彈性力學(xué)至用有限單元法求平面問題

1、上堂課第五章主要內(nèi)容上堂課第五章主要內(nèi)容 ?差分公式及差分公式及 應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解 ? 應(yīng)力函數(shù)差分解的實(shí)例應(yīng)力函數(shù)差分解的實(shí)例 ?最小勢(shì)能原理最小勢(shì)能原理 ?位移變分方程及位移變分法位移變分方程及位移變分法 本堂課本堂課 第六章第六章 有限單元法解平面問題有限單元法解平面問題 （一）（一） 6-1 6-1 基本量及基本方程的矩陣表示基本量及基本方程的矩陣表示 6-2 6-2 有限單元法的概念有限單元法的概念 6-3 6-3 單元的位移模式與解答的收斂性單元的位移模式與解答的收斂性 6-4 6-4 單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣 6-5 6-5 單元的結(jié)點(diǎn)力列

2、陣與勁度矩陣單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣 6-6 6-6 荷載向結(jié)點(diǎn)移置荷載向結(jié)點(diǎn)移置 單元的結(jié)點(diǎn)荷載列陣單元的結(jié)點(diǎn)荷載列陣 關(guān)于有限單元法關(guān)于有限單元法 ? 有限元法有限元法 是彈性力學(xué)的一種是彈性力學(xué)的一種近似解法。近似解法。 ? 基本原理基本原理 首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)，然后再利用分片插值技術(shù)與虛功原理首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)，然后再利用分片插值技術(shù)與虛功原理或變分方法進(jìn)行求解?；蜃兎址椒ㄟM(jìn)行求解。 ? FEM的特點(diǎn)的特點(diǎn) (1)(1)具有具有通用性和靈活性通用性和靈活性。 (2)(2)對(duì)同一類問題對(duì)同一類問題, ,可以編制出可以編制出通用程序通用程序, ,應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行應(yīng)用計(jì)算

3、機(jī)進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算。 (3)(3)只要適當(dāng)加密網(wǎng)格，就可以達(dá)到工程要求的精度。只要適當(dāng)加密網(wǎng)格，就可以達(dá)到工程要求的精度。 6-1 6-1 基本量及基本方程的矩陣表示基本量及基本方程的矩陣表示 采用采用矩陣表示矩陣表示, ,可使公式統(tǒng)一、簡(jiǎn)潔可使公式統(tǒng)一、簡(jiǎn)潔, ,且便于編制程序。且便于編制程序。 本章無特別指明本章無特別指明, ,均表示為均表示為平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題的公式。的公式。 1 1、基本物理量的矩陣表示、基本物理量的矩陣表示 體力體力: : f?(fx fTy)面力面力: : f ?(fTx fy)位移函數(shù)位移函數(shù): d?(u(x,y),v(x,y )T應(yīng)變應(yīng)變: ?(Txyxy)

4、應(yīng)力應(yīng)力: ?(Txyxy) 。結(jié)點(diǎn)位移列陣結(jié)點(diǎn)位移列陣: ?(uiviujvj)T結(jié)點(diǎn)力列陣結(jié)點(diǎn)力列陣: : F?(FixFiyFjxFjy)T 2、FEM中應(yīng)用的方程中應(yīng)用的方程 應(yīng)用的方程 T?u?v?u?v(1)幾何方程幾何方程: ? ? (a)?x?y?x?y? (2) 物理方程物理方程: ?D (b)其中,D為彈性矩陣,對(duì)于平面應(yīng)力問題是: ?1E?D ?2?1?0(3)虛功方程虛功方程: * T10* T?0 (c)?1?/2?0( ) F ?( ) dxdytA其中， *? 為結(jié)點(diǎn)虛位移及對(duì)應(yīng)的虛應(yīng)變。 ,6-2 有限單元法的概念 有限單元法是將連續(xù)體變換成為離散化結(jié)構(gòu)，然后再

