平面向量與向量方法的應用(競賽輔導材料)[技巧]

1、平面向量與向量的方法的應用江西省寧都縣寧師中學 廖東明一、用向量表示三角形的“心”（重心、內心、垂心、外心）在中，角所對的邊分別為三角形“四心”的向量的統(tǒng)一形式：是的心引理：若是內的一點，則證明：這里只證明（均為正數(shù)）作，則容易證明點為的重心于是，所以，同理，所以取，則，練習：1是的_心2是的_心3是的_心是的_心4在內部，則 是的_心是的_心是的_心當你學完正弦定理和余弦定理后，會有更多的表示方法5所在直線一定通過的_心6所在直線一定通過的_心7所在直線一定通過的_心8已知是坐標平面內不共線的三點，是坐標原點，動點滿足（），則點的軌跡一定經過的_心（答案：1重心2內心3外心4垂心（提示：為的

2、垂心因為在內部，所以，所以，同理，又，所以）5內心6重心7垂心提示：設,則，所以）。）8重心提示：，所以，設，則，即因為經過的中點，三點共線，所以的軌跡一定經過的重心）二、三角形形狀的判定1為所在平面內一點，且滿足，則三角形形狀為_三角形1解：由條件，得，即，所以，即所以是等腰三角形2已知非零向量和滿足條件，且，則是_三角形2解：設，則為的角平分線；又由得到，所以由得到，所以為等邊三角形3在中，是邊的中點，角的對邊分別為，若，則的形狀為_3解：因為是邊的中點，所以，所以因為與不共線，所以且，所以，即為等邊三角形三、向量分解問題1如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起若，則_，_1解：不妨設，

3、則，由于，所以過點作的垂線，與的延長線交于點，則，給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為如圖所示，點C 在以O為圓心的圓弧上變動若，其中，則的最大值是_解法：設 ，由可得，即的最大值是解法：以點為坐標原點，為軸，建立平面直角坐標系，則，設（），由可得，的最大值是解法：設，過點作的平行線交于點，過點作的平行線交于點，由及可知，又，在中，由正弦定理得，的最大值是3為內一點，設，則_3解法一：過點作的平行線交的延長線于點，過點作的平行線交的延長線于點，則，。因為，所以，所以，所以，所以解法二：因為，所以，即，解得，所以。解法三：建立平面直角坐標系，為軸，為軸，因為，所以，所以且，解得，所以。四、

4、向量間的夾角（余弦值）或夾角范圍問題1已知，都是非零向量，且與垂直，與垂直，求與的夾角1解：依題意，所以，解得且，所以，所以，因為，所以2 在和中，是的中點，若，則與的夾角的余弦值等于_2解：因為，所以，即因為，所以，即設與的夾角，則有，即，所以3已知的面積為，且，若，則向量與的夾角的范圍是_3解：設向量與的夾角為，則因為，所以，所以，所以向量與的夾角的范圍是4中，的對邊分別為，重心為，若，則_4因為為的重心，所以，所以，因為與不共線，所以設的中點為，則，所以，所以平面向量與向量方法的應用（二）（教師版）一、平面向量基本定理與向量共線定理的應用1如圖，在中，已知，過點作直線交、于、兩點，則 _

5、1解：構造基底，則，設，因為點、三點共線，所以（），于是又、不共線，所以且，消去，得，即，所以2 中，為的中點，為邊上靠近點的一個三等分點，與交于點，求：與的長度之比；與的長度之比2解：設，因為為的中點，所以因為三點共線，所以存在唯一實數(shù)（）使得，因為三點共線，所以存在唯一實數(shù)（）使得，即，解得，因為與不共線，所以比較得，解得，所以，所以，二、數(shù)量積（或模長）的取值范圍（或最值）問題1平面內的向量，點是拋物線（）上任意一點，則的取值范圍是_1解：由題意，可設點（），則，所以，因為，所以，所以點評：將表示為關于的函數(shù)式，針對該函數(shù)式及來求函數(shù)的值域多數(shù)情況下所得到的函數(shù)與二次函數(shù)有關，如本例令，

6、則（）注意從函數(shù)角度來確定，不要得出錯誤結論2已知、是兩個互相垂直的單位向量，且，則對于任意實數(shù)、，的最小值是_ 2解：依題意，且，于是，所以，當且僅當、時上式取得等號，故所求的最小值為，選3 在長方形中，為的中點，若是線段上動點，則的最小值是_3解：由題意得因為為的中點，所以，設（），則，故所求最小值為三、求面積比1設為的邊上一點，為內一點，且滿足,，則_ 1解 ： 連，則，所以，故，故 故選點評：由且與沒有公共點推出，再利用同位角相等和面積公式而使問題簡捷獲解2設點在的內部，且有，求_2解：延長至，使，延長至，使得，則，所以為的重心顯然同理，所以3 設點是內的一點，記，若，則_3解：如圖，

