第五章彎曲應(yīng)力(材料力學(xué))要點(diǎn)

1、忖M力學(xué)I電帙賽第五章彎曲一力材料力學(xué)第五章考曲應(yīng)力2016年U月9日布也力攀I電¥餃賽第五章，由力第五章彎曲應(yīng)力 §54純彎曲 E§52純彎曲時(shí)的正應(yīng)力 E § 5-3橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力EE§S4彎曲切應(yīng)力 JE § 5-5*關(guān)于彎曲理論的基本假設(shè)CE§5-6提高彎曲強(qiáng)度的措施材格 力攀I電子械索第五章彎曲應(yīng)力r MI 電 ¥6 集第五章客曲庭力梁橫截面彎曲應(yīng)力穹曲正應(yīng)力otM彎曲切應(yīng)力TT&問題性質(zhì)連續(xù)體的管不定問題分析方法幾何：試驗(yàn)（外部變影觀測(cè)）=假設(shè)（內(nèi)部變形假設(shè)）=應(yīng)變分布規(guī)，律與公式 物理二應(yīng)

2、力分布規(guī)律與公式 你力學(xué):確定應(yīng)力大小/歹'§5-1純彎曲純彎曲和橫力彎曲的概念在八。和D8段，梁的橫截 面既有彎矩，又有剪力，這 種情況稱為橫力警曲（剪切 一曲）。在CO段內(nèi)，梁的橫截面 上剪力為零，而彎矩為常量， 這種情況稱為純彎曲3梁在純警曲變形時(shí)，橫截面 上只有與彎矩有關(guān)的正應(yīng)力。§5-2純彎曲時(shí)的正應(yīng)力1、變形幾何關(guān)系1）實(shí)驗(yàn)觀測(cè)（純彎曲） 縱向線；成圓弧線.上方縱向線 縮短，下方伸長(zhǎng) 橫向線；保持直線，與橫線正交 頂與底部縱、橫線變形比;符合 單向受力泊松效應(yīng)第五章客螞應(yīng)力彎曲變形材“力立I電，級(jí)賽第五章彎曲底力姒向直線代及一層 纖維，變影后為平行曲 線

3、.每層變成曲面，同 層纖維變形相同.下層纖維受拉伸長(zhǎng), 上層紂堆受壓縮短；層間更形連續(xù)，中 間必有一層即不伸長(zhǎng)也 不縮短，稱為中柱層. 橫線代表一橫截面，變形后仍為直線，但轉(zhuǎn)過一個(gè)角度 且仍與縱線正交.橫戳面與中性層的交線稱為中性軸.材“力學(xué)I電¥校*第五章彎曲應(yīng)力中性層中性層：構(gòu)件內(nèi)部既不伸長(zhǎng)也不收縮的纖維層. 中性軸：橫截面與中性層的交線.中姓軸，截面縱向?qū)ΨQ軸橫截面間繞中性軸相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)2)基本假設(shè)作如下假設(shè)：(D梁的橫裁面變形后仍保持為平面，且垂直于變形 后的軸線，即彎曲變形的平面假設(shè).(2)縱向纖維間無擠壓作用，各縱向纖維均處于單向 受拉或受壓狀態(tài).府“為.I -級(jí)建第五章彎曲

4、A力bb變形前的長(zhǎng)度等于中性層中性層長(zhǎng)度不變，所以：bbm0r o；°；=pdO縱向線沉度形后的長(zhǎng)度為：67/ = (p + y)d®縱向線從的應(yīng)變?yōu)開y)d3 - pdO _ ypAOp即，純彎曲時(shí)橫截面上各點(diǎn)的縱向線應(yīng)變沿截面高度呈線性分布.竹料力學(xué)I 乎較集第五章*初立力2、物理關(guān)系因?yàn)榭v向纖維只受拉或壓，當(dāng)應(yīng)力小于比例極限時(shí), 由胡克定律有：b = Eb = pJ偏離中性軸的坐標(biāo)值, 夕一中性層的曲率半徑.竹料力學(xué)I 乎較集第五章*初立力即：純彎曲時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力與它到中性 軸的距離），成正比。也即，正應(yīng)力沿截面高度呈線性分布。對(duì)橫截面上的內(nèi)力系，有:3、靜

