全等三角形證明方法歸納經(jīng)典(1)

1、【第1部分 全等基礎知識歸納、小結】1、全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形。兩個全等三角形中， 互相重合的頂點叫做 對應頂點，互相重合的邊叫 對應邊，互相重合 的角叫對應角。概念深入理解：(1 )形狀一樣，大小也一樣的兩個三角形稱為全等三角形。(外觀長的像)(2 )經(jīng)過平移、旋轉、翻折之后能夠完全重合的兩個三角形稱為全等三角形。(位置變化)2、 全等三角形的表示方法： 若厶ABCD A B' C'是全等的， 記作“ AB3A A B' C 其中，“也”讀作“全等于”。記兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對 應的位置上。3、全等三角形的性質

2、：全等是工具、手段，最終是為了得到邊等或角等，從而解決某些問題。(1) 全等三角形的對應角相等、對應邊相等。(2) 全等三角形的對應邊上的高，中線，角平分線對應相等。(3) 全等三角形周長，面積相等。4、尋找對應元素的方法(1 )根據(jù)對應頂點找如果兩個三角形全等，那么，以對應頂點為頂點的角是對應角；以對應頂點為端點的邊是對應邊。通常情況下，兩個三角形全等時，對應頂點的字母都寫在對應的位置上，因此， 由全等三角形的記法便可寫出對應的元素。(2)根據(jù)已知的對應元素尋找全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊;（3）通過觀察，想象圖形的運動變化狀況，確定對應關系。通過對兩個全等三

3、角形各種不同位置關系的觀察和分析， 可以看出其中一個是由另一個 經(jīng)過下列各種運動而形成的；運動一般有3 種：平移、對稱、旋轉；5、全等三角形的判定： （深入理解）邊邊邊（SSS邊角邊（SAS角邊角（ASA 角角邊（AAS斜邊，直角邊（HL）注意：（容易出錯（1 在判定兩個三角形全等時，至少有一邊對應相等（邊定全等；（2）不能證明兩個三角形全等的是，三個角對應相等，即AAA有兩邊和其中一角對應相等，即 SSA。全等三角形是研究兩個封閉圖形之間的基本工具， 同時也是移動圖形位置的工具。 在平 面幾何知識應用中， 若證明線段相等或角相等， 或需要移動圖形或移動圖形元素的位置， 常 常需要借助全等三角

4、形的知識。6、常見輔助線寫法： （照著輔助線說明要能做出圖、養(yǎng)成嚴謹、嚴密的習慣如：過點A作BC的平行線AF交DE于F過點A作BC的垂線，垂足為 D延長AB至C,使BC= AC在 AB上截取 AC,使 AC= DE作/ ABC的平分線，交 AC于 D取AB中點C,連接CD交EF于G點同一條輔助線，可以說法不一樣，那么得到的條件、證明的方法也不同。BDC【第2部分中點條件的運用】1還原中心對稱圖形（倍長中線法）中心對稱與中心對稱圖形知識：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心。 這兩個圖形中的對應

5、點叫做關于中心的對稱點。中心對稱的兩條基本性質:（1） 關于中心對稱的兩個圖形， 對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分。（2）關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形。中心對稱圖形把一個圖形繞著某一個點旋轉180°,如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。（一個圖形）如：平行四邊形所以遇到中點問題，依托中點借助輔線段本身就是中心對稱圖形 ，中點就是它的對稱中心,助線還原中點對稱圖形，可以把分散的條件集中起來（集散思想）。例1、AD是厶ABC中BC邊上的中線，若AB 2，AC 4,貝U AD的取值圍是 例2、已知在 ABC中，A

6、D是BC邊上的中線,求證：AC BE。例3、如圖，D是厶ABC的邊BC上的點，且 CD=AB / ADBM BAD 人丘是厶ABD的中線。求證：AC=2AE例4 ABC中，AD BE CF是三邊對應中線。（則0為重心）求證：AD BE CF交于點Q （類倍長中線）；Svaob SvBOC Svcoa練習1、在厶ABC中, D為BC邊上的點，已知/ BAD / CAD BD CD求證：AB AC2、如圖，已知四邊形 ABCD中, AB CD M N分別為BC AD中點，延長 MN與 AB CD延長線交于 E、F,求證/ BEM / CFM（基本型：同角或等角的補角相等、K 型）B123、如圖，A