5、用有限單元法是將連續(xù)體變換成為離散化結(jié)構(gòu)，然后再用結(jié)構(gòu)力學(xué)解法或變分解法進(jìn)行求解。即，采用有限自由度的結(jié)構(gòu)力學(xué)解法或變分解法進(jìn)行求解。即，采用有限自由度的離散單元組合體模型去描述實(shí)際具有無限自由度的研究對(duì)象，離散單元組合體模型去描述實(shí)際具有無限自由度的研究對(duì)象，是一種在力學(xué)模型上進(jìn)行近似的數(shù)值計(jì)算方法。是一種在力學(xué)模型上進(jìn)行近似的數(shù)值計(jì)算方法。 FEMFEM的分析過程：的分析過程： 1 1、結(jié)構(gòu)的離散化；、結(jié)構(gòu)的離散化； 2 2、單元分析；、單元分析； 3 3、整體分析。、整體分析。 1. 結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)離散化 ? 結(jié)構(gòu)力學(xué)研究的對(duì)象結(jié)構(gòu)力學(xué)研究的對(duì)象是是離散化結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)。如桁架，各單元。

6、如桁架，各單元( (桿件桿件) )之間除結(jié)點(diǎn)鉸結(jié)外，沒有其他聯(lián)系之間除結(jié)點(diǎn)鉸結(jié)外，沒有其他聯(lián)系( (圖圖(a)(a)。 (c) 深梁（離散化結(jié)構(gòu)）彈力研究的對(duì)象彈力研究的對(duì)象，是，是連續(xù)體連續(xù)體( (圖圖(b)(b)。 ? 將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)( (圖圖(c)(c)：即將連續(xù)體劃分為有：即將連續(xù)體劃分為有限多個(gè)、有限大小的單元，并使這些單元僅在一些結(jié)點(diǎn)處用限多個(gè)、有限大小的單元，并使這些單元僅在一些結(jié)點(diǎn)處用絞連結(jié)起來，構(gòu)成所謂絞連結(jié)起來，構(gòu)成所謂“離散化結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)”。 比如：將深梁劃分為許多三角形單元，這些單元僅在角點(diǎn)用鉸連接起來。 (c) 深梁（離散化結(jié)構(gòu)）?

7、 圖(c)與圖(a)相比,兩者都是離散化結(jié)構(gòu)；區(qū)別是，桁架的單元是桿件，而圖(c)的單元是三角形塊體（注意:三角形單元內(nèi)部仍是連續(xù)體）。 2.2.單元分析單元分析 每個(gè)三角形單元仍然假定為連續(xù)的、均勻的、各向同性的完全彈性體。因單元內(nèi)部仍是連續(xù)體，應(yīng)按彈性力學(xué)方法進(jìn)行分析。單元分析的基本過程如下： T（1）取各結(jié)點(diǎn)位移 i?(uivi) (i?1,2, )為基本未知量，然后對(duì)每個(gè)單元,分別求出各物理量,并均用 i(i?1,2, )來表示。 (2) 應(yīng)用插值公式, 由單元結(jié)點(diǎn)位移 , 求單元的位移函數(shù) ?(ijm)eTd?(u(x,y ),v(x,y ).該插值公式稱為單元的位移模式位移模式,記

8、為 eTd? .e(3)(3)應(yīng)用幾何方程應(yīng)用幾何方程, ,由單元的位移函數(shù)由單元的位移函數(shù)d,d,求出求出單元的應(yīng)變單元的應(yīng)變 ?B.(4)(4)應(yīng)用物理方程應(yīng)用物理方程, ,由單元的應(yīng)變由單元的應(yīng)變 , ,求出求出單元的應(yīng)力單元的應(yīng)力 ? S應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣 e.(5)(5)應(yīng)用虛功方程應(yīng)用虛功方程, ,由單元的應(yīng)力由單元的應(yīng)力 , ,求出求出單元的結(jié)點(diǎn)力單元的結(jié)點(diǎn)力表示為表示為 F? (FiFjFm?k .Tee單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?Fi? (FixFiy? 其中，其中， 為結(jié)點(diǎn)對(duì)單元的作用力，作用于單為結(jié)點(diǎn)對(duì)單元的作用力，作用于單元，稱為結(jié)點(diǎn)力，以正標(biāo)向?yàn)檎?。元，稱為結(jié)點(diǎn)力