5、力學(xué)關(guān)系FjadA M、= jjbdAM. = £ yerdA根據(jù)靜力平衡條件，純彎曲梁的左側(cè)只有對(duì)N軸的力偶矩M 即；/ = Jcrd/i = 0,M = zcrdA = 0. A/. = | yadA = MJ 舄J A-材料力學(xué)I公案第五章彎尚應(yīng)力"n = J 即1 = 0 t=O j 仲I = £ J ycU = 0 =oJ ydA = S. = 0 =>z軸通過形心即：中性軸通過形心.M、=jrxM=0t=0> JjodA = J jalA = 0=> y-cL4 = /57 =0-G=°因?yàn)閥軸是對(duì)稱軸,上式自然滿足材料力學(xué)

6、I公案第五章彎尚應(yīng)力M = M = I vrr dA將彎矩M和坐標(biāo)/按規(guī)定的正負(fù)號(hào)代入，所得到的正 應(yīng)力。若為正值，即為拉應(yīng)力，若為負(fù)值，即為壓應(yīng)力. 在具體計(jì)算中，可根據(jù)梁變形的情況來判斷，即以中性層為界，梁變形后凸出邊的應(yīng)力為技應(yīng)力，而凹入邊的 應(yīng)力為壓應(yīng)力，此時(shí)和y可以直接代入絕對(duì)值材姓力學(xué)I電集第五章彎曲應(yīng)力在橫截面上高中性軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處，正應(yīng)力最大.令：叫='niw式中M稱為扭彎截面系數(shù)，其單位為人<*對(duì)于軋制的型鋼，其I，和W,均可直接從型鋼表中查得。材制力學(xué)I電號(hào)假/帚五幸彎曲一力§ 5-1橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力1、純彎曲理論的推廣工程中實(shí)際的梁大多發(fā)生橫力彎

7、曲，此時(shí)梁的橫截面 由于切應(yīng)力的存在而發(fā)生翹曲(warping)。此外，橫向力還 使各縱向線之間發(fā)生擠壓(8疝里)。因此，對(duì)于梁在純彎曲 時(shí)所作的平面假設(shè)和縱向線之間無擠氐的假設(shè)實(shí)際上都不 再成立，但彈性力學(xué)的分析結(jié)果表明，受滿布荷載的矩形 截面簡(jiǎn)支梁，當(dāng)其跨長(zhǎng)與截面高度之比%大于5時(shí)，梁的 跨中橫截面上按純彎曲理論算得的最大正&力其誤差不超 過1%,故在工程應(yīng)用中就將純警曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算公式用 于橫力彎曲情況，即，Mf.v)YCT =!最大正應(yīng)力橫力彎曲時(shí)，彎矩是變化的.則有：區(qū)2Mg比較拉壓：bg扭轉(zhuǎn)：?皿（、府M A學(xué)I電¥餃集第五章彎曲應(yīng)力2、公式的應(yīng)用范圍1）在彈性

8、范圍內(nèi)2）具有切應(yīng)力的梁f >5 h3）平面彎曲4）直梁3、強(qiáng)度條件：梁內(nèi)的最大工作應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力= nm < jmax w 1 J村*力學(xué)I電第五章彎曲庭力材X力攀I -，恢賓希五幸一曲力口彎曲強(qiáng)度計(jì)算步驟L進(jìn)行受力分析，正璃確定約束力；根據(jù)梁上的栽荷 和約束力畫出彎知圖.2 .根據(jù)彎矩困和截面沿軸線的變化情況，確定可能的 危峻面.3 .根據(jù)應(yīng)力分布和材料的力學(xué)性能確定可能的危險(xiǎn)點(diǎn).4 .應(yīng)用強(qiáng)度條件解決強(qiáng)度問題.-對(duì)于擔(dān)壓許用應(yīng)力相等的材料，采用。mW"；對(duì)于拉壓許用應(yīng)力不等的材料，采用LzSpl。（F 20R忖X力學(xué)I電，較集第五章客由應(yīng)力例7-9鋼制等截

9、面簡(jiǎn)支梁受均布載荷q作用，梁的橫截面 為卜26的矩形,求梁的截面尺寸-解：作彎矩圖危險(xiǎn)截面在梁的中點(diǎn)，其值為”gx"根據(jù)強(qiáng)度計(jì)算公式對(duì)梁進(jìn)行正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算:= 67.9 mmh > I 3</尸 _ j3x(5OxlO' N/m)x(2 m)2I6(t = V-l6x(12OxlOft Pa)""h = 2b= 136mmrx力學(xué)I電¥6賽第五章彎曲應(yīng)力例(書例5. 2)己知,lal=l(M> MPa>尸=25.3 kN.求，校核心軸的強(qiáng)度。解：計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖.鄉(xiāng)。0怎二27 kN(1)求支反力.畫彎矩圖6支反力代=23.6

