第5章方差分析

1、第5章方差分析第5章方差分析方差分析是統(tǒng)計學(xué)的一個重要范疇，是對觀察結(jié)果的數(shù)據(jù)作分析的一種常用的統(tǒng)計方 法，目的是檢驗兩個或多個樣本均數(shù)間差異的顯著性意義。這種命名是因為在檢驗均數(shù)間 差異是否具有統(tǒng)計學(xué)意義的過程中，我們實際上是通過比較方差而得到結(jié)果的。方差分析 主要用于均數(shù)差別的顯著性檢驗、分離各有關(guān)因素并估計其對總變異的作用、分析因素間 的交互作用和方差齊性檢驗。方差分析具有廣泛的用途，例如醫(yī)學(xué)界研究幾種藥物對某種疾病的療效可以用方差分 析方法去解決。方差分析的概念在科學(xué)實驗中常常要探討不同實驗條件或處理方法對實驗結(jié)果的影響。通常是比較不 同實驗條件下樣本均值間差異。方差分析是檢驗兩個或多

2、個樣本均數(shù)間差異是否具有統(tǒng)計 意義的一種方法。1 .方差分析原理方差分析的基本原理是認為不同處理組的均數(shù)間的差別基本來源有兩個：（1）隨機誤差，例如測量誤差造成的差異，稱為組內(nèi)差異。用變量在各組的均值與 該組內(nèi)變量值之偏（離均）差平方和的總和表示。記作SS組內(nèi)。（2）實驗條件，即不同的處理造成的差異，稱為組間差異。用變量在各組的均值與總均值之偏（離均）差平方和 的總和表示。記作SS組間。SS組間、SS組內(nèi)除以各自的自由度得到其均方值即組間均方和組內(nèi)均方。一種情況是處理沒有作用，即各樣本均來自同一總體。MS組間/MS組內(nèi)=1?？紤]抽 樣誤差的存在，則有MS組間/MS組內(nèi)-1。另一種情況是處理因素

3、確實有作用。組間均方是由于誤差與不同處理共同導(dǎo)致的結(jié)果, 即各樣本來自不同總體。那么，組間均方會遠遠大于組內(nèi)均方。MS組間組內(nèi)。US組間/MS組內(nèi)比值構(gòu)成F分布。用F值與其臨界值比較，推斷各樣本是否來自相同的總 體。 2.方差分析的假設(shè)檢驗假設(shè)有m個樣本，如果原假設(shè)H0：樣本均數(shù)都相同U 1= U 2= U 3= U m= M , m個樣本有共同的方差。則m個樣本來白具有共同的方差。和相同的均數(shù)H的總體。如果經(jīng)過計算結(jié)果組間均方遠遠大于組內(nèi)均方的F>FO. 05（f組間,f組內(nèi)），（括號中的兩 個f是自由度）則pVO. 05,推翻原假設(shè)，說明樣本來自不同的正態(tài)總體，說明處理造成 均值的差

4、異，有統(tǒng)計意義。否則，F(xiàn)VF0.05（f組間，f組內(nèi)），P>0. 05承認原假設(shè)，樣本 來自相同總體，處理無作用。方差分析中的術(shù)語方差分析中常用的術(shù)語有以下幾個：1.因素與處理因素是影響因變量變化的客觀條件：處理是影響因變量變化的人為條件。也可以通稱 為因素，例如影響農(nóng)作物產(chǎn)量的因素有氣溫、降雨量、日照時間等；研究不同肥料對不同 種系農(nóng)作物產(chǎn)量的影響時農(nóng)作物的不同種系可稱為因素，所施肥料可視為不同的處理。一 般情況下Factors與Treatments在方差分析中可作相同理解。在要求進行方差分析的數(shù) 據(jù)文件中均作為分類變量出現(xiàn)。即它們的值只有有限個取值。即使是氣溫、降雨量等平常 看作是連

5、續(xù)變量的，在方差分析中如果作為影響產(chǎn)量的因素進行研究，就應(yīng)該將其數(shù)值用 分組定義水平的方法事先變?yōu)榫哂杏邢迋€取值的離散變量。2 .水平因素的不同等級稱作水平。例如，性別因素在一般情況下只研究兩個水平：男、女。 化學(xué)實驗或生物實驗中的“劑量”必須離散化為幾個有限的水平數(shù)。如：1ml、2ml、4ml 三個水平。應(yīng)該特別注意的是在SPSS數(shù)據(jù)文件中，作為因素出現(xiàn)的變量不能是字符型變 量，必須是數(shù)值型變量。例如性別變量SEX,定義為數(shù)值型，取值為0、1。換句話說，因 素變量的值實際上是該變量實際值的代碼，代碼必須是數(shù)值型的?？梢远x值標簽F、M （或Female、male）來表明0、1兩個值的實際含義