7、B=AE AB丄AE AD=AC ADLAC 點 M為 BC的中點，求證： DE=2AM2、兩條平行線間線段的中點（“八字型”全等）如圖，h / J , C是線段AB的中點，那么過點AD例1已知梯形ABCD AD/ BC點E是AB的中點，連接 DE、C&求證：SVDEC1s梯 ABCD例2 如圖，在平行四邊形 ABCD中, AD=2AB M是AD的中點，CELAB于點E,/ CEM=40，求/ DME的大小。（提示：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半）例3已知 ABDD ACE都是直角三角形， 且/ ABD / ACE=90 ,連接DE,設M為DE的中點。求證： MB MC設/ BAD

8、/ CAE固定 Rt ABD讓Rt ACE移至圖示位置，此時MB MC是否成立？請證明你的結論。E練習1、已知：如圖，梯形 ABCD中 , AD/ BC / ABC=90 .若 BD=BC F是CD的中點，試問：/ BAF與/ BCD的大小關系如何？請寫出你的結論并加以證明；2、Rt ABC中，/ BAC=90 , M為BC的中點，過 A點作某直線l，過B作BD l于點D,過C作CE l于點E。(1) 求證：MD=ME3、如圖(1),在正方形 ABCD和正方形 CGEF( CG> BC)中，點 B、C G在同一直線上， M 是AE的中點，(1 )探究線段MD MF的位置及數(shù)量關系，并證明

9、；(2) 將圖(1)中的正方形 CGEF繞點C順時針旋轉，使正方形 CGEF的對角線CE恰好與正 方形ABCD勺邊BC在同一條直線上，原問題中的其他條件不變。 (1)中得到的兩個結論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明。(結合前面“8字型”全等，仔細思考)3、構造中位線三角形中位線 定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線三角形中位線性質：三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半.重點區(qū)分：要把三角形的中位線與三角形的中線區(qū)分開，三角形中線是連結一頂點和它對邊（全等法）在厶ABC中，D E分別是AB AC邊的中點，證明：DE/ BC DE=1 BC2的中點；而三角形中位線是連結三

10、角形兩邊中點的線段。DEF/7B C證明：延長 DE至F點，使DE=EF連接CF （倍長中線）三角形的中位線在位置關系和數(shù)量關系二方面把三角形有關線段聯(lián)系起來，將題目給出的分散條件集中起來（集散思想）。注：題目中給出多個中點時，往往中點還是不夠用的。在四邊形 ABCD中, E、F、G H分別是AB BC CD DA的中點。A求證：四邊形EFGH是平行四邊形。HDVGBFC例10,且AC=BD M N分別是 AB CD的中點,例2已知四邊形 ABCD勺對角線AC與BD相交于點MN分別交BD AC于點E、F.你能說出0E與0F的大小關系并加以證明嗎?C練習1、三角形ABC中，AD是/ BAC的角平

11、分線,BDLAD點D是垂足，點E是邊BC的中點，如果 AB=6 AC=14求DE的長。2、AB/ CD BC/ AD , DEL BE ,DF=EF,甲從 B 出發(fā)，沿著 BA->AD->DF 的方向運動，乙 B出發(fā)，沿著BC->CE->EF的方向運動，如果兩人的速度是相同的，且同時從B出發(fā)，貝U誰先到達F點?3、等腰Rt ABC與等腰Rt CDE中，/ ACB=/ EDC=90，連AE、BE,點 M為 BE的中點，連DM(1 )當D點在BC上時，求的值AE(2)當厶CDE繞點C順時針旋轉一個銳角時，上結論是否任然成立，試證明4、AABC CEF都為等腰直角三角形，當

12、E、F在AC BC上，/ ACB=90，連 BE、AF,點M N分別為AF、BE的中點(1) MN與AE的數(shù)量關系MN與 AE的數(shù)量關系(2) 將厶CEF繞C點順時針旋轉一個銳角,4、與等面積相關的圖形轉換在涉及三角形的面積問題時，中點提供了底邊相等的條件，這里有個基本幾何圖形例E、F是矩形ABCD勺邊AB BC的中點，連AF、CE交于點G,則S四邊形AGCD S矩形ABCD擴展 如圖，等腰 Rt ACD與 Rt ABC組成一個四邊形 ABCD AC=4,對角線BD把四邊形ABCD分成了二部分，求 Svabd Svbcd的值?！?、等腰三角形中的“三線合一”】它告訴我們等腰三角形與直角三角形有

