高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)撥 解析幾何中向量法解題的基本技巧與策略探求

1、解析幾何中向量法解題的基本技巧與策略探求平面解析幾何是利用坐標(biāo)法去研究平面曲線的性質(zhì)，這與向量的坐標(biāo)形式有很大的相似性，同樣，對于解析幾何中圖形的重要位置關(guān)系（如平行、垂直、相交、三點(diǎn)共線等）和數(shù)量關(guān)系（如距離、角等），向量都能通過其坐標(biāo)運(yùn)算來進(jìn)行刻畫，把幾何中錯綜復(fù)雜的位置關(guān)系的演化變?yōu)榧兇獾南蛄康拇鷶?shù)運(yùn)算，問題就顯得更為簡單。因而向量在解析幾何中的應(yīng)用就顯得較為廣泛。一、利用向量的定比分點(diǎn)的坐標(biāo)形式解題例1 如圖，已知梯形ABCD中，點(diǎn)E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)。當(dāng)時，求雙曲線離心率的取值范圍。解：以AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系xo

2、y設(shè)雙曲線方程為（a>0,b>0）離心率，C（asec,btan）則D（asec,btan），A（ea,0），B（ea,0）由 即（2ea,0）=2（2 asec,0）得2ea = 4asec sec=（1） 設(shè)E（x,y） 由 即 解得 E（x,y）在雙曲線上 a2（=b2a2化簡得： （2）由（1）、（2）解得： 由題設(shè)得 解得 評析：有向線段所成的比，線段的定比分點(diǎn)等概念，本身就是解析幾何研究的一類重要問題。向量概念的引入，使這類問題的解決顯得簡潔而流暢。求解這類問題可以用定比分點(diǎn)公式，也可以直接用有向線段的比解題。二、利用直線的方向向量求解題例2、已知常數(shù)，向量經(jīng)過原點(diǎn)O以

3、為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)A（0，a）以為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中試問：是否存在兩個定點(diǎn)E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.解：=（1，0），=（0，a）， +=（，a）， 2=（1，2a）.因此，直線OP和AP的方程分別為 和 .消去參數(shù)，得點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程.整理得 因為所以得：（i）當(dāng)時，方程是圓方程，故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F； （ii）當(dāng)時，方程表示橢圓，焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個定點(diǎn)； （iii）當(dāng)時，方程也表示橢圓，焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個定點(diǎn).評析：求解此類問題的關(guān)鍵是：根據(jù)直線的方向向量得出直線方程，再轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解決。三

4、、利用共線向量的性質(zhì)解題例3、已知橢圓的長、短軸端點(diǎn)分別為A、B，從此橢圓上一點(diǎn)M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點(diǎn)，向量與是共線向量。（1）求橢圓的離心率e；（2）設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)， 、分別是左、右焦點(diǎn)，求 的取值范圍；解：（1），。是共線向量，b=c,故。（2）設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)時，cos=0，。評析：解析幾何中平行、共線問題均可在向量共線的新情景下設(shè)計問題。求解此類問題的關(guān)鍵是：正確理解向量共線與解析幾何中平行、三點(diǎn)共線等的關(guān)系，把有關(guān)向量的問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題。四、利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)形式解題.例4、一條斜率為1的直線與離心率為的橢圓C：（）交于P、Q，兩點(diǎn)，直線與Y軸交于點(diǎn)R，且，求

5、直線和橢圓C的方程。 解： 橢圓離心率為，所以橢圓方程為，設(shè)方程為：，由消去得 （1） （2） 所以,而所以 ,所以（3）又， 從而（4） 由（1）（2）（4）得（5）由（3）（5）解得， 適合，所以所求直線方程為：或；橢圓C的方程為評析 ：向量數(shù)量積的坐標(biāo)形式能很好地將向量與解析幾何融為一體，體現(xiàn)了向量的工具性。求此類問題的關(guān)鍵是：利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，將向量形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式。五、利用向量夾角的坐標(biāo)形式解題例5、已知兩點(diǎn)M（-1，0），N（1，0）且點(diǎn)P使成公差小于零的等差數(shù)列，若點(diǎn)P坐標(biāo)為，為的夾角，求tan。解：記P（x,y），由M（-1，0）N（1，0）得 所以 由已知有：即 即點(diǎn)P的軌跡方程為：；又。因為 0， 所以 即評析：求解這類問題的關(guān)鍵是：先把向量用坐標(biāo)表示，再用解析幾何知識結(jié)合向量的夾角公式使問題獲解；也可以把兩向量夾角問題轉(zhuǎn)化為兩直線所成角的問題，用數(shù)形結(jié)合方法使問題獲解。六、利用向量的垂直關(guān)系解題例6、已知P是以、為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，若 ，求橢圓的離心率 。解：設(shè)