9、，以正標(biāo)向?yàn)檎?(6)(6)將每一單元中的各種外荷載將每一單元中的各種外荷載, ,按虛功等效原則移置到結(jié)點(diǎn)上按虛功等效原則移置到結(jié)點(diǎn)上, ,化為化為結(jié)點(diǎn)荷載結(jié)點(diǎn)荷載 FL?(FLiFLjFLm?.eT3.3.整體分析整體分析 列出各節(jié)點(diǎn)的平衡方程，組成整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程組。 作用于結(jié)點(diǎn)i上的力有： 周圍單元對(duì)結(jié)點(diǎn)i的作用力（結(jié)點(diǎn)力） ?Fi,環(huán)繞節(jié)點(diǎn)i的那些單元移置而來的結(jié)點(diǎn)荷載 FLi,結(jié)點(diǎn)i的平衡方程為： ?F?FieeLi,(i?1 ,2,n)?其中, e表示對(duì)圍繞i 結(jié)點(diǎn)的單元求和。 經(jīng)過整理，上述平衡方程組可以表示為： K?FL整體節(jié)點(diǎn)位移列陣整體節(jié)點(diǎn)位移列陣 整體節(jié)點(diǎn)剛度列陣整體

10、節(jié)點(diǎn)剛度列陣 整體節(jié)點(diǎn)荷載列陣整體節(jié)點(diǎn)荷載列陣 6-3 單元的位移模式與解答的收斂性單元的位移模式與解答的收斂性 有限元解題的基本思路是先求節(jié)點(diǎn)處位移，再由插值求單元中任有限元解題的基本思路是先求節(jié)點(diǎn)處位移，再由插值求單元中任一點(diǎn)的位移，然后由幾何方程求應(yīng)變，最后由物理方程求應(yīng)力。一點(diǎn)的位移，然后由幾何方程求應(yīng)變，最后由物理方程求應(yīng)力。 eT?(ijm?來求出單元 首先首先,必須解決由單元的結(jié)點(diǎn)位移 Td?(u (x ,y ) v (x ,y )?。的位移函數(shù) e 應(yīng)用插值公式,可由 d。該插值公式表示了單求出位移 元中位移的分布形式,因此稱為位移模式（或位移函數(shù)）。 ? 在結(jié)點(diǎn)三角形單元中,

11、可以假定位移分量只是坐標(biāo)的線性函數(shù),也就是假定： u?1?2x?3y,? ?a?v?4?5x?6y。?插值公式(a)在結(jié)點(diǎn) xi,yi(i,j,m )應(yīng)等于結(jié)點(diǎn)位移值 ui,vi(i,j,m )。由此可列出6個(gè)方程式，聯(lián)立可求出 ?1?6將式(a)按未知數(shù) u,v,?歸納為: iiiu?Niui?Njuj?Nmum,?v?Nv? ?b?i i?Njvj?Nmvm。?或用矩陣表示為: ?ui?d?u0N0?v?i?Nij0Nm?v?0Ni0Nj0N?uj?Ne. ?c?m?vj?um?v?m? N 稱為形函數(shù)矩陣形函數(shù)矩陣,其非零元素為 Ni?(ai?bix?ciy ) 2 A ,(i,j,m

12、)? 其中， axjyj1 yj1 xji?xmy,bi? ?,ci?, ( i, j,m )m1 ym1 xmyijmoxA為ijm的面積(圖示坐標(biāo)系中,i,j,m按逆時(shí)針編號(hào)),有： 1xiyiA?121xjyj。1xmym? 三結(jié)點(diǎn)三角形單元的位移模式，略去了2次以上的項(xiàng)，因而其誤差量級(jí)是 o(?x );且其中只包含了x,y的1次項(xiàng)，所以在單元2中Ni的分布如圖(a)所示,u,v的分布如圖(b)、(c)所示。 ? FEM中以后的一系列工作，都是以位移模式為基礎(chǔ)的。 當(dāng)單元趨于很小時(shí)，即 ?x,?y?0時(shí)，為了使FEM之解逼近于真解（保證FEM收斂性）,位移模式應(yīng)滿足下列條件： 必必要要條

13、條件件 (1)位移模式必須能反映單元的剛體位移（與本單元的形變無關(guān)）。 (2)位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變（與坐標(biāo)無關(guān)）。 因?yàn)楫?dāng)單元尺寸趨于0時(shí)，單元中的位移和應(yīng)變都趨近于基本量剛體位移和常量位移。 (3)位移模式必須盡可能反映位移的連續(xù)性（與本單元的形變無關(guān)）。 相鄰單元在受力以后既不互相脫離，也不互相侵入。 充充分分條條件件 u?1?2x?3y,? ?a?v?4?5x?6y 。?5?3?5?3?將式(a)寫成 u?1?2x?y?y,?22?5?3?5?3?v?4?6y?x?x。?22?而剛體位移形式為， 可見剛體位移項(xiàng)在式(a)中均已反映。 u?u0?y,?v?v0?x,?對(duì)式(a)