6、，以便在打印方差分析結(jié)果時使用。使結(jié)果更加具有可讀性。3單元（Cell）在方差分析中Cell指各因素的水平之間的每個組合。例如研究問題中的因素有性別 Sex,取值為1、2；有年齡，分三個水平1 （10歲）、2 （11歲）、3 （ 12歲）。兩個變 量的組合共可形成六個單元：1, 1、1, 2、1, 3、2, 1、2, 2、 2, 3,代表兩種性別與三種年齡的六種組合。4 .因素的主效應(yīng)和因素間的交互效應(yīng)這是在科學(xué)實驗中常常遇到的問題。舉例說明之：有A、B兩種藥物治療缺鐵性貧血, 患者12例，分為4組。實驗方案是：第一組用一般療法；第二組在一般療法基礎(chǔ)上加用A 藥：第三組在一般療法基礎(chǔ)上加用B藥

7、，第四組在一般療法基礎(chǔ)上A、B兩藥同時使用。 一個月后觀察紅細胞增加數(shù)。要求分析兩種藥物的療效（數(shù)據(jù)見表12 1）。數(shù)據(jù)來源于 醫(yī)用統(tǒng)計方法（金丕煥，人民衛(wèi)生出版社）。3表121實驗數(shù)據(jù)（紅細胞增加數(shù)百萬/m）第一組 第二組 第三組 第四組 0.8 1.3 0.9 2. 1 0.9 1.2 1. 1 2.2 0.7 1. 1 1.0 2.0各組平均值0.8 1.2 1.0 2.1這是個雙因素方差分析的問題，因素A與因素及 每個因素均有用該藥與不用該藥兩 個水平，研究藥物A和B是否對紅細胞的增加有顯著影響是對紅細胞增加數(shù)的均值作以下 比較： （1）比較第二組的均值與第一組的均值是否有顯著性差異。

8、（2）比較第三組的均值與第一組的均值是否有顯著性差異。前兩項研究的是A、B兩因素的主效應(yīng)。 （3）除了比較第四組的均值與第一組的均值是否有顯著性差異外還要 研究A藥對B藥的療效是否有影響。若A藥對B藥療效無影響，那么除抽樣誤差外，第四 組與第二組均值之差應(yīng)該等于第三組均值減去第一組均值。但是實際上（2.1-1.2） =0.9： 8）=0.2。競相差0.7,該差值幾乎與第一組均值相同。0.7的差值包括抽樣誤 差和A、B藥的相互作用。這種因素之間的相互作用在統(tǒng)計學(xué)上稱之為交互效應(yīng)。如果交 互效應(yīng)存在，說明兩個因素不是相互獨立的。5.均值比較均值的相對比較是比較各因素對因變量的效應(yīng)的大小的相對比較。

9、例如研究A、B效 應(yīng)之和是否等于它們的交互效應(yīng)?；蛘哐芯緼、B對紅細胞增加數(shù)的效應(yīng)是否相等，等。均值的多重比較是研窕因素單元對因變量的影響之間是否存在顯著性差異，例如例題 中研究A、B藥物對紅細胞增加數(shù)的療效是否存在顯著性差異。6.協(xié)方差分析在一般進行方差分析時，要求除研究的因素外應(yīng)該保證其他條件的一致。作動物實驗 往往采用同一胎動物分組給F不同的處理，研究各種處理對研究對象的影響就是這個道理。 例如研究身高與體重的關(guān)系時要求按性別分別進行分析。這樣消除性別因素的影響。不同 年齡的身高對體重的關(guān)系也是有區(qū)別的，被測對象往往是不同年齡的。要消除年齡的影響, 應(yīng)該采用協(xié)方差分析。7.重復(fù)測量（略）

