D3考研基礎(chǔ)班---中值定理及其應(yīng)用專題ppt課件

1、二、洛比達(dá)法則及其應(yīng)用二、洛比達(dá)法則及其應(yīng)用一、一、 微分中值定理及其應(yīng)用微分中值定理及其應(yīng)用中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三章第三章三、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用三、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用-研究曲線的性態(tài)研究曲線的性態(tài)1二、中值定理的應(yīng)用二、中值定理的應(yīng)用一、幾個中值定理一、幾個中值定理中值定理及其應(yīng)用專題：專題：2羅爾定理：羅爾定理：( , )a b ( )0f (1)() , fxC a b (2)()( , )f xD a b (3)( )( )f af b ( ) , f xC a b ( , )a b ( )( )( ),f bf afba ( )( , )f xD a b 拉格朗日定理：拉格朗日定理：柯西定理：柯西定理

2、：1. 微分中值定理微分中值定理 (),() , F xf xC a b ( ),( )( , )F xf xD a b ( )( )( ),( )( )( )ff bf aFF bF a ( , )a b ( )0F x 且且一、一、 幾個中值定理幾個中值定理3其中余項(xiàng)其中余項(xiàng)0() )no xx當(dāng)當(dāng)00 x 時為麥克勞林公式時為麥克勞林公式 .(1)10( )( )()(1)!nnnfRxxxn ( )2(0)(0)( )(0)(0)()2!nnnfff xffxxxxn 200000)(!2)()()()(xxxfxxxfxfxf)()(!)(00)(xRxxnxfnnn 0(xx 在在

3、與與之之間間) )若函數(shù)若函數(shù)0( )()f xx 在在內(nèi)具有內(nèi)具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), 泰勒中值定理：泰勒中值定理：0()xx 則則當(dāng)當(dāng)時時，有有公公式式：4 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 ( )( )f af b 微分中值定理之間的相互關(guān)系微分中值定理之間的相互關(guān)系 羅爾定理羅爾定理 ( )0f xyoab)(xfy ( )( )( )( )( )( )f bf afF bF aF ( )( )( )f bf afba ( )( )( )F xxf af b (1)110(1)!( )()nnnfxx 柯西中值定理柯西中值定理 ( )F xx xyoab)(xfy 泰勒中值定理

4、泰勒中值定理 000( )()()()f xf xfxxx ()100!()()nnnfxxx 0n 52. 零點(diǎn)定理與介值定理零點(diǎn)定理與介值定理1)零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理 ：( ) ,f xC a b 若若至少有一點(diǎn)至少有一點(diǎn)( ,),a b 且且使使( )0 .f ( ) ( )0f a f b (又叫根的存在定理又叫根的存在定理).( )0( , )f xa b 即即方方程程在在內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一個個實(shí)實(shí)根根. .2)介值定理：介值定理：( ) , ,( ),f xC a bf aA 設(shè)設(shè)且且( ),f bB AB則對則對 A 與與 B 之間的任一數(shù)之間的任一數(shù) C ,( ,),( ).

5、a bfC 使使推論推論: 在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最小值與最大值在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最小值與最大值之間的任何值之間的任何值 .( ) ,( , ),( )f xC a bmCMa bfC 使使即即：( ) , ,( )f xC a bmCMa bfC 使使或或63. 費(fèi)馬定理費(fèi)馬定理00( )f xxx設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) 處處, ,且且在在點(diǎn)點(diǎn)可可導(dǎo)導(dǎo)處處. 0)(0 xf取得極值取得極值4. 積分中值定理積分中值定理( ) , f xC a b 若若 , ( )d( )(,)baa bf xxfba 使使實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì):把積分轉(zhuǎn)化為被積函數(shù)在某點(diǎn)的函數(shù)值把積分轉(zhuǎn)化為被積函數(shù)在某

6、點(diǎn)的函數(shù)值.( ) , 2416.()f xC aPba b 例例 若若證證區(qū)區(qū)間間明明在在, ,，開開內(nèi)內(nèi),( )d( )() .baf xxfba 至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)使使( )dbaf xx 積分中值定理積分中值定理( )()Fba ( )( )F bF a 微分中值定理微分中值定理( )()fba 說明：說明：牛頓牛頓 萊布尼茨公式萊布尼茨公式( )( )Fxf x 設(shè)設(shè)7研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及求不定式的極限及求不定式的極限1. 證明恒等式證明恒等式.2. 證明不等式證明不等式.3. 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論證明有關(guān)中值問題的結(jié)論.關(guān)鍵關(guān)鍵:

