 角形DFE 的面積.三角形 ABC面積二8X 44-2 = 16.我們把A和D連成線段，組成三角形 ADE,它與三角形ABC的高相同，而DE長是4,也是BC的一 半，因此三角形ADE面積是三角形ABC面積的一半？同樣道理，EF是AE的一半，三角形 DFE面積是 三角形ADE面積的一半.這樣一來，三角形 DFE的面積是三角形A3C面積的土三角形 DFE面積二164-4=4.例3右圖中長方形的長是20,寬是12,求它的內(nèi)部陰影部分面積.解：ABEF也是一個長方形，它內(nèi)部的三個三角形陰影部分高都與BE樣長.而三個三角形底邊的長加起來，就是FE的長.因此這三個三角形

5、的面積之和是FEXBE4-2,它恰好是長方形ABEF面積的一半.同樣道理，F(xiàn)ECD也是長方形，它內(nèi)部三個三角形（陰影部分）面積之和是它的面積的一半.因此所有陰影的面積是長方形 ABCD面積的一半，也就是20X124-2 = 120.通過方格紙，我們還可以從另一個途徑來求解 .當我們畫出中間兩個三角形的高線，把每個 三角 形分成兩個直角三角形后，圖中每個直角三角形都是某個長方形的一半，而長方形ABCD是 山這若干個長方形拼成？因此所有這些直角三角形（陰影部分）的面積之和是長方形ABCD面積的 的一半？例4右圖中，有四條線段的長度已經(jīng)知道，還有兩個角是直角，那么四邊形ABCD （陰影部 分）的面積

6、是多少？解：把A和C連成線段，四邊形 ABCD就分成了兩個，三角形 ABC和三角形ADC.對三角形ABC 來說，AB是底邊，咼是10,因此面積=4X104-2= 20.對三角形ADC來說，DC是底邊，高是8,因此面積二7X8三2 = 28?四邊形 ABCD面積二20+ 28= 48.這一例題再一次告訴我們，鈍角三角形的高線有可能是在三角形的外面例5在邊長為6的正方形內(nèi)有一個三角形 BEF線段AE = 3, DF=2,求三角形BEF的面積.解：要直接求出三角形 BEF的面積是困難的，但容易求出下面列的三個直角三角形的面積三角形ABE 面積二 3X6X2= 9.三角形BCF面積二6X （6-2）寧

7、2= 12.三角形DEF面積二2X （6-3）寧2= 3.我們只要用正方形面積減去這三個直角三角形的面積就能算出：三角形 BEF 面積二 6 X 6-9-12-3 = 12.例6在右圖中，ABCD是長方形，三條線段的長度如圖所示，M是線段DE的中點，求四邊形ABMD （陰影部分）的面積.解：四邊形ABMD中，已知的太少，直接求它面積是不可能的，我們設法求出三角形DCE與三角形MBE的面積，然后用長方形 ABCD的面積減去它們，山此就可以求得四邊形ABMD的面積.把M與C用線段連起來，將三角形 DCE分成兩個三角形.三角形DCE的面積是7X2F2 = 7.因為M是線段DE的中點，三角形DMC與三

8、角形MCE面積相等，所以三角形 MCE面積是7寧2 ?因為BE= 8是CE= 2的4倍，三角形 MBE與三角形 MCE高一樣，因此三角形 MBE面積是 X4 = 14?長方形 ABCD 面積二 7X （8 + 2）二 70.四邊形 ABMD 面積=70-7- 14= 49.二、有關(guān)正方形的問題先從等腰直角三角形講起.一個直角三角形，它的兩條直角邊一樣長，這樣的直角三角形，就叫做等腰直角三角形？它 有一個直角（90度）,還有兩個角都是45度，通常在一副三角尺中？有一個就是等腰直角三角形.兩個一樣的等腰直角三角形，可以拼成一個正方形，如圖Q）?四個一樣的等腰直角三角 形，也可以拼成一個正方形，如圖

9、（b） ?一個等腰直角三角形，當知道它的直角邊長，從圖（&）知，它的面積是直角邊長的平方一 2?當知道它的斜邊長，從圖（b）知，它的面積是斜邊的平方一 4例7右圖山六個等腰直角三角形組成？第一個三角形兩條直角邊長是 8?后一個三角形的直角 邊長， 恰好是前一個斜邊長的一半，求這個圖形的面積 ./X8/入解：從前面的圖形上可以知道，前一個等腰直角三角形的兩個拼成的正方形，等于后一個等腰直角三角形四個拼成的正方形.因此后一個三角形面積是前一個三角形面積的一半，第一個等腰直角三角形的面積是8X8*2 = 32 ?這一個圖形的面積是32 + 16+ 8+ 4 + 2 + 1= 63.例8如右圖

