第二章高斯曲率的計算公式

1、第二章 曲面論高斯曲率的計算公式高斯定理2LN - M 2K = k1k2 =EG - F2,4 4 4(Wuu) 尹; 二(u/vJuv)VEG - F2(uJvJvv) EG - F2所以LN - MEG - F21* 、2,22(ru,rv, ruu )( ru , rv ,rvv) (ru , rv , ruv) )(EG -F )利用行列式的性質和矩陣乘法，得（3：2）（，,由3-丘大力2由于n)u)v =(%uFuv =(Fu)v=(u11、廠，、Evv (Ev) v 1 (ru ruv )v22ruv ruv1 1 -、 Guu - (Gu)u - (rv rvu)u2 2所以于

2、是得到K 二2-(EG -F2)2F1E 2GFv-2GF .! Euv2卜11Fuv -二 Evv -二 G22uuF2Ev久2-G 20對于曲面上的正交坐標網(wǎng)來說,F = 0 ,此時 -('> G)u) -(-E-)v)<EG ：u UE ：v 、G1(G) (、E)而(孱”修。于是，曲面的高斯曲率 儂其第一 基本形式完全確定，所以高斯曲率也是曲面的內蘊量，公式被稱為高 斯定理，且被譽為著名的高斯定理據(jù)說，高斯當年發(fā)現(xiàn)并證明出來 后，非常興奮，欣喜若狂。半測地坐標網(wǎng)下， 高斯曲率的計算公式在C2類曲面工：r = r(u,v)上選一條測地線為V-曲線：U = 0 ；再取與

3、r正交的測地線族為 U-曲線，另取這測地線族的正交軌 線為v-曲線，則得一半測地坐標 網(wǎng)。對于這個半測地坐標網(wǎng)而言， 曲面的第一基本形式可以簡化為 (du)2+ G(u,v)(dv)2,其中G(u,v)滿足條件G(0,v) = 1,G(0,v)= 0在曲面上選取了半測地坐標網(wǎng) 后，曲面的高斯曲率有如下的計算 公式i rGTGR常高斯曲率的曲面現(xiàn)在設曲面上的高斯曲率是常 數(shù)，即K =常數(shù)，則得微分方程一k、G=02 u根據(jù)初始條件:G(0,v)= 1,Gu(0,v)= 0,我們可按以下不同情形求出這個 微分方程的解。(1)正常數(shù)高斯曲率的曲面,K > 0此時.G =A(v)cosVKU +

4、 B(v)sin KUu o根據(jù)初始條件，可得A(v)= 1,B(v)= 0,于是 4G 二 cosVkU )=(du)2 cos2 7 Ku (dv)2實例：考慮球心在原點，半徑為R的 球面。取赤道為最初給定的測地線， 則所有經(jīng)線是與赤道正交的測地 線，所有緯線是這測地線族的正交 軌線，因此球面上的經(jīng)線和緯線構 成半測地坐標網(wǎng)。設球面上點的經(jīng)度為v,緯度 為u ,則球面的參數(shù)表示是r = R(cosucosv,cosusin v,sin u)。rU = R(- sin ucosv, - sinusin v,cosu)IrV = R(-cosusin v,cosucosv,0),匚 q2匚nE

5、 =幾幾=R ,F =幾 = 0,G =小，=R2 cos2 ui = R2(du)2 + R2 cos2 u(dv)2。在球面上重新選擇參數(shù)，命u = Ru,V = Rv于是二(du)2 cos2u(dv)2R ，高斯曲率/1 ：2G 1 ,u、1KZ2-(cos)2G /cosuRR2R因此得到1 = (du)2 + cos2 VKu(dV)2,所以正常數(shù)高斯曲率的曲面的第一基本形式與球面的相同正常數(shù)高斯曲率的曲面與同高斯 曲率的球面之間存在著保距變換。k = o,從而有VG = i,22因此二(du) (dv),所以零高斯曲率的曲面的第一基 本形式與平面的相同。(3)負常數(shù)高斯曲率的曲面

6、，K<0,此時、G=A(v)chJ-Ku + B(v) sh/ - Ku o根據(jù)初始條件，可得A(v)= 1,B(v): 0,于是 G = ch。- Ku )=(du)2 chM-Ku (dv)2o由此可知，具有相同常數(shù)高斯曲 率的曲面都可適當選取參數(shù)，使曲 面具有相同的第一基本形式，因此 可建立等距對應.由上述定理知道，具有常數(shù)高斯曲率的曲面(這種曲面稱為常曲率 曲面)可按K >0;K = 0 ;K < 0分成 三種類型.而屬于同一類型的曲面 它們的內在幾何是相同的.平面作 為高斯曲率為零的代表；球面作為 高斯曲率為正常數(shù)的代表.換句話 說，高斯曲率為零的曲面都可以與 平面