13、著“三線合一”是相當重要的結論和解題工具, 極為親密的關系例 ABC中，AB=AC BDL AC 于 D,問/CBD和/BAC 的關系?轉為同類三角形分析：/ CBD和/BAC分別位于不同類型的三角形中，可以考慮例 在厶ABC中，AB=AC=5 BC=6點M為BC中點,MNLAC于點 N,貝U MN=【6、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半】這可以作為一個定理直接運用， 關于這個定理的證明有多種方法，包括利用前面所講中點的一些知識。例 如圖Rt ABC中，/ ACD=90 , CD為斜邊AB上的中線1求證：CD= AB2(1)利用垂直平分線的性質：垂直平分線上任一點到線段的二個端點的距離相等

14、。取AC的中點E,連接DE則DE/ BC (中位線性質)Q / ACB=90BCL AC , DEI AC則DE是線段AC的垂直平分線AD=CD(2)全等法，證法略。例 在三角形ABC中，AD是三角形的高，點 D是垂足，點E、點，求證：四邊形 EFGD是等腰梯形。F、練習 1、在 Rt ABC中，/ A=90°, AC=AB M N分別在 ACO為斜邊BC的中點。試判斷厶OMN的形狀，并說明理由。2>A ABC中，/ A=90° ,(集散思想)D是BC的中點，DEL DF。求證：EFAB 上，且 AN=BMBE2 CF3、A ABC 中，AB=AC 點D 在 BC上,

15、 E 在 AB上，且 BD=DE的中點(1)若/ BAC=90，則/PMN=，并證明(2)若/ BAC=60PMN=，則/1假設給出如下定義：有一組相鄰角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形請解答下列問題:(1) 寫出一個你所學過的特殊四邊形中是等鄰角四邊形的圖形的名稱；(2) 如圖1,在厶ABC中，AB=AC點D在BC上，且CD=CA點E、F分別為BC AD的中點,連接EF并延長交AB于點G.求證：四邊形 AGEC是等鄰角四邊形；(3) 如圖2,若點D在厶ABC的部，(2)中的其他條件不變， EF與CD交于點H,是否存在 等鄰角四邊形，若存在，是哪個四邊形，不必證明；若不存在，請說明理由.2、已知：

16、 ABC和 ADE都是等腰直角三角形，/ ABC=/ADE=90，點 M是CE的中點，連接BM(1)如圖，點 D在AB上，連接DM并延長 DM交BC于點N,可探究得出 BD與BM的數(shù)量關系為，寫出證明過程。(2)如圖，點 D不在AB上, (1)中的結論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由。A3、在厶 AOB中，AB=OB=2 COD中, CD=OC=3 / ABO2 DCO 連接 AD BC,點 M N、P 分別為OA OD BC的中點.若A O C三點在同一直線上，/ ABO=60，則 PMNAD的形狀是，此時型=BC4、已知：如圖，正方形 ABCD中, E為對角線 BD上一點，

17、過E點作EF丄BD交BC于F,連接DF, G為DF中點，連接EG CG(1) 求證：EG=CG(2) 將圖中厶BEF繞B點逆時針旋轉450，如圖所示，取 DF中點G,連接EG CG問(1) 中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.(3) 將圖中厶BEF繞B點旋轉任意角度，如圖所示，再連接相應的線段，問(1)中的結論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結論？(均要求證明)全等三角形綜合二知識點：1、全等三角形的判定及性質:2、角平分線的性質與判定：3、常用輔助線：例題講解例 1、如圖，在 Rt ABC中，/ ACB=90 , CDLAB于 D, AE平分/ BAG 交 C

18、D于 K,交 BC 于E，F(xiàn)是BE上一點，且 BF=CE求證：FK/ AB.例 2、如圖 1 , ABC中，/ BAC=90 , BA=AC(1) D為AC的中點，連BD,過A點作AE1 BD于E點，交BC于F點，連DF,求證：/ ADB=/ CDF(2) 若D, M為AC上的三等分點，如圖 2，連BD過A作AE丄BD于點E,交BC于點F,連MF判斷/ ADB與/ CMF的大小關系并證明.例3、如圖，在 ABC中，/ C=90°, M為AB的中點，DMLAB, CD平分/ ACB 求證：MD=AM例4、在厶ABC中，/ ACB為銳角，動點 D (異于點B)在射線BC上，連接AD以AD

