201x年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)-函數(shù)

1、0,21)21(20,21)21(2)()(122ssssshxfst1. 函數(shù) 的值域為_.11)(2xxxf1)(sh1tansec)()()2,2(,tanFxfx), 1 (22,()(xf1sin22), 1 (22,(22)(sh)4,43(4)2,2()4sin(21cossin1)0(22)()(12tttttgxftx解解1：解解2：Oxycacbccabclnlnlncaecbxyab,xey cacbcaacbac4354357)27,21(435maxabPxyxy,435xyxxxeyey100000 xxeexeyxxx 2. 已知正數(shù)a、b、c滿足：則 的取值范圍

2、是_.ab,lnln,435ccabcacbacxy 4xy35xey eabeQmin), 1 (QPBA7, e化簡)4, 12(.43| )(| )(minminxxgxf221881)(xxxxxxg.419, 4434222qpqpp.4364133.419)4(| )(max fxf)4(.49) 1 (| )(maxppfxf 3. 設(shè)函數(shù) 與 在區(qū)間 1, 4 的同一點上取相同的最小值，試求 在該區(qū)間上的最大值。qpxxxf2)(214)(xxxg)(xf若在區(qū)間 1, 2 的同一點上取相同的最小值呢？23,21若在區(qū)間 的同一點上取相同的最小值呢？. )21(| )(maxf

3、xf. )23(| )(| )(minmingxgxf4. 設(shè)函數(shù)f (x) = |lg (x+1)|，實數(shù) a, b (a b)滿足求 a, b 的值 .2lg4)21610(, )21()(bafbbfaf02, 01ba8|1135|2lg4)21610(babaf.31,52ba| )2lg(| ) 1lg(|)21()(babbfaf. 8)2(3) 1(5, 1)2)(1(baba解：1)2)(1(21baba（舍去）或8)2( 3) 1(58|1135|baba 5. 已知 是實數(shù)，函數(shù) 當(dāng) 時， （1）證明： （2）證明：當(dāng) 時， （3）設(shè) ，當(dāng) 時，的最大值為2，求 。cba

4、,)(,)(2baxxgcbxaxxf11x, 1)(xf;1c;2)(xg11x11x0a)(xf)(xg. 1)0(15 fc）（cbafcbafcf) 1(,) 1 (,)0()0() 1 ()0() 1 () 1 ()2(ffffbag)0() 1()0() 1() 1(ffffbag.2)(.2) 1(,2) 1 (.1)(,11xgggxfx.2) 1 (,2)(,0)3(maxgxga. 1, 2cba),0(1)(fxf又 是函數(shù) 的對稱軸 )(0 xfx . 12)(, 1, 0, 22xxfcba 6. 設(shè) 當(dāng)函數(shù)f (x)的零點多于一個時， 求f (x)在以其最小零點與最

5、大零點為端點的閉區(qū)間上的最大值 .|)(,2qxpxxfRqp由題意，f (x)是偶函數(shù) . 1. 當(dāng)函數(shù)f (x)的零點為2個時，qoyxoqyxqyxooqyx 2. 當(dāng)函數(shù)f (x)的零點為3個時， 3. 當(dāng)函數(shù)f (x)的零點為4個時， f (x) 的最大值為 0 (此時q 0) ； f (x) 的最大值為 0 (此時q = 0) ； f (x) 的最大值為q (此時q 0) .oqyx 7. 若函數(shù)y = f（x）在 處取得極大值或極小值，則稱為函數(shù)y = f（x）的極值點。已知 a、b是實數(shù)，1 和 -1 是函數(shù) 的兩個極值點。（1）求 a 和 b 的值；（2）設(shè)函數(shù) g（x）的導(dǎo)

6、函數(shù) ，求 g（x）的極值點；（3）設(shè) h（x）= f（f（x）- c，其中 ， 求函數(shù) y = h（x）的零點個數(shù)。2)()( xfxg2,2cbxaxxxf23)(0 xx 當(dāng)| t | 2 時，f（x）= t 的零點數(shù)為3且零點| x | 2 .解：（1）30023)1( 023) 1( babafbafbaxxxf23)( 2)2() 1(2xx232)()( 3xxxfxg（2）（3）- 0 + 0 + 12x)(xg)( xg 所以，g（x）的極值點為2.設(shè) f（x）= t ,3yxo32- 2)(xfy - 22x = 2x = - 2 當(dāng)| t | = 2 時，f（x）= t