14、求應(yīng)變,得： ?x?2,?y?6,?xy?3?5.可見常量應(yīng)變也已反映。 在三角形單元內(nèi)部，位移為連續(xù)；在兩單元邊界ij 上， i,j之間均為線性變化，也為連續(xù)。 因此，（因此，（a）式給定的位移模式能滿足有限單元法的解答在單元的尺寸逐）式給定的位移模式能滿足有限單元法的解答在單元的尺寸逐步取小時(shí)能夠收斂于正確解答的必要和充分條件。步取小時(shí)能夠收斂于正確解答的必要和充分條件。 6-4 6-4 單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣 上節(jié)已給出了三角形單元中的位移函數(shù)上節(jié)已給出了三角形單元中的位移函數(shù)用位移模式表示為 u?Niui?Njuj?Nmum,?v?N?ivi?Njvj?Nmv

15、m。?其中， Ni?(ai?bix?ciy)/2 A,(i,j,m )? 應(yīng)用幾何方程，求出單元的應(yīng)變列陣：?(?u?v?v?u?x?y?x?y)T?ui?bi0bj0bm0?v?i?1?2A?0 ci0cj0c?u?j?m?Be. ?a?cibicjbjcmbm?v?j?u?m?v?m?1xiyiA?121xjyj。1xmymaxjyji?xy,mmb? ?1 yji1 y,mci?1 xj1 x, ( i, j,m )m ?u?v?v?uT?(?)?x?y?x?y?ui?vi?0?uj?cm?Be. ?a?vj?bm?u ?m?v?m?bi1?0?2A?ci?0cibibj0cj0cjbj

16、bm0cm其中, B 稱為應(yīng)變矩陣應(yīng)變矩陣，用分塊矩陣表示， B?(BiBjBm),?bi0?1Bi?0 c 。i2A?cb?ii?e(b)(c)(i,j,m)再應(yīng)用物理方程，求出單元的應(yīng)力列陣： ?D?DB?S , (d)e?D?DB?S , (d)其中, S稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣， 寫成分塊形式為 D為彈性矩陣（平面應(yīng)力）： ?1E?D ?2?1?010?0? ?1?/2?0eeS?(SiSjSm),?bi?ESi?DBi? bi?22(1?)A?1?ci?2(e)? ci?ci?.1? ?bi?2?(i, j,m ) (f )對(duì)于平面應(yīng)變問題，要把上式中的對(duì)于平面應(yīng)變問題，要把上式

17、中的E和和做如下替換：做如下替換： E1E?,?21?1? 對(duì)于線性位移模式，求導(dǎo)后得到的應(yīng)變和應(yīng)力，均成為常對(duì)于線性位移模式，求導(dǎo)后得到的應(yīng)變和應(yīng)力，均成為常量，因此，稱為量，因此，稱為常應(yīng)變（應(yīng)力）單元常應(yīng)變（應(yīng)力）單元。應(yīng)變和應(yīng)力的誤差。應(yīng)變和應(yīng)力的誤差量級(jí)是量級(jí)是 , ,o(?x)其精度比位移低一階，且相鄰單元的應(yīng)力其精度比位移低一階，且相鄰單元的應(yīng)力是跳躍式的。是跳躍式的。 ? 為了提高有限單元法分析的精度，一般可采用兩種方法：為了提高有限單元法分析的精度，一般可采用兩種方法：一是將單元的尺寸減小，以便更好地反映位移和應(yīng)力的變一是將單元的尺寸減小，以便更好地反映位移和應(yīng)力的變化情況；