10、在社會學(xué)研究中常常遇到的問題是，研究社會某些條件對人類特定方面的特性的影響, 社會調(diào)查、數(shù)據(jù)采集量相當大。往往是在某一個地區(qū)采樣100,另一個地區(qū)采樣100?。兩 個地區(qū)的社會條件對研究對象來說可能是獨立的，但同一地區(qū)的wo個個體同處r-相同社 會條件下，彼此并不獨立。進行方差分析時修正條件不獨立造成的誤差，或者比較組間因 素與組內(nèi)因素的效應(yīng)，以便得出正確的分析結(jié)論，使用重復(fù)測量的方差分析。 方差分析過程SPSS提供的方差分析過程有:1. Oneway 過程Onewny過程就是單因素簡單方差分析過程，它在Analyze菜單中的Compare Means過 程組中，用One-Way ANOVA菜

11、單項調(diào)用，可以進行單因素方差分析、均值多重比較和相 對比較。單因素方差分析單因素方差分析也稱作一維（元）方差分析。它檢驗由單一因素影響的一個（或幾個 相互獨立的）因變量由因素各水平分組的均值之間的差異是否具有統(tǒng)計意義。還可以對該 因素的若干水平分組中哪一組與其他各組均值間具有顯著性差異進行分析即進行均值的多 重比較。ne-Way ANOVA過程要求因變量屬于正態(tài)分布總體、如果因變量的分布明顯的是 非正態(tài)，不能使用該過程，而應(yīng)該使用非參數(shù)分析過程。如果幾個因變量之間彼此不獨立, 應(yīng)該用Repeated Measure命令調(diào)用GLM過程。舉例一 （datal201）用四種飼料喂豬，共19頭豬分為四

12、組，每組用一種飼料。一段時間后稱重。豬體重 增加數(shù)據(jù)如下：飼料比較數(shù)據(jù)資料飼料 A B C D 133.8 151.2 193.4 225.8 125.3 149.0 185.3 224.6 143. 1 162.7 182.8 220.4 128.9 143.8 188.5 212.3 135.7 153.5 198.6 Fodder 變量：數(shù)值型，取 值1、2、3、4分別代表A、B、C、D四種飼料。Weight變量：數(shù)值型，其值為豬體重的 增加數(shù)。應(yīng)該特別注意，不能把A、B、C、D定義為四個變量。操作步驟：（1）讀取數(shù)據(jù) datal2 01。（2）按 Analysis-*Compare M

13、eans-*One Way ANOVA 順序，展開One-Way ANOVA主對話框。（3）指定因變量：Weight：因素變量：fodder：表1即為單因素變量飼料fodder對豬體重weight的影響分析結(jié)果。表的左上方是因 變量 weight 。（1）輸出結(jié)果說明第一欄：方差來源，包括組間變差Between Groups：組內(nèi)變差：Within Groups和 總變差Totalo第二欄：離差平方和，組間離差平方和為20538. 698,組內(nèi)離差平方和為652. 159總 離差平方和為21190. 258,是組間離差平方和與組內(nèi)離差平方和相加之和。第三欄:白由度，組間自由度為3：組內(nèi)自由度為

14、15：總自由度為18。 第四欄：均方差，是 第二欄與第三欄之比。組間均方差為6846. 233。組內(nèi)均方差為43. 4770第五欄：F值，是 組間均方與組內(nèi)均方之比。第六欄：F值對應(yīng)的概率值。針對假設(shè)H0:組間均值無顯著性差異，即四種飼料對豬 體重的增加的平均值無顯著性差異）。計算的F值157. 4668,對應(yīng)的概率值為0. 000。（2）結(jié)果分析根據(jù)輸出的P值為0.000可以看出，無論臨界值取0.05,還是取0.01, p值均小于臨 界值。因此否定H0假設(shè)，四種飼料對豬體重均數(shù)有顯著性意義，結(jié)論是四種飼料對豬體 重的增加明顯作用不同。根據(jù)該結(jié)論選擇飼料，犯錯誤的概率幾乎為0。（3）存在問題與

15、解決方法本例只考慮了豬體重的增加量，對其均值進行了比較但實際工作中的問題往往不是 這樣簡單，例如是否應(yīng)該考慮每頭豬的進食量對體重增加的影響，去除這個影響比較豬體 重的增加會對飼料比較得出更切合生產(chǎn)實際的結(jié)論。這個問題應(yīng)該使用AN0VA過程的協(xié)方 差分析功能去解決。使用系統(tǒng)默認值進行單因素方差分析只能得出是否有顯著性差異的結(jié)論，本例數(shù)據(jù) 量少，哪兩組之間差別最大，哪種飼料使豬體重增加更快，幾乎是可以看出來的。實際工 作中往往需要兩兩的組間均值比較。這就需要使用one - Wny AN0VA進行單因素方差分析 時使用選擇項從而獲得更豐富的信息，使分析更深入。單因素方差分析的選擇項單因素方差分析的選