7、的零點數(shù)為2 (零點為x = -1、x = 2或x = -2、x = 1）； 所以，當(dāng)| c | = 2時，y = h（x）= f ( f (x) c 的零點數(shù)為5 ( 2+3 )；當(dāng)| c | 2時，y=h（x）的零點數(shù)為9（3+3+3 ). 8設(shè)二次函數(shù) ，滿足條件： （1）當(dāng) 時， 且 ； （2）當(dāng) 時， ； （3） 在R上的最小值為0.)0()(2acbxaxxfRx)2()4(xfxfxxf)()2 , 0(x2)21()(xxf)(xf求最大的 ，使得存在 ，只要 ，就有 .) 1(mm, 1 mxxtxf )(Rt8.1)2()4(xxfxf是二次函數(shù) f(x)對稱軸0) 1(0

8、)(minfxf2) 1()(xaxf1) 1()21()(2fxxfx.4) 1()(2xxf. 044)2(1)(2ttxxtxf 必要條件mtmmxxtxf4) 1()(2ttmtt4141)4(9tm.)(, 9, 1 4xtxfxt經(jīng)驗算 恒有.9 m m 的可能值 9. 設(shè) f（x）、g（x）分別是定義在 R 上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，當(dāng)x 0 時，F(xiàn)（x）= f（x）g（x）在（，0）上是增函數(shù)，且 g（2）= 0.則不等式 f（x）g（x） 0 的解集是_.-22xOyF (x) 是奇函數(shù)0)2(0)2(gg)2,0()2,(NxNx 10. 設(shè) f (x) 是定義在 R 上的函數(shù)

9、：（1）求證 ：（2）若 f (x) 在 R 上是增函數(shù)，判斷 M = N 是否成立，并證明你的結(jié)論。)(|,)(|xxffxNxxfxM;NM xxf)(xxfMx)(xxfxff)()(1);NM xxf)(2)xxfxxfMx)()(或f (x) 在 R 上是增函數(shù)xxfxff)()(f (x) 在 R 上是增函數(shù)Nxxxfxff)()(NM M = N . 11. 設(shè) f (x) 是定義在 R 上的函數(shù) ， a 是大于0的實數(shù)，滿足 ：試證明： f (x) 是周期函數(shù)。.)()(21)(2xfxfaxf2)()(21)2(axfaxfaxf2)()(21)(axfaxfxf.2aT 2

10、)()(4121xfxf| )(21|21xf222)()(21)()(2121xfxfxfxf2)()(21)(xfxfaxf)(21)(21)2(xfxfaxf21)(xf證明：探索化簡21|12 xx.21|0|1 |12xx若 ，則)(xf. | )()(|1212xxxfxf;21| )()(|1212xxxfxf.21| )()(|12xfxf. ) 1 ()0(ff1,0,21xx.21|0| 1| )()0() 1 ()(| )()(|121212xxxfffxfxfxf證明：21|12 xx若 ，則1021xx不妨設(shè)由 f (y)0，得 f (x) 在0,1上是不減的函數(shù).

11、13. 已知 f (x) 是定義在0,1上的非負(fù)函數(shù)，且f (1) =1，對任意的 x，y，x+y0,1 都有 f (x+y)f (x)+ f(y) . 證明：f (x) 2x （x0,1）.xyyfxfyxf)()()()(2)2(xfxf)()(xfnnxf.0)0(0)0(0)()()(ffyxyfxfyxf) 1) 1 (1)1(1)()(fnnfnxxfnnxf)1()()11(nfxfnfnxf1)(.2x證明：所以，原命題成立. f (x+y) f (x) )2(111nnxn當(dāng) 0 x x 恒成立, 求實數(shù) a 的取值范圍 ;（3）當(dāng) 時，證明：. )0(1ln)(axaxf;