7、利用逆向思維利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù)設(shè)輔助函數(shù)經(jīng)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)1:0( ),f xICx 欲欲證證時時0,xI且且00().f xC 使使( )0,Ifx 只只需需證證明明在在 上上二、中值定理的主要應(yīng)用二、中值定理的主要應(yīng)用利用中值定理證明不等式的步驟利用中值定理證明不等式的步驟:(3) 根據(jù)根據(jù) a b 的關(guān)系的關(guān)系,證明出不等式證明出不等式.(2) 利用中值定理利用中值定理,(1) 設(shè)出輔助函數(shù)和區(qū)間，設(shè)出輔助函數(shù)和區(qū)間，經(jīng)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)2：經(jīng)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)3: 欲證欲證( , )( )0.a b 使使(1)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)( )x ，(2)驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上滿足羅爾定理上滿足羅爾定理.( )x ,

8、a b81.證明恒等式證明恒等式例例1. 證明等式證明等式arcsinarccos, 1,1.2xxx 證證: 設(shè)設(shè)( )arcsinarccos,f xxx ( 1,1) 則則在在上上( )fx 由推論可知由推論可知( )arcsinarccosf xxxC (常數(shù)常數(shù)) 令令 x = 0 , 得得.2C 又又( 1),2f 故所證等式在定義域故所證等式在定義域 上成立上成立. 1, 1211x 211x 0 自證自證:(,)x arctanarccot,2xx 9例例1. 證明不等式證明不等式證證: 設(shè)設(shè)( )ln(1) ,f tt ( )0, f tx則則在在上上滿滿足足拉拉格格朗朗日日

9、中中值值定定理理的條件的條件,即即因?yàn)橐驗(yàn)樗运詌n(1)(0).1xxxxx ( )(0)f xf ln(1)x ,01xx 11xxxx ln(1)(0)1xxxxx ( )(0),0fxx 因此應(yīng)有因此應(yīng)有111x 11111x 2.證明不等式證明不等式練練習(xí)習(xí)：111ln(1)1111,2nnnn 證證明明: :對對任任意意正正整整數(shù)數(shù) , ,都都有有年年數(shù)數(shù)成成立立；1( )1ftt 由由于于10( )2,fx 例例2. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在在( )f x0,1上二階可導(dǎo)上二階可導(dǎo),(0)(1),ff 且且證明證明( )1.fx 證證:0,1,x由泰勒公式得由泰勒公式得(0)f(1)f兩

10、式相減得兩式相減得2211220( )( )(1)( )fxfxfx ( )f x ( )fx x 212( )fx (01) 212( )( )(1)( )(1)(01)f xfxxfx 20000( )( )()()()()2!ff xf xfxxxxx 0(xx 在在與與之之間間) )221122( )( )(1)( )fxfxfx221122( ) (1)( )fxfx 22(1)xx 12 (1)xx 1,0,1x 113. 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論證明有關(guān)中值問題的結(jié)論題型一題型一.( )0().fA 證證明明：使使或或常常數(shù)數(shù)保號性保號性 定理定理例例1. 設(shè)設(shè)( ) , ( )(

11、 )0,( )( )0,f xC a bf af bfa fb 且且試證：試證：( , ),( )0.a bf 使使證證: 不妨設(shè)不妨設(shè)( )0,( )0.fafb( )( )( )lim0 xaf xf ax afa 必有必有1( ,),2abxa 使使11()0f xxa ，故故1()0f x ( )( )( )lim0 xbf xf bx bfb 保號性保號性 定理定理必有必有2(, ),2abxb 使使22()0,f xxb 故故2()0f x 又在又在12, , xxa b 上上( )f x連續(xù)連續(xù), 由零點(diǎn)定理知由零點(diǎn)定理知, 存在存在12(,)( , ),xxa b ( )0.f