10、 kN.A確定危險(xiǎn)截面R i=23,6 kN,俏=27 kNI截面11截面【II截面材料力學(xué)T ¥公妻強(qiáng)度校核朦面= 4.72 kN-m第五章彎曲應(yīng)力IVZ =L=；rx（95xl（） =84.1x10 6 m 32326=#=56/MPaW。達(dá)二 /rx(85xlOl)3- = 60.3x 10/ m'3232au = 56.7 MPa <a 材x力學(xué)I e ¥6集第五章一由應(yīng)力= 2M=66.9xldm' 32M%,=”= 69.4 MPa* |wiu結(jié)論滿足強(qiáng)度要求。注意 最大正應(yīng)力并非發(fā)生在彎矩最大的截面。例T形截面鑄鐵梁的荷載和截面尺寸如圖所

11、示.鑄鐵 的抗拉許用應(yīng)力為q = 30MPa ,抗壓許用應(yīng)力為明 = 160MPa.已知截面對(duì)形心軸Z的慣性矩為/. =763cm4,Ji =52mm,校核梁的強(qiáng)度物”力攀第五章彎曲應(yīng)力M R. =2.5kN Ra = 10.5kN大正彎矩在梯面c上 Me = 2.5kN in 量大負(fù)胃矩在面a上MB=4kNm 出截面5M =加由=27.2心<3/ /z6mL 華=«,2MPavs I zCMI=也看=2«.BMPa < |a,I材M力學(xué) J電乎6*第五章彎曲應(yīng)力在梁上截一微段心，再在很段上用水平截面截一微元。府M力學(xué)I電'*第五章彎曲應(yīng)力FT'

12、hclx=FN2-FNl小="a = L4"4 =汽.),必哈S：行格力學(xué)I電乎較案第五章彎曲應(yīng)力同理得F" = M+dM s；F=r'bdx="Fi府X力學(xué)I電¥餃集希五章彎曲應(yīng)力b式中s；為截面求應(yīng)力那點(diǎn)到截面邊緣所圍面積對(duì) 中牲軸的處矩.U, h r 1 h b 2S：=Ay =/X-y)fy + -(-y)l = -(-j )U，44 r6久“2、改訴(>')由此式可知，橫截面各點(diǎn)切應(yīng)力是各點(diǎn)坐標(biāo)F的2 次函數(shù)，切應(yīng)力的大小沿戴面高度呈拋物線分布.中 性軸上切應(yīng)力最大，上下邊緣切應(yīng)力為零.材M力學(xué)第五章彎曲應(yīng)力ma

13、x材料力學(xué)Ie乎公集第五章彎曲應(yīng)力二、工字形裁面的切應(yīng)力研究方法與矩形截面同,剪應(yīng)力的計(jì)算公式亦為腹板小假設(shè)求應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸的距離為y材X力學(xué)I電，假妻第五章再曲應(yīng)力Lbb一腹板的厚度距中性軸為J的橫線以外部分的 橫截面面積A-對(duì)中性軸的靜矩.,11、11 7/、】+以不一y)+ 5(5 - y)B 2 f 2x b / ko、二“./1)+一()廣)82 4 -材“力學(xué)I * n *第五章彎曲應(yīng)力F$B 2 j b h? 2iT = (H . /)+ ( V*)Lb 82 4J哈4-(8-哈k-M腹板切應(yīng)力的近似公式因?yàn)?(1)腹板切應(yīng)力近似為均勻分布；(2)計(jì)算表明，腹板負(fù)擔(dān)了絕大部分剪

14、力.Fsi = r d A 0.9F.近似公式：hb第五章再曲應(yīng)力翼緣的切應(yīng)力特點(diǎn)(1)因?yàn)橐砭壍纳?、下表面無切 應(yīng)力，所以翼緣上、下邊緣處平 行于y軸的切應(yīng)力為零；(2)除了有平行于剪力A的切應(yīng) 力分量外，還有與剪力人垂直 的切應(yīng)力分量，工字形截面梁的腹板承擔(dān)的剪力所以 切應(yīng)力數(shù)值與腹板的切應(yīng)力相比較小.可見翼緣上平行于J軸的切應(yīng)力很小，工程上一般不考慮.第五章彎曲底力即翼緣上垂直于J軸的切 應(yīng)力陋體線性瓦律變化.且通過類似的推導(dǎo)可以得知，薄壁工字剛 梁上、下翼緣與腹板橫截面上的切應(yīng)力指向構(gòu) 成了 “切應(yīng)力流” .村“力學(xué)I電孕鐵集第五章彎曲應(yīng)力三.圓截面梁在截面邊緣上各點(diǎn)的剪應(yīng)力的方向與圓

