2013年普通高等學校統(tǒng)一考試試題江蘇卷

1、2013年普通高等學校統(tǒng)一考試試題（江蘇卷）、填空題：本大題共 14小題，每小題5分，共計70分。請把答案填寫在答題卡相印位置上。1.函數(shù)y 3sin(2x)的最小正周期為 4【答案】n【解析】T= | 2n | = | 2n | = n3 I 1 212.設z （2 i）2 （ i為虛數(shù)單位），則復數(shù)z的模為 【答案】5【解析】z= 3 4i, i2=- 1, | z | = 5.2 23 .雙曲線-y1的兩條漸近線的方程為1693【答案】y 3 x4【解析】令:4 .集合 1,0,1共有個子集.169【答案】8【解析】23= &5右圖是一個算法的流程圖，則輸出的n的值是.【答案】3【解析】

2、n= 1, a= 2, a= 4, n = 2; a= 10, n= 3; a= 28, n= 4.6 抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位設計運動員的5此訓練成績（單位：環(huán)），結果如下:運動員第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩(wěn)定（方差較小）的那位運動員成績的方差為【答案】289909188 92【解析】易得乙較為穩(wěn)定，乙的平均值為：x90 .5方差為：S2 2 2 2 2(89 90)(90 90)(9190)(88 90)(92 90)257現(xiàn)在某類病毒記作XmYn，其中正整數(shù) m , n （ m 7 , n 9）可以任意選取，則m, n都取到奇數(shù)的概率為

3、 .5, 7,9共5種情況,【答案】2063【解析】m取到奇數(shù)的有1, 3, 5,4 5則m, n都取到奇數(shù)的概率為7 97共4種情況；n取到奇數(shù)的有1 , 3,20638 .如圖，在三棱柱ABGABC中，D, E, F分別是AB,AC, AA的中點，設三棱錐 FADE的體積為V1，三棱柱 A| B-i C1ABC的體積為V2，則V : V2【答案】1: 24B1AFADC1【解析】三棱錐F ADE與三棱錐A1ABC的相似比為1:2,故體積之比為1: &又因三棱錐A1ABC與三棱柱AB1C1ABC的體積之比為1： 3 所以,三棱錐F ADE與三棱柱A1B1C1ABC的體積之比為1:24.D （

4、包含三角形內(nèi)部和邊界）.若29拋物線y x在x 1處的切線與兩坐標軸圍成三角形區(qū)域為點P（x, y）是區(qū)域D內(nèi)的任意一點，貝U x 2y的取值范圍是1【答案】2, 1 【解析】拋物線y x2在x 1處的切線易得為y= 2x 1，令z= x12y, y=2Z- 2+X1Zmax= 2一 一 1畫出可行域如下，易得過點（0, 1）時，Zmin = 2，過點（2 , 0）時，10 設D , E分別是BE 2 BC ,3若DE1AB2AC （ 1, 2為實數(shù)），則1 2的值為1【答案】1【解析】DE DB BE1 2 - -ABBC1 AB23212 -AB -AC1AB631 21所以，,6，23，

5、1 2 2 .11.已知f (x)是定義在R上的奇函數(shù)。當x0時,2(BA AC)32AC2f (x) x 4x，則不等式f (x) x的解集用區(qū)間表示為.【答案】(-5, 0) U (5,+s )【解析】做出f(x) x2 4x (x 0)的圖像，如下圖所示。由于f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，利用奇函數(shù)圖像關于原點對稱做出xv 0的圖像。不等式f(x) x，表示函數(shù)y= f (x)的圖像在y = x的上方，觀察圖像易得：解集為(-5, 0) U (5,+s )。12.在平面直角坐標系a b0,b0)，右焦點為F ,右準線為I ,短軸的一個端點為B,設原點到直線BF的距離為d! , F到I的

6、距離為d2,若d2,6d!，則橢圓C的離心率為 積得：d!=。a得：，6a2 ab【答案】 3【解析】如圖，I:13.在平面直角坐標系，所以，離心率為:3、33xOy中，設定點 A(a,a), P是函數(shù)y丄(x 0 )圖象上一動點,x若點P, A之間的最短距離為2、2，則滿足條件的實數(shù)a的所有值為【答案】1或.,10【解析】114.在正項等比數(shù)列an中，a5，a6a73，則滿足a1a2ana-)a2an的2最大正整數(shù)n的值為.【答案】12【解析】設正項等比數(shù)列a*首項為a1,公比為q，則:a1q4 2，得:a&CI q) 3=2， an = 26 n.記 Tna1a22n 1(n 1) nan

