§2.2幾類特殊點(diǎn)和集---聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、開集、閉集與完備集

1、2 . 2幾類特殊點(diǎn)和集-聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、開集、閉集與完備集本節(jié)試圖抓住直線上的開區(qū)間、閉區(qū)間及其點(diǎn)的基本性質(zhì)，予以一般化對？ E?Rn，我們可以通過看是否有x的完整鄰域含于E中將Rn中點(diǎn)x分 為三類：a. ?U (x, 8)滿足 U (x, 8)? Eb. ? U (x, 8)滿足 U (x, 8) n E 工,U (x, 8) n CE 工c. ?U (x, 8)滿足 U (x, 8)? CE定義2. 2. 1 我們稱a類點(diǎn)為E的內(nèi)點(diǎn)，記其全體為E0; b類點(diǎn)為E的邊 界點(diǎn)，記其全體為？E;c類點(diǎn)為E的外點(diǎn)。顯然外點(diǎn)全體為(CE) 0，Rn =E U ?EU(CE)如圖2. 2. 1所

2、示：M i是E的內(nèi)點(diǎn)，M2、M3、M4、M5是E的邊界點(diǎn)，M 6是E 的外點(diǎn)。注2 . 2 . 1: E的邊界點(diǎn)既有可能屬于 E(如M2、M3、M5)，又有可能不屬于E （如 M4）。注2 . 2 . 2: E的邊界與CE的邊界相同，即？E= ?(CE)注2. 2 . 3 :不受“a,b的邊界只有a,b兩點(diǎn)”這個(gè)具體結(jié)論的直觀約 束而得出錯(cuò)誤的一般結(jié)論：“E的邊界？E相對集合E而言只是很少一部分”。 事實(shí)上，直線上的有理數(shù)全體的邊界是整個(gè)實(shí)數(shù)集。對？ E ? Rn，我們也可以通過看x的鄰域含E中點(diǎn)的多少將Rn中點(diǎn)x分 為三類：e.對？ 50,U (x, S) A E - x工f .?U (x,

3、 S)滿足 U (x, S) A E =xg.?U (x, S)滿足U (x, S) A E =(顯然此類點(diǎn)即外點(diǎn))定義2 . 2. 2 我們稱e類點(diǎn)為E的聚點(diǎn)(或極限點(diǎn))，記其全體為 E，并 稱為E的導(dǎo)集；f類點(diǎn)為E的孤立點(diǎn)，顯然其全體為E-E。即 Rn =E U(E- E) U(CE) 0在圖2. 2. 1中，M 1、M2、M3、M4是E的極限點(diǎn)，M 5是E的孤立點(diǎn)。按第一種分類法的內(nèi)點(diǎn)，是第二種分類法的聚點(diǎn)，按第一種分類法的邊界點(diǎn)， 按第二種分類法既有可能是聚點(diǎn)如 M2、M3、M4，又有可能是孤立點(diǎn)如M5。同樣 按第二種分類法的孤立點(diǎn)，是第一種分類法的邊界點(diǎn)，按第二種分類法的聚點(diǎn)， 按第

4、一種分類法既有可能是內(nèi)點(diǎn) M，又有可能是邊界點(diǎn)M2、M3、M4。對外點(diǎn)而 言，兩類分類方法所指的概念是完全一致的。“極限點(diǎn)”中的“極限”二字體現(xiàn)在何處，“聚點(diǎn)”中的“聚”字體現(xiàn)在哪里呢？下述兩個(gè)定理將對此作出解釋。定理 2 . 2 . 9: x Eh 互異點(diǎn)列 xn E, xn mx，且 xn x(n +1證明“ = ”因?yàn)?xE，所以對 S n =min = ,d(x,x n-1)，存在nxn U(x, S n) A E x，顯然 x n E 互異，x n mx，且 x n x(n + )?！皏= ”若 m xn E，且 xn Mx,但 xn x(n +，則對任意 S 0,存在N,當(dāng) nN

5、時(shí)，xn U(x, S) GEx，故 xE。 證畢即之所以稱x為E的“極限點(diǎn)”的原因是：x可以表成E中一串異于x的點(diǎn) 列xn的極限。定理2. 2.10: xE ? S0, U(x, S) GE 為無限集。證明“”因?yàn)閤 E，所以m xn E，且xn mx,但xn x(n +引，則對任 意 S0,存在 N,當(dāng) nN 時(shí)，x n U(x, S) GEx , 故 U(x, S) GE 為無限 集。證畢即之所以稱x為E的“聚點(diǎn)”的原因是：在x的任意一個(gè)小鄰域內(nèi)都“聚 集”著E的無限多個(gè)點(diǎn)。定義2. 2 . 3 若對？ S0, U(x, S) GEM巾，則稱 x為E的接觸點(diǎn)。接 觸點(diǎn)全體記為E，并稱E為