12、 使使 ab1x2x2ab x12例例2. 設(shè)設(shè)10( )0,1( )d0, ( )0,1f xCf xxg x 且且在在上上有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)1120(0,1)( )0,( ) ( )d0,(0,1)g xf x g xx 在在內(nèi)內(nèi)又又，證證明明: : 不不同同分析：分析：( )0f 若若證證, ,可可用用零零點(diǎn)點(diǎn)定定理理, ,羅羅爾爾定定理理. .:證證明明12()()0ff 使使0( )( )d ,xF xf tt 令令(, ,0,1,( )( )( )0)a b cF aF bF c欲欲證證結(jié)結(jié)論論, ,需需找找使使(0)0,(1)0,FF 由由已已知知( )( ),Fxf x 又又

13、10( ) ( )d0f x g xx 由由已已知知知知10( ) ( )d0 ,Fx g xx 1100( ) ( )( )( )d0F x g xF x g xx 即即10( )( )d0F x g xx 10:(0,1)( ) ( )d( ) ( )(1 0)0F x g xxFg 由由積積分分中中值值定定理理得得使使 01 1310(0,1)( ) ( )d( ) ( )(1 0)0F x g xxFg 使使，( )0( )0g xF 由由已已知知 01 ( )0, F x 對對在在上上用用羅羅爾爾定定理理：111(0, )(0,1)()0()0.Ff 使使即即( ) ,1F x 對對

14、在在上上用用羅羅爾爾定定理理：222( ,1)(0,1)()0()0.Ff使使即即0( )( )dxF xf tt 例例2. 設(shè)設(shè)10( )0,1( )d0, ( )0,1f xCf xxg x 且且在在上上有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)1120(0,1)( )0,( ) ( )d0,(0,1)g xf x g xx 在在內(nèi)內(nèi)又又，證證明明: : 不不同同12()()0ff 使使證證畢畢14題型二題型二.( )0( )0.ff 證證明明：使使或或證證明明思思路路：1.( )0:f 使使2.( )0:f 使使(1)( )f xx 驗(yàn)驗(yàn)證證在在處處取取得得極極值值，用用費(fèi)費(fèi)馬馬定定理理. .(2)( )f

15、xx 驗(yàn)驗(yàn)證證在在包包含含的的閉閉區(qū)區(qū)間間上上滿滿足足羅羅爾爾定定理理. ., ,( )( )(0)a bf af b 這這里里關(guān)關(guān)鍵鍵 需需找找使使(1)( ),fx 對對用用費(fèi)費(fèi)馬馬定定理理 羅羅爾爾定定理理. .(2), , ,( )( )( ),()a b cf af bf cabc 需需找找三三個個點(diǎn)點(diǎn)使使1122( , )()0;( , )()0;a bfb cf 則則使使使使12( ) ,fx 對對在在上上用用羅羅爾爾定定理理即即得得結(jié)結(jié)論論. .15例例3. 設(shè)設(shè)( ) , ( )( )0,f xD a bfa fb 且且( , )a b 證證明明: :分析：分析：這這是是導(dǎo)導(dǎo)

16、數(shù)數(shù)的的零零點(diǎn)點(diǎn)定定理理. .( )0.f 使使保號性保號性 定理定理證證: 不妨設(shè)不妨設(shè)( )0,( )0.fafb( )( )( )lim0 xaf xf ax afa 必有必有1( ,),xa a ( )( )0f xf ax a 使使( )( )f xf a ( )( )( )lim0 xbf xf bx bfb 保號性保號性 定理定理必有必有2(, ),xbb ( )( )0f xf bx b 使使( )( )f xf b ( ),( )() , f af bf xa b即即都都不不是是在在上上的的最最大大值值，16例例3. 設(shè)設(shè)( ) , ( )( )0,f xD a bfa fb

17、 且且( , )a b 證證明明: :( )0.f 使使( ) , f xC a b ( ) , f xa b在在上上必必有有最最大大值值與與最最小小值值，( ),( )() , f af bf xa b即即都都不不是是在在上上的的最最大大值值，( ) , ( , )f xa ba b則則在在上上必必有有最最大大值值一一定定在在內(nèi)內(nèi)取取得得，( )max( )( , )axbff xa b 設(shè)設(shè)，( )f xx 在在處處可可導(dǎo)導(dǎo)，( , )( )0.a bf 由由費(fèi)費(fèi)馬馬定定理理知知：使使證證畢畢17例例4. 設(shè)設(shè)( )0,3,( )(0,3),(0)(1)(2)3,f xCf xDfff且且