7、建立等距對應，高斯曲率為正 常數(shù)的曲面都可以與球面建立等距 對應.那么自然會問什么曲面可以 作為高斯曲率為負常數(shù)的代表 ？“1設K = 一下 ,我們可以在旋轉曲面 a中找出這個代表.設旋轉曲面的待定母線為 Oxz 平面中的曲線z = z(x).把它繞Z軸旋 轉后形成了旋轉面r = (x(t)cose ,x(t)sin 6 ,z(t) , t = x； 代入旋轉曲面的高斯曲率公式x(t)z (t) - x (t)z(t)z(t) K22 2x(t)(x(t)(z(t)得其高斯曲率為K= Z(X)Z(X22 x1 (z(x)22為了使這個曲面的高斯曲率a所以待定函數(shù)z = z(x)就必須滿足下列方

8、程：z(x)z (x2 2 二 x1 (z(x)將其改寫成1 (z(x)21 1 八.2一21 (z(x)22=2Fx)，12 = 口 x2 C11 (z(x) a兩邊積分后得到取積分常數(shù)G=0, 于是可解出x2 +(z(x)x)2 =a2 ,由此得出z(x) = -Q2, x ，22, a - x ,dz = ±dxx令 x = asint )則dz =acost士asintacostdt = a1 - sin2tsintdt11= ±a(-sint)dt =±a(-sint)dt .sin tt 2 t>2tan - cos 一22于是- t z=

9、77;a(lntan +cost) o 2因此，以母線x = a sin tz - _a(ln tan - cost) 2繞z -軸旋轉后所得的旋轉曲面的高1斯曲率正好等于負常數(shù)K 一 7 oa我們把母線（4.4）稱為曳物線.而把曳物線繞z-軸旋轉后 所得的曲面稱為偽球面.由著名的高斯定理，曲面的高斯 曲率儂其第一基本形式完全確定 因此，若兩個曲面可建立等距對應 則對應點的高斯曲率必相等.但反之則不然.【例1】證明：曲面S；= (ucosv,usinv,v),(正螺面)S： ri = (Ui cosVi,Ui sinvi,ln Ui),(旋轉 曲面)在點(u,v)與(Ui,Vi)處的圖斯曲率相

10、等， 但曲面S與S不存在等距對應.【證明】容易算出正螺面S與旋轉曲 面S的第一基本形式分別為1= (du)2+ (U2+ i)(dv)2,i222i = (i F(dui)2 Ui2(dvi)2Ui再利用正交網(wǎng)時高斯曲率的計算公 式(即高斯方程)i(G) (E)K()u)u ()v)vEG J E G經(jīng)過計算得出曲面S和s的高斯曲率分別為Ki(u21)21(ui2 1)2因此取對應點(u,v)T (U1,V1),便成立K=K1。但是曲面S與s不存在等距對應. 我們用反證法.若曲面S與s之間 存在等距對應，它的對應關系為U1 = ：(U，v)，V1 = ' (U,v),則對應點的高斯曲率

11、必相等，所以得出 K1(u,v)= K(u,v),即(U2+1)2=(U12+1)2,或(U2+1) = ±(U12+1)；(1)若(U2+1) =(U； +1)則 U2=U；或 U = ±U1。因此對應關系為UL：、V1 = (U,v),這時S1的第一基本形式1222i = (12)(dui)2u；(dvi)2Ui122 .2=(12)(du) u (' udu - vdv)u=(1 +:+u如u2)(du)2 +2u2VuWvdudv + u2Vv2(dv)2 , u)因為是等距對應，故1=1,比較得出1 +0+u2中 u2 =1, u，u 即 uv=0,u2

12、中 v2 =u2 +1,由其中第二式得出Wu=0或匕=0,再由第一式或第三式得出12=0或 uu2+1=0 ,這顯然不可能成立.因此 這種情況不可能.(2)若(u2+1) = -(u12+1),則 u2+u12=-2。這顯然不可能成立.因此曲面S與S1之間不能存在等距對應.盡管在對應點具有相同高斯 曲率的曲面不能建立等距對應，但 是對高斯曲率為常數(shù)的曲面，若在 對應點具有相同高斯曲率是必可建 立等距對應的.定理4.1 （Minding 定理）具有相同常數(shù)高斯曲率的曲面 總可建立局部等距對應.證明設曲面S的高斯曲率K是常數(shù),。在S上取任意點P和過P點的任意測地線：，把作為v-曲線u = 0 ；且從P點起的弧長為v .再取與r正交的測地線族為u- 曲線，另取這測地線族的正交軌線 為v-曲線，則得一半測地坐標網(wǎng)。 對于這個半測地坐標網(wǎng)而言，（注意，這時：u = 0的曲線也是測地線)。因此曲面的第一基 本形式可以簡化為(du)2+ G(u,v)(dv)2,根據(jù)假設V是的弧長，所以 (d