6、E的閉包。顯然，E = E U ?E=E Ux |x 為 E的孤立點(diǎn) =E U ?E =E UE=EU ?E = c(cE) 0在數(shù)學(xué)分析中要看一個(gè)區(qū)間是開或閉，只須看它是否將作為邊界的兩個(gè)端點(diǎn) 包含在內(nèi)，對于Rn中一般的集合是開或閉也以是否包含邊界集作為判斷依據(jù)， 于是我們給出如下定義。定義2 . 2 . 4若？EGE=，則稱E為開集；若？E? E,則稱E為閉集。例2.2.1：直線上的開區(qū)間，平面上的開圓盤皆為開集，直線上的閉區(qū)間， 平面上的閉圓盤皆為閉集。(a,b既不是開集，又不是閉集。全直線既是開集又 是閉集。定理2. 2. 11) E為開集E?E2) E為閉集E ? E證明1)“ =

7、”因?yàn)镋開，所以？EGE=，故E? E0“v= ”因?yàn)镋? E0，所以？EGE=，故E為開集。2)“ = ”因?yàn)镋為閉集，所以？E?E,而E?EUE?E,從而E ? E ;“v=”若E ? E,則？E ? E Ux |x為E的孤立點(diǎn) ? E，故E是閉集。定理2 . 2 . 2 對？ E ? Rn，E0為開集。證明 對？ x E ，m 30，U(x, S) ? E，對？ y U(x, S)，日 S 1 d(x,y) 0,對？ z U(y, S 1)，d(x,z) d(x,y) +d(y,z) vS,即 Z U(x, S) ? E，即 yE 0，從而 U(x, S) ? E，即 E ? (E 0)

8、 0，故 E 是開集。定理2. 2 . 3 :(開集與閉集的對偶性)1)若 E為開集，則CE為閉集；2) 若E為閉集，則CE為開集。證明1)因?yàn)镋是開集，所以？EGE=巾，則？E= ?CE ? CE故CE是閉集。2) 因?yàn)镋是閉集，所以？E ?E，而？E= ?CE CE? ?CE=巾，故CE是開 集。證畢定理2 . 2 . 41)R n、是開集2) 任意有限個(gè)開集之交是開集3) 任意多個(gè)開集之并是開集證明:1)、3)顯然Ei，則x為每一個(gè)Ei的內(nèi)2)設(shè)Ei為開集(i=1,2,3,n)，對任意x=1點(diǎn)，即存在 S i滿足 U(x, S i) ? Ei，令 3=即n 5 i ,則 U(x, 5)

9、? IEi ,Ii=1nnnn即x為R的內(nèi)點(diǎn)，故Ei為開集。若Ei二巾，貝U I Ei也是開集。證Ii=1Ii=1Ii=1Ii=1注2 . 2 . 4 :不僅Rn中開集具有以上三性質(zhì)，一般距離空間也有此性質(zhì), 在拓?fù)淇臻g中以上三性質(zhì)則是描述開集概念的三公理。定理2 . 2 . 5 :1) R n、是閉集2) 任意有限個(gè)閉集之并是閉集3) 任意多個(gè)閉集之交是閉集證明: 1) 顯然nnnn2) 要證 口 Ei是閉集，只須證Cu Ei是開集，而Cu Ei = i cEi,nn 因?yàn)镋i是閉集，所以由定理2 . 2 . 3知cEi是開集，i cEi是開集，故口丘是閉集。3) 同理可證。證畢因?yàn)?E0、(CE)0開，所以？E=CE0 U(CE)0閉集。定理2 . 2 . 6:對任意集合E, E是閉集證明:由 E =C(CE) 0即得。定理2 . 2 . 7: E為閉集E= E證明“V= ”由定理2 . 2. 6即得“= ”因?yàn)镋是閉集，所以？E?E,即E= ?EUE= E .證畢定義2. 2. 5 若E? E，則稱E為自密集；若E = E則稱E為完備集。顯然，自密集即是沒有孤立點(diǎn)的集合，完備集即是沒有孤立點(diǎn)的閉集。定理2 . 2 . 8 對？ E? Rn , E為閉集。證明 只須證G=C(E)是開集，事實(shí)上：對？ x C(E) =G即x