18、二是采用包含更高次項(xiàng)的位移模式，使位移和應(yīng)化情況；二是采用包含更高次項(xiàng)的位移模式，使位移和應(yīng)力的精度提高。力的精度提高。 6-5 6-5 單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣 現(xiàn)在來考慮其中一個(gè)單元： (1)將作用于單元上的各種外荷載,按靜力等效原則移置到結(jié)點(diǎn)上去,化為等效結(jié)點(diǎn)荷載。故單元內(nèi)已沒有外荷載。 (2)單元與周圍的單元在邊界上已沒有聯(lián)系,只在結(jié)點(diǎn)i,j,m互相聯(lián)系。 假想將單元與結(jié)點(diǎn)i 切開，則： (1)結(jié)點(diǎn)作用于單元上的力，稱為結(jié)點(diǎn)力， FTi?(FixFiy) , (i,j,m )以沿正坐標(biāo)向?yàn)檎?。?duì)單元而言,這是作用在其上的“外力外力”。(2)單元作用于結(jié)點(diǎn)的力

19、，為： ?Fi?(?FTix?Fiy) ,(i,j,m )其數(shù)值與 Fi相同，而方向相反。 應(yīng)用應(yīng)用虛功方程，虛功方程，求單元的結(jié)點(diǎn)力：求單元的結(jié)點(diǎn)力： 考察已與結(jié)點(diǎn)切開后的單元i,j,m，則此單元上作用有外力,即結(jié) ?( )T.點(diǎn)力, Fe?(FiFjFm)T;而其內(nèi)部有應(yīng)力作用，xyxy( ) , 則單元內(nèi)任一點(diǎn)? 假設(shè)發(fā)生一組結(jié)點(diǎn)虛位移 d?N( ) ,單元內(nèi)任一點(diǎn)(x,y)的虛(x,y)的虛位移為 *e?B( ) ,代入虛功方程：在單元中，外力應(yīng)變?yōu)?*ee( )上的虛功，(結(jié)點(diǎn)力 )在虛位移(結(jié)點(diǎn)虛位移 F*( )上的虛功，即： 等于應(yīng)力 ()在虛應(yīng)變 *e*e( ) ) F ?(

20、) dxdyt . ?a?* e Te* TA代入 (*)T?(B(*)e)T?(*)e)TBT,(?)與x,y無關(guān)，故式(a)成為 其中 *e( ) ) F?( ) )* e Te* e T?B dxdyt. AT( ) ) F?( ) )* e Te* e T?AB dxdyt. T*e*e是獨(dú)立的任意的虛位移，虛功方程對(duì)任意的 因?yàn)?( )( )均應(yīng)滿足，故 F?B dxdyt. ?b?eTA式式(b)是是應(yīng)力與結(jié)點(diǎn)力之間的一般關(guān)系式應(yīng)力與結(jié)點(diǎn)力之間的一般關(guān)系式。 考慮到下述應(yīng)力公式 ?D?DBe得 F?B DB dxdyt?k ?c?eTeeA其中, k?B DBdxdyt ?d?TA

21、式(c)是結(jié)點(diǎn)位移與結(jié)點(diǎn)力之間的一般關(guān)系式，k k稱為單元的勁（剛）度矩陣勁（剛）度矩陣. . 對(duì)于三節(jié)點(diǎn)三角形單元三節(jié)點(diǎn)三角形單元，B B矩陣內(nèi)均為常數(shù)， 而 ?Adxdy?A所以所以 k?B DB tA ?e?T將B B，D D的具體表達(dá)式代入即得平面應(yīng)力問題中三結(jié)點(diǎn)三角形單元的剛(勁)度矩陣，可寫成如下分塊矩陣分塊矩陣的形式： 其中， ?kii?k?kji?kmi?kijkjjkmjkim?kjm? kmm?1?1?bb?c c?bc?c brsrsrsrs?Et22ln?krs?= k ,?rs2?2?21?1?4(1? )A?crbs?brcscrcs?brbs?22? ?r,s?i

22、, j,m ;l,n?x,y.? 單元?jiǎng)哦染仃噯卧獎(jiǎng)哦染仃噆 k的性質(zhì)的性質(zhì)： (1)k k是66的方陣, k k中元素 k 表示僅在單元結(jié)點(diǎn)s沿n方向產(chǎn)lnrs生單位位移時(shí)引起結(jié)點(diǎn)r沿l方向的結(jié)點(diǎn)力。 (2)由反力互等定理， krs?ksr,所以k k是對(duì)稱矩陣，以對(duì)角線為對(duì)稱軸。 (3)當(dāng)單元作剛體平移時(shí)，如 ui?uj?um?1 , 三角形內(nèi)不產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變，結(jié)點(diǎn)力也為0。 即,k k中每一行（或列）元素之和為0（其中第1、3、5元素之和(對(duì)應(yīng)x向)或2、4、6元素之和(對(duì)應(yīng)y向)也為0）。 (4)由(3)可導(dǎo)出行列式 (k? 0 即k為為奇異矩陣奇異矩陣 )。 (5)k k的元素與 ?