12、 )11 (1)(xaxf. )11(2)(12nnkfnk21a解：（1）證明：22111)(xxxxxF0)(xF)0(. )11 (1)(axaxf0)1(| )(minFxFeae110.1)()(1),(, )1(min)(,0)1()(), 1(aeaegxgeaeggxgeagxgex（2）)11(ln)(xxxF設(shè)ea xxaxgxxfxg)()()(設(shè). 1ea（舍去）. )22(2kk（3）當(dāng) 時，證明：. )11(2)(12nnkfnk21a（3）證明：)22(2451)211 (2112ln211!2ln211221211)22(2kkkkk1)2ln(21)11(2k

13、kk)12(212ln)22(2kkkkk1)2(ln21! ) 1(ln21) 1(! )2(ln21kkkkk當(dāng)n = k+1時，)11(2! ) 1(ln21)11(2)(12nnnnnnkfnk當(dāng)n =1時，所以n = 1時不等式成立. )11(2! ) 1(ln21kkkk假設(shè)n = k 時，不等式成立.即故當(dāng)n = k+1時，不等式也成立.所以，當(dāng) 時，. )11(2)(12nnkfnk21a 15. 已知函數(shù)（1）求函數(shù) f (x) 的最小值；（2）求證：當(dāng) 時， ;（3）對于函數(shù) h (x) 和 g (x) 定義域上的任意實數(shù) x ，若存在常數(shù) k、b，使得不等式 和 都成立，

14、則稱直線y = kx + b 是函數(shù) h (x) 與 g (x) 的“分界線”。設(shè) ，試問函數(shù) h (x) 與 g (x) 是否存在“分界線”？若存在, 求出常數(shù) k、 b的值；若不存在，說明理由。.ln1)(xxxf)(1)(,21)(2xfxexgxxhNnbkxxg)(bkxxh)(1131211nen15.解（1）.0)(| )(mineFxF.1134232) 11() 131)(121)(11 (131211nnnnenekeegeh)( )( )0(1) 1(1ttexxetx0ln1)0(0)(xxxxf.0) 1 (| )(minfxf)0(111)( xxxxxf)0(ln

15、21)()()(2xxexxgxhxF)0()( xxexxF（2）由（1）（3）22)(ebeeh221xy bkxyxeylnxOy), 1 ( )(xf), 1 ( x) 1)()(2axxxhxf) 1(12ln)(xxbxxf2121), 1 (,xxxx2121)1 (,)1 (mxxmxmmx1, 1| )()(| )()(|21xgxggg16. （1）證明) 1(12ln)(xxbxxf2) 1(21)(xbxxf. ) 1() 1(122bxxxx0) 1(1)(2xxxh由 ，得函數(shù) f (x) 具有性質(zhì) P (b) .解),1(0) 1(1, ) 1() 1(1)(22

16、2xxxbxxxxxf) 1(0) 1(122xxbxx0)(xf), 1 ()(xf在 上單調(diào)增；2b, 124, 1242221bbxbbx當(dāng)2b),24()24, 1 ()(22bbbbxf在 上單調(diào)減；在 上單調(diào)增.1x2xM1)(1xg)(2xg21xx | )()(| )()(|21xgxggg16. （2）解由題意. ) 1(0)(, ) 12)()(2xxhxxxhxg0)(, 1xgx), 1 ()(xg在 上單調(diào)增。,21xx 區(qū)間 與區(qū)間 的中點重合。,21xx), 1 ()(xg在 上單調(diào)增,21xx. ) 1,0( m| )()(| )()(|21xgxggg又,21

17、xx. ,21xx或2211)1 (xxmmxx 17.為常數(shù)，且 （1）求 對所有實數(shù) 成立的充要條件（用 表示）（2）設(shè) 為兩實數(shù)， 且 若 求證： 在區(qū)間 上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為 （閉區(qū)間 的長度定義為 ） 2121,32)(,3)(21ppRxxfxfpxpx)()(),()()(),()(212211xfxfxfxfxfxfxf)()(1xfxfx21, ppba,ba ),(,21bapp)()(bfaf)(xfba,2abnm,mn17.（1）)()()()(211xfxfxfxf2323|2121pppxpx. 2log|321 pp因此，所求的必要條件是（2）當(dāng) 時，2lo