18、(3)1,(0,3)( )0.ff 證證明明: :使使03研研數(shù)數(shù)三三分析：想用羅爾定理時找輔助函數(shù)的方法分析：想用羅爾定理時找輔助函數(shù)的方法(1); (2)( )( ); (3) ( ).xfxf xf x 為為輔輔助助函函數(shù)數(shù)( )0,2,f xMm設(shè)設(shè)在在上上的的最最大大值值為為與與最最小小值值為為 ，證證:(0),(1),(2)mfffM，(0)(1)(2)3fffmM1mM ，(0)(1)(2)0,2( )13ffff 有有介介值值定定理理得得：使使(3)1f 又又( ) ,3f x 在在上上滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件，( ,3)(0,3),( )0.f 所所以以: :使使

19、證證畢畢 03 218例例5. 設(shè)設(shè)0( )( )lim0,(1)0,xf xf xfx 具具有有二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)且且(0,1)( )0.f 證證明明: :使使0( )lim0 xf xx證證:(0)0,(0)0,ff (1)0,f 又又(0,1),( )0.f 得得：使使()0,1f x在在上上滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件，(0, )(0,1)( )0.f 所所以以: :使使證證畢畢()0, fx 在在上上滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件， 01 19題型三題型三.( )( )0(2).nfA n證證明明：使使或或證證明明思思路路：若若已已知知高高階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則不不管管三

20、三七七二二十十一一要要考考慮慮用用泰泰勒勒公公式式. .例例6. 設(shè)設(shè)( ), f xa a 在在上上具具有有三三階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,且且滿滿足足20( )()d ,(0)0, ,xfxxtf xtt fa a 證證明明: :4( )12( )d .aaaff xx 使使分析：分析：(1)若若有有高高階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則不不管管三三七七二二十十一一要要考考慮慮用用泰泰勒勒公公式式. .(2), ,a a 結(jié)結(jié)論論是是證證明明: :閉閉區(qū)區(qū)間間, ,就就要要考考慮慮連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)().的的介介值值定定理理 推推論論常常與與其其它它中中值值定定理理, ,介介值值定定理理結(jié)結(jié)合合. .20

21、例例6. 設(shè)設(shè)( ), f xa a 在在上上具具有有三三階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,且且滿滿足足20( )()d ,(0)0, ,xfxxtf xtt fa a 證證明明: :4( )12( )d .aaaff xx 使使解：解：(1)( ), fxa a 在在上上連連續(xù)續(xù)( ), fxa a 在在上上連連續(xù)續(xù). .412( )( )daaff xxa 所所證證的的等等式式為為：()A 常常數(shù)數(shù)( ), fxaAa 在在上上的的最最大大, ,最最小小需需證證介介于于值值之之間間. .2300000011(2)( )()()()()()( )()26f xf xfxxxfxxxfxx 000(

22、)( ).()()()?f xff xfxfx 這這樣樣就就把把與與連連系系在在一一起起了了怎怎么么處處理理, , ,0.x關(guān)關(guān)鍵鍵是是怎怎樣樣確確定定000(),(),()0.f xfxfx 很很多多情情況況下下已已知知, ,最最好好等等21例例6. 設(shè)設(shè)( ), f xa a 在在上上具具有有三三階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,且且滿滿足足20( )()d ,(0)0, ,xfxxtf xtt fa a 證證明明: :4( )12( )d .aaaff xx 使使0(3)()dxtf xt t xtu 0() ( )( d )xxu f uu 00( )d( )dxxxf u uuf u u 2

23、00( )( )d( )d( )xxfxxxf u uuf u u 由由已已知知：(0)0,( )(0)0.ff 由由知知由由已已知知：( )( )fxx 兩兩邊邊對對 求求導(dǎo)導(dǎo)：2x 0( )dxf u u ( )xf x ( )xf x (0)0,f 00,x故故知知泰泰勒勒公公式式中中的的應(yīng)應(yīng)選選作作224, ,( )12( )d .aaa aaff xx 即即使使例例6. 設(shè)設(shè)( ), f xa a 在在上上具具有有三三階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,且且滿滿足足20( )()d ,(0)0, ,xfxxtf xtt fa a 證證明明: :4( )12( )d .aaaff xx 使使0(