10、，兩個長方形疊放在一起，小長形的寬是 2, A點是大長方形一邊的中點，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么圖中陰影部分的總面積是多少？解：為了說明的方便，在圖上標上英文字母D, E, F, G.三角形 ABC的面積二2X2F2 = 2.三角形ABC, ADE, EFG都是等腰直角三角形.三角形ABC的斜邊，與三角形 ADE的直角邊一樣長，因此三角形 ADE面積二ABC面積X2 = 4.三 角形EFG的斜邊與三角形ABC的直角邊一樣長.因此三角形EFG面積二ABC面積4-2 = 1.陰影部分 的總面積是4 + 1 = 5.例9如右圖，已知一個四邊形 ABCD的兩條邊的長度AD = 7, BC

11、= 3,三個角的度數(shù)：角B和D是直 角，角A是45。 ?求這個四邊形的面積.解：這個圖形可以看作是一個等腰直角三角形ADE,切掉一個等腰直角三角形 BCE.因為A是45 °角D是90 °角E是180 °45 -90 =45 ,°所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形. 四邊形ABCD的面積，是這兩個等腰直角三角形面積之差，即7X74-2-3X34-2 = 20 ?這是1994小學數(shù)學奧林匹克決賽試題.原來試題圖上并沒有畫出虛線三角形.參賽同學是不 大容易想到把圖形補全成為等腰直角三角形？因此做對這道題的人數(shù)不多？但是有一些同學，用直線AC把

12、圖形分成兩個直角三角形，并認為這兩個直角三角形是一樣的，這就大錯特錯了？這樣 做，角A是45。，這一條件還用得上嗎？圖形上線段相等，兩個三角形相等，是不能幕眼睛來測定的，必須從兒何學上找岀根據(jù)，小學同學尚未學過兒何，千萬不要隨便對圖形下結(jié)論 ？我們 應該從題口中已有的條件作為思考的 線索？有45。和直角，你應首先考慮等腰直角三角形？現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向正方形的問題.例10在右圖11X15的長方形內(nèi)，有四對正方形（標號相同的兩個正方形為一對），每一 對是相同 的正方形，那么中間這個小正方形（陰影部分）面積是多少？15解：長方形的寬，是“一”與“二”兩個正方形的邊長之和，長方形的長，是“一”.“三”與“二

13、”三個正方形的邊長之和.長-寬=15-11=4是“三”正方形的邊長.寬乂是兩個"三”正方形與中間小正方形的邊長之和，因此中間小正方形邊長=11-4X2 = 3.中間小正方形面積二3X3= 9.如果把這一圖形，畫在方格紙上，就一目了然了 .例11從一塊正方形土地中，劃出一塊寬為1米的長方形土地（見圖），剩下的長方形土地面積是平方米？求劃出的長方形土地的面積.巧平方米解：剩下的長方形土地，我們已知道長一寬二1 （米）？還知道它的面積是平方米，那么能否從這一面積求出長與寬之和呢如果能求出，那么與上面“差”的算式就形成和差問題了.我們把長和寬拼在一起，如右圖15. T515.75從這個圖形還

14、不能算岀長與寬之和， 但是再拼上同樣的兩個正方形， 如下圖就拼成一個大正 方形，這個正方形的邊長，恰好是長方形的長與寬之和15.7515. T515.75115. 75可是這個大正方形的中間還有一個空洞 ？它也是一個正方形， 仔細觀察一下，就會發(fā)現(xiàn)，它的邊長， 恰好是長方形的長與寬之差，等于1米.現(xiàn)在，我們就可以算出大正方形面積：X 4+1X1= 64 （平方米）.64是8X8,大正方形邊長是8米，也就是說長方形的長+寬二8 （米）？因此長二（8 + 1）4-2=（米）？寬二=（米）.那么劃出的長方形面積是XI = 4. 5 （平方米）？例12如右圖.正方形ABCD與正方形EFGC并放在一起.