18、g|321 pp.3)()(|11pxxfxf2)()(1bapbfaf1pxoyab 此時，增區(qū)間為 ，它的長度是),(1bp;21abpb當(dāng) 時，設(shè),2log|21321ppppoxy2p1pba232101|22log32321pppxppxpx.32,32,3,3)(2200112211bxppxxxxppxaxfpxxppxxp2log)()(321bappbfaf)()(210pbpxl因此，單調(diào)增區(qū)間的長度和為),(00yx.2ab112)( xmxxf 18. 已知函數(shù)（1）若曲線 在點P（0,1）處的切線 l 與 C 有且只有一個公共點，求 m 的值 ；（2）求證：函數(shù)存在單

19、調(diào)遞減區(qū)間 a , b ，并求出單調(diào)遞減區(qū)間的長度 t = b - a 的取值范圍。 . ) 1() 1ln(1221)(2mxxmxxf)(:xfyC由 有惟一實數(shù)解01)(xxxf1:1)0( xylf1)1()( xmmxmxxg01)( 12xxxgm0111mmm) 1ln(21) 1()()(2xxmxxxfxg設(shè)解：（1）（適合題意）00)( 011xgmmx m = 1 .,0) 1(,0)1(121 megmmg在（-1，0）上，方程 還有一解（不合題意）0)(xg11)2(112)( 2xxmmxxmxxf.414)2(22mmmm.01)2(0)( , 12xmmxxfx

20、044)2(22mmm|12xxabt. 5, 1(1tm（2）1m.0)( , ,21xgxxx 19.已知a，b是實數(shù)，函數(shù) 和 是 的導(dǎo)函數(shù)，若 在區(qū)間I上恒成立，則稱 和 在區(qū)間I上單調(diào)性一致.（1）設(shè) ，若函數(shù) 和 在區(qū)間 上單調(diào)性一致,求實數(shù)b 的取值范圍；（2）設(shè) 且 ，若函數(shù) 和 在以a，b為端點的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求|a - b|的最大值。 ,)(,)(23bxxxgaxxxf)(xf )(xg)(, )(xgxf0)()(xgxf)(xf)(xg0a)(xf)(xg), 1,0aba )(xf)(xg.2)( ,3)( 2bxxgaxxf.2b), 1,0200)( )(

21、 xbxaxgxf解：（1）02),(bxbax02),(bxabx.2)( ,3)( 2bxxgaxxf.03132aaa2230)2)(3()( )( xabxaxxgxf23bab;121|maxba121)61( 3302bbbba230)( )( xaxgxf（2） b a 0， a b 0， a 0 b，),(bax0)0( )0( abgf)0,31(;31|maxbaba),(,0)2)(3(0)( )( 2baxbxaxxgxf（不合題意）.31|maxba綜上，( )f x( )yg x( )yf x1x 1x ( )( )f xg x12xx12()()f xf x122

22、xx20. 已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，證明當(dāng)時，（3）如果，且，證明（2）已知函數(shù))()(Rxxexfx20.（1）解：f ( )(1)xxx e由 f (x) =0, 解得x =1.在( )內(nèi)是減函數(shù)。1,)內(nèi)是增函數(shù)，,1所以 f(x)在(1e函數(shù)f(x)在x =1處取得極大值f(1)且f(1)= .當(dāng)x 0 ; 當(dāng)x 1時， f (x) F(1)=0,即 f(x) g(x).2xe由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)當(dāng)x 1時，2x -20, 從而 又,0,0122xxee 所以 F (x)0, 從而函數(shù)F（x）在1,+)是

23、增函數(shù)。又 F (1)= ，所以 時，有1011xee（3）證明： 不失一般性，設(shè).21xx 若 或,112121xxxx由（1）可知，. )()(21xfxf所以，若 ,只可能有.121xx)()(21xfxf. )2(2xf由 及（2）可知，)()(22xgxf211xx, 從而因為)()(21xfxf. )2()(21xfxf又由 及函數(shù)f(x)在區(qū)間（-，1）內(nèi)是增函數(shù)，所以 ，即12, 121xx212xx.221 xx1. 求函數(shù) 的最值.4sin432cossin22xxxy0),111 (210,2122122ttttttty4341y0) 12(4102y012) 12(22