24、4)0 x 有有以以上上分分析析, ,代代入入泰泰勒勒公公式式得得：2300000011( )()()()()()( )()26f xf xf xxxfxxxfxx 31( )( ),6f xfx 0.x 介介于于 ， 之之間間( ), ,fxa aMm 設(shè)設(shè)在在上上的的最最大大值值, ,最最小小值值分分別別為為 ，則則31( )d( )d6aaaaf xxfxx 3d6aaMxx 412Ma 412( )d,aaf xxMa 412( )d,aaf xxma 類類似似的的，( ), fxa a 在在上上應(yīng)應(yīng)用用介介值值故故對對定定理理得得：412, ,( )( )daaa aff xxa 證

25、證畢畢23題型四題型四.( ,( ),( ),( ),)0.Gfff 證證明明：使使證證明明思思路路：( )( )( ,( ),( ),( ),),F xFxG x f xfxfx 做做輔輔助助函函數(shù)數(shù)使使( ).F x然然后后驗(yàn)驗(yàn)證證滿滿足足羅羅爾爾定定理理( )-.F x輔輔助助函函數(shù)數(shù)的的構(gòu)構(gòu)造造法法原原函函數(shù)數(shù)法法 其其步步驟驟為為：( ,( ),(1),( )G x f xxfxxf 將將欲欲證證結(jié)結(jié)論論中中的的 換換為為 ，2)()( ),F x用用觀觀察察法法或或積積分分法法 或或解解微微分分方方程程法法 求求3),若若用用解解微微分分方方程程法法( ,( ),( ),( )0G

26、 x f xfxfx 先先求求出出微微分分方方程程，的的通通解解，( ),F xC 并并分分離離常常數(shù)數(shù)使使( ).F x則則就就是是所所需需的的輔輔助助函函數(shù)數(shù)( )0F 24例例7. 設(shè)設(shè)在在( )f x0,1內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 且且(1)0,f 證明至少存在一點(diǎn)證明至少存在一點(diǎn)2( )( )ff 使使(0,1) , 上連續(xù)上連續(xù), 在在(0,1)分析分析: 問題轉(zhuǎn)化為證：問題轉(zhuǎn)化為證：( )2 ( )0.ff 證明：設(shè)輔助函數(shù)證明：設(shè)輔助函數(shù)2( )( )xx f x 顯然顯然( )0,1x 在在上上滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件，故至少故至少(0,1), 使使22( )( )0ff

27、即有即有( )f 2( )f 存在一點(diǎn)存在一點(diǎn)( )0 2( )2( )0ff 只只需需證證：2( )2( )0 x fxx f x 25例例8.設(shè)設(shè)110( )0,1,( )(0,1)(1)( )d ,(1)xkf xCf xDfkxef xxk 且且證明：證明：1(0,1),( )(1) ( ).ff 使使( )11( )fxf xx 變變形形為為：設(shè)輔助函數(shù)設(shè)輔助函數(shù)( )( ).xF xxef x 只需驗(yàn)證：只需驗(yàn)證：( )0,1F x 在在上上滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件. .解解微微分分方方程程得得：分析分析:, x 1( )(1) ( ).fxf xx ( )1d1d ,

28、( )fxxxf xx ln( )lnln,f xxxC 01研研數(shù)數(shù)三三分分離離常常數(shù)數(shù)：( ),xxef xC ( )( ).xF xxef x ( )( )( )( ),xxxF xef xxef xxefx ( )0, ( )( )( )0Fefff 即即1( )(1) ( ).ff 26例例8.設(shè)設(shè)110( )0,1,( )(0,1)(1)( )d ,(1)xkf xCf xDfkxef xxk 且且證明：證明：1(0,1),( )(1) ( ).ff 使使01研研數(shù)數(shù)三三( )( )xF xxef x 證證明明：設(shè)設(shè)，11110(1)1(1)( )dxkFefe kxef xx 由

29、由已已知知：111( )(0)e k efk ( ),ef 1(0)k ( )( )Fef 又又( ) ,1F x 在在上上滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件，( ,1)( )0.F 所所以以: :使使( ) ( )( )( ),xF xef xxf xxfx ( )0, ( )( )( )0Fefff 即即1( )(1) ( ).ff 證證畢畢( )(1),FF 01 27d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP 例例9.設(shè)設(shè)( ) , ,( )( , )( )( ),f xC a bf xD a bf af b 且且證明：證明：( , ),( )( ).a bff 使使設(shè)輔助函數(shù)：設(shè)