7、nca2an22.Tnn，則25 ，5(n 1) n2 2，化簡得：2n 122In211n21n2 Un 5時，n2 213.121212 當n = 12 時，T|212，當 n= 13 時，T1313，故 nmax= 12 .、解答題：本大題共6小題，共計90分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15. (本小題滿分14分)已知 a=(cos ,sin ), b (cos ,sin )，0(1 )若 |a b| 2，求證：a b ；(2)設 c (0,1)，若 a b c，求，的值.解: (1) a b = (cos a cos 3 sin a sin 3，

8、| a b| 2= (cos a cos 32+ (sin a sin 3)2= 2 2(cos a cos 升 sin a sin 3 = 2， 所以，cos a- cos 升sina sin 3= 0，所以，a b.cos cos 0r1(2)_， +得：cos( a 3 = 2 .sin sin 1222所以， a 3=, a= + B,33帶入得：.2., 31sin(+3 + sin B=cos 供了 sin B= sin( +3 = 1,3223所以，_+b=_.325所以， a=,B= 6 616. (本小題滿分14分)如圖，在三棱錐 S ABC中，平面 SAB 平面SBC ,

9、AB BC , AS AB，過A作AF SB，垂足為F，點E, G分別是棱SA，SC的中點.求證:(1) 平面EFG平面ABC ;(2) BC SA.證：(1)因為SA= AB且AF丄SB所以F為SB的中點.又E, G分別為SA SC的中點， 所以，EF/ AB, EG/ AC.又 ABA AC= A, AB 面 SBC, AC 面 ABC, 所以，平面EFG/平面ABC .SABA平面 SBC= BC,(2 )因為平面 SABL平面 SBC 平面AF 平面 ASB AF丄 SB.所以，AF丄平面SBC又BC 平面SBC所以，AF丄BC.又 AB丄 BC, AFA AB= A,所以，BC丄平面

10、SAB.又SA 平面SAB,所以，BC SA.17. (本小題滿分14分)如圖，在平面直角坐標系 xOy中，點A(0,3)，直線l : y 2x 4 .設圓C的半徑為1,圓心在I上.y kx 3,(1) 若圓心C也在直線y x 1上,過點A作圓C的切線，解：(1)聯(lián)立：y x 1，、y，得圓心為：q3, 2)y 2x 4求切線的方程；(2) 若圓C上存在點M，使MA 2MO，求圓心C的橫坐 標a的取值范圍.設切線為:|3k3 2|k2r 1，得：k 0 or k故所求切線為：y 0 or y(2)設點 M(x, y),由 MA2MO，知：.x2廠3)22y化簡得：x2 (y 1)2 4 , 即

11、：點M的軌跡為以(0, 1)為圓心，2為半徑的圓，可記為圓 D. 又因為點M在圓C上，故圓C圓D的關系為相交或相切.故：1 |CD| - , x (1,).xx故：a 1.g (x) ex a ,若1w a we,則g (x) ex a o在(1,)上恒成立，此時，g(x) ex ax在(1,)上是單調增函數(shù)，無最小值，不合；若a e,則g(x) ex ax在(1, ln a)上是單調減函數(shù)，在 (Ina,)上是單調增函數(shù)，gmin(x) g(lna)，滿足.故a的取值范圍為：a e.(2) g (x) ex a o 在(1,)上恒成立，則 a wex, 1故：a w-.e11 axf (x) a(x 0).xx11(i)若ov a w ，令f (x) o得增區(qū)間為(0,)； ea1令f(X)vo得減區(qū)間為( ,+s).當 xt o 時，f(x) t 8 ；當 xt + 8時，f(x)T a；111當x=時，f(- )= Ina 1o，當且僅當a =_時取等號.aae1 1故：當a = e時，f(x)有1個零點；當ov a v e時，f(x)有2個零點.(ii )若a = o，則f(x) =