24、1222yttyttty.43,41maxminyy2sin21sinsin22xxx4sin432cossin22xxxy1|22122tttty解：解：解2：解1：214101yt432110yt.43,41maxminyy 2設(shè) 的最小值為 ，求實數(shù) a 的值。)cos1 (22cos)(xaxxf21)24(21)2(cos2)(22aaaxxf;230142|2aaaa211)(2minxfa8321412aaa（舍去）23 a3. 若 , 則 的取值范圍為_.)2,0)cos(sin7sincos3355)sinsincos)(cossin(cossincos43455)(121n

25、nnnnbbaababa)45,4(sincos)cossincossin1)(sin(cos22cossin)cos(sin7sincos3355)cossincossin66)(cos(sin)sin(cos)cos(sin7225533)cossin1)(cos(sin7)cos(sin733)45,4()45,4(解1：解解2：357xxy由函數(shù) 是增函數(shù)3535sin7sincos7cos原式可化為 4. 設(shè)三角函數(shù) ，其中 k0 . 試求最小的正整數(shù) k ，使得當(dāng)自變量 x 在任意兩個整數(shù)間（包括這兩個整數(shù)）變化時，函數(shù) f（x）至少有一個極大值 M 與一個極小值 m 。)35si

26、n()(kxxf101|10|kkkT1032min k 5. 設(shè)（1）求 f (x) 的最小正周期；（2）對于任意正數(shù) a，是否能找到不小于a，且不大于 a + 1 的兩個數(shù) m 和 n，使得 f (m) = 1且 f (n) = 1 ?（3）若 （2）中 a 改為任意自然數(shù)，你能得到怎樣的結(jié)論? )3611sin()(xxf11712,11112knkm111111,11111,1111aaa233)21(611a不一定 . 223a取mn,117不存在 . 1112T)2,0(,cba,sincos,cossin,cosccbbaa, )2,0(,cbaaa cosba .ba baba

27、coscos反設(shè)（此為矛盾）cacacoscos反設(shè)（此為矛盾）.bac.ac 解：aasincossin,abacossincossincsincosca 7. 在銳角ABC中，若 ，求B的取值范圍.CABacbcoscoscos22)()(2222222222cbaacbbac21222cos22224422222caaccacacaaccabacBCABtantantan222442cacab3tan1tantan2tan22BBBBCABCABCABacbcoscoscossinsinsincoscoscos22221tantantantan)tan(tanCACACAB解1：1tan

28、tantantan2CACA解2：.23B（當(dāng)且僅當(dāng) a = b = c 等號成立）.23B)()(222coscoscos2222222222222222222222cbaacbacbacbabcbabcacbcabacCAB1tantan22BBCACAtantan1tantan2.3coscoscossinsinsinCBACBA0)60sin()60sin()60sin(60cos60sin3coscoscossinsinsin00000CBACBACBA,0)60()60()60(0000CBA260sin260sin260sin4)60sin()60sin()60sin(00000

29、0CBACBA.0證明：所以，ABC中至少有一個角為60.9. 在ABC中，證明：.2coscos11coscos11coscos11222222ACCBBA2222222coscos11cbabaBA)cos)(cos(2222ABbaAbBaccoscos22)coscos(AbBac.2coscos11coscos11coscos11222222ACCBBA證明1：22222222222222coscos11coscos11cbaacACcbacbCB同理9. 在ABC中，證明：.2coscos11coscos11coscos11222222ACCBBACBABABA2222222sin

30、sinsinsinsincoscos11)cos)(cossin(sin2222ABBA22)sincoscos(sinsinBABAC.2coscos11coscos11coscos11222222ACCBBA證明2：CBAACACCBACBCB22222222222222sinsinsinsinsincoscos11sinsinsinsinsincoscos11同理.cotcotcotcottantantantantantantantanDCBADCBADCBA證明：設(shè) ABCD，則 A+B與A+C中至少有一個不為90.不失一般性，設(shè) A+B90.0)tan()tan(3600DCBADC

