新北師大版九年級數(shù)學下冊《與“將軍飲馬”有關的三角形周長最小問題》教案_8

1、線段和最小問題教學設計課題與“將軍飲馬”有關的三角形周長最小問題1、掌握將軍飲馬問題的解法以及所用的數(shù)學原理兩點之間線段最短。2、 經(jīng)歷探索三角形周長最小問題的思路方法，進一步培養(yǎng)教學目標學生用對稱的思想把問題轉化為兩點之間線段最短，讓學生體會轉化的思想。3、由將軍飲馬問題引入，激發(fā)學生學習興趣，培養(yǎng)學生合作的團隊精神. 體會數(shù)學與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系。教學重點探索三角形周長最小問題如何解決。教學難點三角形的周長即三邊的和如何轉化為兩點之間線段最短。教學方法啟發(fā)引導、合作探究教學工具2、多媒體課件、三角板、圓規(guī)、投影儀.教學步驟教師活動學生活動設計意圖引入：傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學和物理的學

2、者，名叫海倫一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題：將軍每天從軍營A 出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側的B 地開會，應該怎樣走才能使路程最短？從此，這個被稱為“將軍飲馬”的問題廣泛流傳問題一：你能幫將軍解決這個問題嗎？如何證明你的是最短路線？這么做的根本原因是？引導學生 了解歷史 上將軍飲 馬問題，提問：如何解決？為 什么最 短？思考將軍飲馬 問題怎么做？ 學生自己動手 畫圖 為什么是最短 的？用將軍飲馬 的數(shù)學史知 識引入，在 初三復習階 段，讓學生 再一次感受 數(shù)學來源于 生活、應用 于實踐的作用，同時提高學習興趣，激發(fā)學生的求知欲。事實上學生已經(jīng)很熟悉將軍飲馬

3、問題了，但要讓學生理解這么做根本原因是 通過對稱將兩個點轉化為異側，利用兩點之間線段最短。問題二：如圖：四邊形ABCD中BAD=12o0， B= D=90o， AB=1， AD=2，在 BC、 CD上分別找一點M、 N， 使得AMN的周長最小，最小周長。引導學生 思考： 將軍 飲馬問題 是一個動 點、 兩個確定的點， 此 問題是兩 個動點， 一 個確定的點 A， 應當 如何轉 化？四人一組積極討論，這個問題與將軍飲馬到底有什么相似的地方？由 于 A是 定點，所以作點A 的對稱點，由于有兩個垂引導學生討論， 學生來講直，所以作點A關于BC和 CD的 對 稱點 A1和 A2， 從而轉化為兩點之間線

4、段最短。再利用120°的補角以及兩條線段長度求出 最短距離 A1A2的長。設計意圖：此題已經(jīng)是求三角形周長最小問題了，由于A是確定的，所以作 A 的對稱點，并且 A 的對稱點也是確定的，這樣一個轉化的思想對學生來說不是很難， 并且為后邊 2018年 中考題鋪墊，兩動一定比三動簡單一些，學問題三：如圖， 在 ABC 中， A 45 ， B 60 ， AB=4，P 是 BC邊上的動點（不與B， C 重合），點P 關于直線AB， AC的對稱點分別為M， N，則線段MN的最小值是 。中考鏈接（2018 年中考 25 題（3） ） ：如圖所示，AB、 AC、 BC是某新區(qū)的三條規(guī)劃路其中，AB

5、 6km， AC 3km，BAC 60°，BC所對的圓心角為60°新區(qū)管委會想在BC路邊建物資總站點P，在AB、 AC路邊分別建物資分站點E、 F也就是，分別在弧BC線段AB會作對稱， 符合初三學 生的認知規(guī) 律。引導學生 思考：對稱的思想學生已經(jīng)掌 握， 深刻理 解對稱的 性質有哪學生思考：此題已經(jīng)對稱了，那么對稱后的性質是：對應邊相等、設計意圖： 此題的設計 是在學生已 經(jīng)會作對稱 的基礎上進些？對應角相等，行，作完對所以會連接稱把三角形AP、 AM、 AN，周長轉化為并且這三條線線段的長，段相等，利用此題利用對45°的二倍是稱的性質：90°，從而將