23、 E, ,t,單元的形狀和方位等有關(guān)，但與單元的大小和剛體的平動(dòng)以及作 n?度轉(zhuǎn)動(dòng)無關(guān)。 某等腰直角三角形單元某等腰直角三角形單元ijm如圖所示如圖所示, ,已知在已知在例題例題 所選取的坐標(biāo)系中所選取的坐標(biāo)系中, ,單元結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)分別為單元結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)分別為: : xi?axj?0 xm?0? 應(yīng)用 yi?0yj?aym?0b? ?1 yj1 y,c1 xjii?, ( i, j,m )m1 xm1xiyiA?121xjyj。? 1xmym可得 bi?abj?0 bm? ?a2cai?0 cj?acm? ?a A?.? 應(yīng)用公式 2S?(SiSjSm)Si?DBi? ci?E?bi2(1?2)A?

24、 bic?i?.(i, j,m )?1?1?2ci2b?i?可得該單元的應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣為 S ?E(1? 2)a?10?1? ?0?001?1?. (e)?1?1?020?1?1?22?2?可得該單元的應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣為 ?10?ES?0?2(1?)a?1?0?2001?2?10?1?1?2?1?. (e)1?2?該單元的單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嚍??1? 0?0Et?k ?2(1? 2) ?1?1?21?201?21?2對(duì)1?201?21?2?稱? (f)?3?2?1?13?21?2 現(xiàn)考察結(jié)點(diǎn)力與單元中的應(yīng)力之間的關(guān)系。為了簡(jiǎn)單起見，假定只有結(jié)點(diǎn)i發(fā)生位移ui，如右圖(a

25、)所示。由上面的單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嚨孟鄳?yīng)的結(jié)點(diǎn)力為： ?FixFiyFjxFjy0FmxFmy?1TEt?102?2(1? )?F?100?Tx?y?xy?T?ui?1?,TEtuiF?其中， 。相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)2(1? 2)EuiT?1?0?2(1? )a2FT?1?0?,ta如上圖(b)中單元的兩直角面所示。根據(jù)單元的平衡條件,還可得出斜位移及結(jié)點(diǎn)力如圖所示 面上的應(yīng)力,如圖所示。若將這三個(gè)面上的應(yīng)力分別按靜力等效原 另一方面，由于發(fā)生了位移ui,則根據(jù)上面得到的應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣，則積累到結(jié)點(diǎn)上去，可以得到圖(a)中相同的結(jié)點(diǎn)力。 可得應(yīng)力分量為 6-6 6-6 荷載向結(jié)點(diǎn)移置荷載向結(jié)點(diǎn)移置,

26、 ,單元的結(jié)點(diǎn)荷載列陣單元的結(jié)點(diǎn)荷載列陣 在FEM中,須將作用于單元上的外荷載向結(jié)點(diǎn)移置，化為等效結(jié)點(diǎn)荷載等效結(jié)點(diǎn)荷載， Fe?(FFF)TLLiLjLm ?(FLixFLiyFLjxFLjyFLmxFLmy) .T? 1、靜力等效原則、靜力等效原則 單元節(jié)點(diǎn)荷載列陣單元節(jié)點(diǎn)荷載列陣 (1)剛體靜力等效原則剛體靜力等效原則: 使原荷載與移置荷載的主矢量以及對(duì)同一點(diǎn)的主矩也相同。 (2)變形體靜力等效原則變形體靜力等效原則: 即在任意的虛位移上，使原荷載與移置荷載的虛功相等。 剛體靜力等效原則只從運(yùn)動(dòng)效應(yīng)來考慮,得出移置荷載不是唯一的解; 變形體的靜力等效原則考慮了變形效應(yīng), 在一定的位移模式下, 其結(jié)果是唯一的, 且滿足了前者條件。 所以在在FEM中，采用變形體的靜力等效原則中，采用變形體的靜力等效原則 。 2 2、集中力的移置公式、集中力的移置公式 fP?