31、BA0)tantan1)(tan(tan)tantan1)(tan(tanBADCDCBABADBACDCBDCADCBAtantantantantantantantantantantantantantantantan.cotcotcotcottantantantantantantantanDCBADCBADCBA|sin|)(xxf)0(kkxy.413sinsincos2aaaaaaafkcos)( aatanaaaaaaa2sin21)sin1 (sin4cos3sinsincos2.41tan4tan122aaaaakxy aasin12.已知函數(shù) ，求 的最小值.)4541(2cos

32、sin)(xxxxxf)(xfxxxf2)41(sin2)()41(sin454341 xx)(45,43) 1(xfx減554)45()(minfxf414543)43,41)2(x4345,41)41(sinxxxy】【關(guān)于 對稱】45,43() (2)41(sin22)41(sin22)41(sin2)(xxfxxxxxxxf554414543x x任意 存在 ，使得)41(sin)41(sin)43,41xxx45,43(x. )(sin222ba.0sinsincoscos22ba2sin2cos42sin2sin4)sin(sin)cos(cos2222222222baba)(si

33、n)sinsincoscos()sincos)(sincos(22222222222222babababa.)sin(sin)cos(cos)sincos)(sincos(2222222222222222bababababa)cos(1 )cos(1 2sin2)2cos2sin(2sin422222222baba證明：coscossinsin)(2sin222222baba).12cos2)(222ba)coscossinsin()(2sin2)sin(sin)cos(cos222222222bababa)(sin)()(sin)sincos)(sincos()sincos)(sincos(

34、2222222222222222222222babababababa)cos()()sinsincoscos()coscossinsin()sinsincoscos(22222222babababa. )(sin)(222ba.2222baba22221111banm0sinsincoscos22baOBOA 222222222222)sin(sin)cos(cos)sincos)(sincos(bababa)cos,cos(,)sin,cos(baBbaA12222byax2222222babaABOBOA即要證明：222ABOBOA 令 OA = m，OB = n ，即要證明2222222

35、2babanmnm由 在 上是減函數(shù)，2, 1()(tf 14. 在直角ABC中，C為直角. 求使得 成立的最大 k 值.kabccba333解：sincos1sincos33333abccba112) 1(tt211213)(223333tttttfabccba12123223tttttt)2, 0(.sin,coscbca由題意，可設(shè)設(shè) , 則2, 1(,cossinttcossin1)cos(sincossin3)cos(sin3.22)2(| )(minmaxftfkcoscos22cos2cos2 15. 已知 是圓 上的三點，且滿足 證明：),( , ),( , ),(332211

36、yxyxyx122 yx.0, 0321321yyyxxx.23232221232221yyyxxx.23)coscos(cos3sinsinsin2222221)sin(sin)cos(cos2221)cos(222222)cos(coscoscoscoscoscos)cos()cos()cos()cos(22,21)cos(.23coscoscos222證明1：.sin,cos,sin,cos,sin,cos332211yxyxyx由題意，可設(shè)0sinsinsincoscoscos則2,0,其中所以，原命題成立.23 15. 已知 是圓 上的三點，且滿足 證明：),( , ),( , ),

37、(332211yxyxyx122 yx.0, 0321321yyyxxx.23232221232221yyyxxx.23)(3232221232221xxxyyy2)120(2cos12)120(2cos122cos100)120(cos)120(coscos02022232221xxx證明2：).,(, ),(, ),(332211yxOCyxOByxOA由題意，可設(shè).01|OCOBOAOCOBOA則 且所以，ABC 是正三角形.所以，原命題成立.,sin,cos11yx設(shè)).120sin(),120cos(),120sin(),120cos(03030202yxyx則0)120(2cos)120(2cos2cos00. ),2(),(), 1 (22sin22ftffab 16. 若 x、y、z 均為正實數(shù)，且 ，求：（1） 的最小值；（2） T= x + y + z xyz 的取值范圍.1222zyxxyz