7、因為，所以，所以點到的距離是點到的距離的，點到的距離是點到的距離的，所以，所以所以四、求參數(shù)或參數(shù)和的取值范圍或最值1 四邊形是邊長為的正方形，點在的延長線上，點為內（含邊界）的動點，（），則的最大值等于_1解：顯然點在線段上（不含點）上無法取得最大值，點在線段上才有可能取得最大值因為，所以點三點共線時，所以，由幾何圖形知，所以的最大值為，當位于點時取得2 已知點是的重心，點是內一點，若（），則的取值范圍是_ 2解：因為點是的重心，點是內一點，若，所以，而點到的距離越大，越大，越小過點作的平行線，觀察可知，當點與場合時，當點在上時因為點是內一點，所以的取值范圍是3 設兩個單位向量、滿足、，、的

8、夾角為，若向量與向量的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍3解：由條件，得，所以由解得，數(shù)形結合可得不等式的解為設（），因為、不共線，所以且，得到，即當時向量與向量的夾角為故實數(shù)的取值范圍為五、平面向量與平面幾何的交匯問題1已知為的外接圓的外心、垂心，求證：證明：延長交的外接圓于，連結，則，所以，所以，所以2已知內接于，為的中點，為的重心求證：證明：設，因為為的中點，為的重心，所以，所以（因為）因為，所以為的中垂線，所以所以，故3 設向量，滿足：，以，的模為邊長構成三角形，則它的邊與半徑為的圓的公共點個數(shù)最多為_3解：，的模為邊長構成三角形是一個直角三角形，其內切圓半徑當半徑為的圓所處的位置正好是三角

9、形的內切圓位置時，三角形與圓只有三個交點，當圓的位置偏離后使得三角形有兩條邊與圓相交時，能實現(xiàn)4個交點的情況，但5個以上的交點不能實現(xiàn)因此公共點個數(shù)最多為個平面向量與向量的方法的應用（一）（學生版）一、用向量表示三角形的“心”（重心、內心、垂心、外心）在中，角所對的邊分別為三角形“四心”的向量的統(tǒng)一形式：是的心引理：若是內的一點，則證明：這里只證明（均為正數(shù)）作，則容易證明點為的重心于是，所以，同理，所以取，則，練習：1是的_心2是的_心3是的_心是的_心4在內部，則 是的_心是的_心是的_心當你學完正弦定理和余弦定理后，會有更多的表示方法5所在直線一定通過的_心6所在直線一定通過的_心7所在

10、直線一定通過的_心8已知是坐標平面內不共線的三點，是坐標原點，動點滿足（），則點的軌跡一定經過的_心二、三角形形狀的判定1為所在平面內一點，且滿足，則三角形形狀為_三角形2已知非零向量和滿足條件，且，則是_三角形3在中，是邊的中點，角的對邊分別為，若，則的形狀為_三、向量分解問題1如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起若，則_，_給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧上變動若，其中，則的最大值是_3為內一點，設，則_四、向量間的夾角（余弦值）或夾角范圍問題1已知，都是非零向量，且與垂直，與垂直，求與的夾角2 在和中，是的中點，若，則與的夾角的余弦值等于_3

11、已知的面積為，且，若，則向量與的夾角的范圍是_4中，的對邊分別為，重心為，若，則_平面向量與向量方法的應用（二）（學生版）一、平面向量基本定理與向量共線定理的應用1如圖，在中，已知，過點作直線交、于、兩點，則 _2 中，為的中點，為邊上靠近點的一個三等分點，與交于點，求：與的長度之比；與的長度之比二、數(shù)量積（或模長）的取值范圍（或最值）問題1平面內的向量，點是拋物線（）上任意一點，則的取值范圍是_2已知、是兩個互相垂直的單位向量，且，則對于任意實數(shù)、，的最小值是_ 3 在長方形中，為的中點，若是線段上動點，則的最小值是_三、求面積比1設為的邊上一點，為內一點，且滿足,，則_ 2設點在的內部，且有，求_3 設點是內的一點，記，若，則_四、求參數(shù)或參數(shù)和的取值范圍或最值1 四邊形是邊長為的正方形，點為內（含邊界）的動點，