15、周相切斗d假設(shè)信）沿寬度M上各點(diǎn)處的的應(yīng)力均 匯交于0點(diǎn)；;）各點(diǎn)處切應(yīng)力沿/方向的分量沿寬VVT77 度相等最大剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸上lb ? i c式中4二”一為圓截面的面積4*四、回環(huán)形微面梁圖示為一段薄壁環(huán)形截面梁。環(huán)壁厚度為8,環(huán)的平均半徑為仆,信橫假面上剪應(yīng)力的大小沿壁厚無變化;(b)剪應(yīng)力的方向與圓周相切。橫截面上最大的剪應(yīng)力發(fā)生中性軸上，其值為;J=2今式中A=2wU為環(huán)形截面的面積第五章彎曲底力五、強(qiáng)度條件工團(tuán)六、需要枝杖切應(yīng)力的幾種特殊情況(1)梁的灣度較短較小,而入較大時(shí),要校核剪應(yīng)力；(2)鐘接或焊接的組合濕面，其腹板的厚度與高度比小 于型制的相應(yīng)比值時(shí),要校核剪應(yīng)力z(

16、3)各向異性材料(如木材)的抗剪能力較差，要校核剪 應(yīng)力.材姓力學(xué)I希五章彎曲應(yīng)力實(shí)心截面梁正應(yīng)力與切應(yīng)力的比較Pl PS, (T =, T >對(duì)矩形截面梁所以，對(duì)實(shí)心腳速通常不需要校核剪切強(qiáng)度.槽也力學(xué)Ie¥假索第五章專由宜力回 w g Lb力在梁中間位置時(shí)有最大正應(yīng)力.Mn、A、= 375kNm. J；5m37SkNm例 圖示簡(jiǎn)易起重設(shè)備，F(xiàn)' = ：M>kN. 博長(zhǎng)/ = 5 m.吊車大梁48由2(如工字 鋼制成，許用正應(yīng)力15=170MPh許 用剪應(yīng)力H= 100MP& ,試校核梁的 強(qiáng)度.解：此吊車梁可簡(jiǎn)化為何支梁正應(yīng)力強(qiáng)度校核由型鋼表查得20a

17、工字鋼的叭=237cm所以梁的最大正應(yīng)力為“z =黃=，MPa<在計(jì)算最大剪應(yīng)力時(shí)應(yīng)取荷載，.在緊靠任一支座例如支座A處所示，因?yàn)榇藭r(shí)該支座的支反力最大.而梁的最大切應(yīng)力也就最大."smax = Ra kF- 30kN查型鋼表中,20a號(hào)工字鋼，有白=17.2cm J=7mm5 g、據(jù)此校核梁的剪應(yīng)力強(qiáng)度= 24.9MPa<r以上兩方面的強(qiáng)度條件 都滿足，所以此梁是安全的.材姓力學(xué)I電¥彼妻希五章彎曲應(yīng)力例（P154）筒支癡8如圖所示= 2nwf = 0.2m.梁上的教荷為c=l（】kMm/ = 2（M）kN .材料的許用應(yīng)力為=160MP9.2IOkN電=5=

18、意如28km查型鋼表選用220工字 鋼，其也=309cm、府也力學(xué)I敗賽第五幸彎曲底力(3)校核梁的切應(yīng)力查表禽 % = 18,9cm,腹板厚度d=0.75cm,由剪力圖知最大剪力為210kNr210x】Cr'2 l.b 18.9乂1010.75 乂 10"= !48MPa>r = 1(X)MPa1a,超過E很多，應(yīng)重新選擇更大的界面現(xiàn)已好b工字鋼進(jìn)行試算查表得 產(chǎn) = 189cm. d=1cmSzmaxrx = 二 98,6MPa<|T = 1 (HIM Pa2213xlOJxlxlO2所以應(yīng)選用型號(hào)為25b的工字鋼.府X力學(xué)I電子少妻第五拿彎曲應(yīng)力W圖示梁由三塊板膠合而成:橫截贏彳如圖嬴 求梁的最大切應(yīng)力和膠縫的切應(yīng)力.q = 3 kN/ni療72m+2滑F(xiàn)a=6 kN Fb=6 kN解:F=6kN3*3 乂6 乂 10, 2x60x120=1.25 MPa凡 1s. 6xl060x40x4()xl2= Lil MPalb 60xl20Jx60§ 55提高梁強(qiáng)度的主要措施梁的設(shè)計(jì)主要依據(jù)正應(yīng)力強(qiáng)度條件，即由正應(yīng)力強(qiáng)度條件可知，要提高梁的強(qiáng)度可從降低