6、對應邊、對MN用 AP表示應角相等才出來，要求出轉化為MN 的 最小 值只 需 要求AP的最小值，利用垂線段最短可求解。2 AP， 再求出 AP的最小值。這個問題旨在利用對稱的性質計算線段的長。引導學生 審題，畫出關鍵詞、關鍵條件；引導先冷靜首先獨立思考，然后小組討論。1. 三角形周長最小問設計意圖： 之前的問題 都在為此提 鋪墊，根據(jù)和 AC上選取點P、 E、 F 由于總 站工作人員每天要將物資在各物資站點間按P E F P 的路徑進行運輸，因此，要在各物資站點之間規(guī)劃道路PE、 EF和 FP為了快捷環(huán)保和節(jié)約成本要使得線段PE、 EF、 FP之和最短，試求PE EF FP 的最小值 （ 各

7、物資站點與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計） 思考在動 筆畫圖計 算。 讓學生來講解， 教 師只是引 導。小結：學生自主討論總結自己的收獲題， 假設 P定， 利用之前的知識 作 P關 于 AB、 AC的對稱 點 P1、 P2， 轉 化為求兩點之 間的最短距離 P1P2； 2. 利用 對稱性質得到P1P2= 3 AP。只 要 求出 AP 的最小值即 可； 3 利用圓 外一點到圓上 各點連接的線 段中，過圓心 的線可取最大 與最小值，從而的到AP 最小值為）OA-r；4 求 OA和 r, 證明三角形 ABC為直角三 角形，求出 BC=r, 再 求 OA， 求 AP， 求 的 P1P2。 整個 過

8、程由學生來 說方法。初中生的認知規(guī)律，由簡到難，層層加深難度 ，學生通過合作探究基本可以走完前兩步，第 3 步穿心線的思想在圓的復習中學生以及突破，最后的計算，只要有 大膽猜測小心求證的想法就能做出來，教師稍加引導就可解決。引導學生 討論自主總結收 獲：關鍵是數(shù)設計意圖：學生剛剛完作業(yè)：嘗試自己編一個求三角形周長最小問題學思想成 2018年最難的25題一定有很多收獲，比如：周長最小問題轉化為線段最小，穿 心線等等。設計意圖：應用本節(jié)課所學，自己編一道數(shù)學比較難的三角形周長最小的題，學生興趣濃 厚，同時也 是對本節(jié)課 知識的總結 和應用。教學反思：這節(jié)課師生教與學活動是建立在學生的認知發(fā)展水平和

9、已有的經(jīng)驗基礎上設計的，從將軍飲馬問題引入，滲透作對稱的思想，緊接著設計兩動一定，作兩次對稱， 轉化為兩點之間線段最短。之后已經(jīng)掌握對稱的思想，需要分析對稱的性質會計算兩點之間線段的長，為最后的中考題作了充分準備，學生再看中考題時都有思路，只是在后邊計算時需要圓中一些基礎知識和教師簡單的引導，從而讓學生完成中考最難的題的解答。整體以學生為主體，按照初中生思維能力的發(fā)展由淺入深，層層遞進，解決了以前看來非常難的25 題。另外數(shù)學史知識的引入讓初三學生耳目一新，興趣更加濃厚。上完后，我發(fā)現(xiàn)的問題有：1. 學生兩極分化比較嚴重，大概有60%的學生可以在教師的引導下思維得到鍛煉和發(fā)展，但是剩下的同學比較慢一些，也許這也跟中考 25 題第三問對學生思維、推理等能力要求非常高，這也和學生特點能力有關。2. 學生基本能夠