30、輔助函數(shù)：只需驗(yàn)證：只需驗(yàn)證：( ) , F xa b在在上上滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件. .解解這這個個一一階階線線性性微微分分方方程程得得：分析分析:, x ( )( ),fxf x ( )(),xxf xeeC 分分離離常常數(shù)數(shù)： ( ),xef xC ( ) ( )xF xef x ( ) ( )( ),xxF xef xe fx ( )0, ( )( )0efe fF 即即( )( ).ff 28題型五題型五.( ,( ),( ),( ),( ),( )0.Gffff af b 證證明明：使使證證明明思思路路：,1,a b 將將結(jié)結(jié)論論中中 與與的的分分離離在在等等式式兩兩

31、邊邊 根根據(jù)據(jù)兩兩邊邊結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)法法 ：用用觀觀察察法法().拉拉格格朗朗日日定定理理或或做做輔輔助助函函柯柯西西定定理理 不不易易觀觀察察數(shù)數(shù)用用2k常常數(shù)數(shù) 值值法法法法 ：, ,其其步步驟驟為為：1),a b 將將結(jié)結(jié)論論中中 與與的的分分離離在在等等式式兩兩邊邊k 令令常常數(shù)數(shù)部部分分；2), akb 對對等等式式做做恒恒等等變變形形并并把把分分離離在在等等常常數(shù)數(shù)部部分分, ,式式兩兩端端；3)分分析析關(guān)關(guān)于于端端點(diǎn)點(diǎn)的的表表達(dá)達(dá)式式是是否否為為對對稱稱式式或或輪輪換換對對稱稱式式，()abx若若是是, ,只只要要把把或或改改為為 , ,則則替替換換后后的的一一端端的的表表達(dá)達(dá)式式就就

32、是是所所求求的的輔輔助助函函數(shù)數(shù), ,然然后后用用羅羅爾爾定定理理即即可可. .29例例10.設(shè)設(shè)( ) , ,( )( , ),:( , ),f xC a bf xD a ba b 證證明明( )( )( )( ).bf baf affba 使使1解解法法 ：( )( ) , F xxf xa b 經(jīng)經(jīng)觀觀察察知知：令令在在上上用用拉拉格格朗朗日日定定理理. .2k常常數(shù)數(shù)解解法法 ：值值法法. .分析分析:( )( )bf baf akba 令令( )( ),bf bkbaf aka 解解題題過過程程為為：( )( )( )=.)bf baf akF xxf xxbak 令令，其其中中(

33、)( )F bF a ( )( )bf bkbaf aka 0 ( ) , F xa b在在上上滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件, ,( , ),( )0,a bF 使使( )( )( )F xf xxfxk ( , ),( )( ),a bffk 使使所所以以結(jié)結(jié)論論成成立立. .30題型六題型六.,( , )0.G 證證明明：使使雙雙介介值值問問題題證證明明思思路路：1), 將將結(jié)結(jié)論論中中 , , 的的分分離離在在等等式式兩兩邊邊2),根根據(jù)據(jù)兩兩邊邊結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)做做輔輔助助函函數(shù)數(shù).拉拉格格朗朗日日定定理理或或柯柯需需用用兩兩次次西西定定理理要要例例11.( ) , (),0,f xa

34、 ba bab 設(shè)設(shè)在在上上連連續(xù)續(xù)， 在在， 內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo) 且且試證存在試證存在,( , ),( )( ).2aba bff 使使證證: 欲證欲證( )( ),2ffab ( )( )( )(),( , )f bf afbaa b 則則2( ) , ,f xxa b又又因因及及在在上上滿滿足足柯柯西西定定理理?xiàng)l條件件22( )( )( ),( , )2f bf afa bba 將將代入代入 , 化簡得化簡得故有故有( )( ),2abff ,( , )a b 即要證即要證22( )()( ).2fbafba ( ) , f xa b因因在在上上滿滿足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理的的條條件件, ,證證畢畢31已知函數(shù)已知函數(shù)( )0,1,(0,1)f x 在在上上連連續(xù)續(xù) 在在內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 且且證證: (1) 令令( )0,1g x則則在在上上連連續(xù)續(xù)， 且且( )( )1,g xf xx (0)10,(1)10gg (0)0,(1)1,ff證證明明(1)(0,1),( )1f 存存在在