16、擇項分為三類：Contrasts功能按鈕，可以指定一種要用t檢驗 來檢驗的Priori對比；Post Hoc功能按鈕，可以指定一種多重比較檢驗；option功能按 鈕，可以指定要輸出的統(tǒng)計量，指定處理缺失值的方法。分別使用主對話框中的三個按鈕 打開相應(yīng)的對話框，然后進行選擇。1 .進行均值的多項式比較的選擇項在主對話框中，鼠標單擊Contrasts按鈕，打開Contrasts對話框。均值的多項式比較是包括兩個或更多個均值的比較。單因素方差分析的。ne way AN0V 過程允許進行高達5次的均值多項式比較。多項式的系數(shù)需要由讀者自己根據(jù)研究的需要 輸入。具體的操作步驟如下：（1）選中polyn

17、omial復(fù)選項，該操作激活其右面的Degree參數(shù)框。（2）單擊Degree參數(shù)框右面的向下箭頭展開階次菜單，可以選擇Linear線性、 Quadratic二次、Cubic三次、4th四次、5th五次多項式。（3）為多項式指定各組均值的系數(shù)。方法是在Coefficients框中輸入一個系數(shù)，單 擊Add按鈕，Coefficients框中的系數(shù)進入下面的方框中。依次輸入各組均值的系數(shù)， 在方形顯示框中形成一列數(shù)值。因素變量分為幾組，輸入幾個系數(shù)，多出的無意義。如果 多項式中只包括第一組與第四組的均值的系數(shù)，必須把第二個、第三個系數(shù)輸入為。值。 如果只包括第一組與第二組的均值，則只需要輸入前兩個

18、系數(shù)，第三、四個系數(shù)可以不輸 入?？梢酝瑫r建立多個多項式。一個多項式的一級系數(shù)輸入結(jié)束，激活Next按鈕，單擊 該按鈕后Coefficients框中清空，準備接受下一組系數(shù)數(shù)據(jù)。如果認為輸入的幾組系數(shù)中有錯誤，可以分別單擊Previous或Next按鈕前后翻找出 錯誤的一組數(shù)據(jù)。單擊出錯的系數(shù)，該系數(shù)顯示在編輯框中，可以在此進行修改，修改 后年擊Change按鈕，在系數(shù)顯示框中出現(xiàn)正確的系數(shù)值。當在系數(shù)顯示框中選中一個系 數(shù)時，同時激活Remove按鈕：單擊該按鈕將選中的系數(shù)清除。(4)單擊previous或Next按鈕顯示輸入的各組系數(shù)檢查無誤后，按Continue按鈕 確認輸入的系數(shù)并返回

19、到主對話框。要取消剛剛的輸入，單擊Cancel按鈕：需要查看系 統(tǒng)的幫助，單擊Help按鈕。2 .各組均數(shù)的多重比較選擇項在主對話框中，單擊Post Hoc按鈕，展開Post Hoc Multiple Comparisons對話框， 在這對話框中選擇進行均值多重比較的方法。多重比較有如下選擇項：(1)方差具有齊次性時(equal variance assumed),該矩形框中有如下選擇方法: Least-significant difference (LSD)復(fù)選項，用t檢驗完成各組均值間的配對 比較。對多重比較誤差率不進行調(diào)整。 TUKEY (Tukey's honestly sig

20、nificant difference)復(fù)選項，用 Student-Range 統(tǒng)計量進行所有組間均值的配對比較，用所有配對比較誤差率作為實驗誤差率。 Duncan (Duncan's multiple range test)復(fù)選項，指定一系列的 Range 值，逐步 進行計算比較得出結(jié)論。(2)方差不具有齊次性時(Equal variance not assumed)檢驗各均數(shù)間是否有差 異的方法有四種可供選擇： Tamhane' s T2復(fù)選項，t檢驗進行配對比較。Dunnentt's T3復(fù)選項，正態(tài)分布 下的配對比較。 3.輸出統(tǒng)計量的選擇在主對話框中，單擊option按鈕，展開option對話框。各組選擇項的含義