19、為邊在 AD的右側作正方形 ADEF連接CF.(1 )若 AB=A(CZ BAC=90 那么如圖一，當點 D在線段BC上時，線段CF與BD之間的位置、大小關系是 (直 接寫出結論)如圖二，當點 D在線段BC的延長上時，中的結論是否仍然成立？請說明理由.(2) 若 人片AC, / BAO 90° .點D在線段BC上，那么當/ ACB等于多少度時？線段 CF 與BD之間的位置關系仍然成立請畫出相應圖形，并說明理由.例5、如圖所示，已知 A B為直線I上兩點，點C為直線I上方一動點，連接 AC BC, 分別以AC BC為直角邊向 ABC外作等腰直角 CAD和等腰直角 CBE滿足/ CAD=

20、/CBE=90，過點 D作DD丄I于點D,過點E作EE丄I于點E.(1) 如圖，當點 E恰好在直線I上時，試說明DD=AB;(2) 在圖中，當D, E兩點都在直線I的上方時，試探求三條線段 DD, EE, AB之間的數(shù)量關系，并說明理由.圉例5圖D例6、如圖1,已知點A (a, 0),點 B ( 0, b)，且 a、b 滿足 Ja 4 |4(1) 求A、B兩點的坐標；(2) 若點C是第一象限一點，且/(3) 如圖2，若點D的坐標為(0, 1),過點A作AEL AD且AE=AD連接BE交x軸于 點G,求G點的坐標.OCB=45，過點 A作ADLOC于點F,求證:FA=FC鞏固：1如圖，已知/ B

21、AC=90 , AD丄BC于點D,Z仁/ 2, EF/ BC交AC于點F.試說明 AE=CF2、如圖， ABC 中，AD 平分/ BAC DGL BC 且平分 BC, DEI AB 于 E, DF 丄 AC于 F.(1) 說明BE=CF的理由；(2) 如果 AB=5, AC=3 求 AE BE 的長.3、如圖， ABC中，AC=2AB AD平分/ BAC交 BC于 D, E是 AD上一點，且 EA=EC 求證：EB丄AB.4、如圖，在 ABC中，/ ACB=90 , P為AC上一點，PQL AB于Q, AM丄AB交BP的延長線 于 M MN丄AC于 N, AQ=MN( 1)求證： AP=AM；

22、( 2)求證： PC=AN.5、如圖， ABC / BAC=60，/ ACB=40 , P, Q分別在 BC, CA上，并且 AP, BQ分別是/ BAC/ ABC的平分線，求證：BQ+AQ=AB+BP6、將兩個全等的直角三角形ABC和 DBE按圖(1)方式擺放，其中/ ACB=/ DEB=90 ,/ A=Z D=30°,點E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點 F.(1) 求證：CF=EF(2) 若將圖(1)中的 DBE繞點B按順時針方向旋轉角 a,且0°v av 60°,其他條件不 變，如圖(2).請你直接寫出 AF+EF與DE的大小關系：AF+EFDE

23、 (填“”或“=” 或 “V”)(3) 若將圖(1)中厶DBE的繞點B按順時針方向旋轉角B,且 60°v3v 180°，其他條 件不變，如圖(3) 請你寫出此時 AF、EF與DE之間的關系，并加以證明.7、如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點， ABC的三點坐標分別為 A ( 0, 5) , B(-5 , 0),C (2, 0), BD丄AC于D且交y軸于E,連接CE.(1 )求厶ABC的面積；AE(2 )求 匹 的值及 ACE的面積.8、如圖1,在平面直角坐標系中，點A (4 , 4),點B、C分別在x軸、y軸的正半軸上，S四邊形OBAC=16(1) z COA的值為

24、 ;(2) 求/ CAB的度數(shù)；(3) 如圖2,點M N分別是x軸正半軸及射線 OA上一點，且 OHLMN的延長線于H,滿足 / HON=/ NMO請?zhí)骄績蓷l線段 MN OH之間的數(shù)量關系，并給出證明.9、在平面直角坐標系中，點A ( 2, 0),點B (0, 3)和點C ( 0.2 );(1) 請寫出OB的長度：OB=;(2) 如圖：若點 D在x軸上，且點 D的坐標為(-3 , 0),求證： AOBA COD(3) 若點D在第二象限，且厶AOB2A COD則這時點D的坐標是 (直接寫答案)10、已知，在 ABC中, CA=CB CA CB的垂直平分線的交點 O在AB上，M N分別在直線AC BC上，/ MONMA=45°(1) 如圖1,