15、已知小正方形EFGC的邊長是6,求三 角形 AEG （陰影部分）的面積.解：四邊形AECD是一個梯形？它的下底是AD,上底是EC高是CD,因此四邊形AECD面積二（小正 方形邊長+大正方形邊長）X大正方形邊長一 2三角形ADG是直角三角形，它的一條直角邊長DG二（小正方形邊長+大正方形邊長），因此 三角形ADG面積二（小正方形邊長+大正方形邊長）X 大正方形邊長一 2.四邊形AECD與三角形ADG面積一樣大.四邊形AHCD是它們兩者共有，因此，三角形 AEH與三 角形HCG面積相等，都加上三角形 EHG面積后，就有陰影部分面積二三角形 ECG面積二小正方形面積的一半二 6X64-2 = 18

16、?十分有趣的是，影陰部分面積，只與小正方形邊長有關(guān)，而與大正方形邊長卻沒有關(guān)系三. 其他的面積這一節(jié)將著重介紹求面積的常用思路和技巧 ？有些例題看起來不難，但可以給你啟發(fā)的內(nèi)容不少，請讀者仔細體會.例13畫在方格紙上的一個用粗線圍成的圖形（如右圖）,求它的面積.謬、亠玄玄解：直接計算粗線圍成的面積是困難的，我們通過扣除周圍正方形和直角三角形來計算.周圍小正方形有3個，面積為1的三角形有5個，面積為的三角形有1個，因此圍成面積 是4X =.例6與本題在解題思路上是完全類同的？例14下圖中ABCD是6X8的長方形，AF長是4,求陰影部分三角形 AEF的面積.解：三角形AEF中，我們知道一邊AF,但

17、是不知道它的高多長，宜接求它的面積是困難的.如果把它擴大到三角形AEB,底邊AB,就是長方形的長，髙是長方形的寬，即BC的長，面積就 可以求出？三角形AEB的面積是長方形面積的一半， 而擴大的三角形AFB是直角三角形，它的兩條直角邊的長是知道的， 很容易算出它的面積？因此三角形AEF面積=（三角形AEB面積）-（三角形AFB面積）=8X64-2-4X84-2=&這一例題告訴我們，有時我們把難求的圖形擴大成易求的圖形，當然擴大的部分也要容 易求出，從而間接地解決了問題？前面例9的解法，也是這種思路.例15下左圖是一塊長方形草地，長方形的長是16,寬是10?中間有兩條道路，一條是長方形，一

18、條是平行四邊形，那么有草部分的面積（陰影部分）有多大？2 16 16 2 10解：我們首先要弄清楚，平行四邊形面積有多大 ？平行四邊形的面積是底X髙?從圖上可以 看出，底是2,高恰好是長方形的寬度？因此這個平行四邊形的面積與10X2的長方形面積相等.可以設想，把這個平行四邊形換成10X2的長方形，再把橫豎兩條都移至邊上（如前頁右圖），草地部分面積（陰影部分）還是與原來一樣大小，因此草地面積二 （16-2）X（ 10-2） = 112.例16右圖是兩個相同的直角三角形疊在一起，求陰影部分的面積8!II0I-*(?E5解：實際上，陰影部分是一個梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接來求它的

19、面積.陰影部分與三角形BCE合在一起，就是原直角三角形？你是否看出，ABCD也是梯形，它和 三角形 BCE合在一起，也是原直角三角形？因此，梯形CD的面積與陰影部分面積一樣大？梯形CD的上底BC是直角邊AD的長減去3,咼就是DC的長.因此陰影部分面積等于梯形 ABCD 面積=（8+8-3 ） X5 十 2=.上面兩個例子都啟發(fā)我們，如何把不容易算的面積，換成容易算的面積，數(shù)學上這叫等積變形？要想有這種“換”的本領(lǐng)，首先要提高對圖形的觀察能力？例17下圖是兩個直角三角形疊放在一起形成的圖形 ？己知 AF, FE, EC都等于3, CB, BD都等于4.求這 個圖形的面積.解：兩個直角三角形的面積是很容易求出的.三角形 ABC 面積二（3+3+3） ><4 弓 2=18?三角形 CDE 面積二（4+4）X 3+2=12.這兩個直角三角形有一個重疊部分一四邊形BCEG只要減去這個重疊部分，所求圖形的面積立即可以得出.因為AF= FE= EC=3所以AGF, FGE, EGC是三個面積相等的三角形.因為CB=BD=4,所以CG