復(fù)變函數(shù)在Gis上的運(yùn)用與地位

1、河北聯(lián)合大學(xué)輕工學(xué)院復(fù)變函數(shù)與積分變換實(shí)驗(yàn)報(bào)告課程名稱(chēng)：復(fù)變函數(shù)與積分變換研究?jī)?nèi)容： 復(fù)變函數(shù)在GIS上的運(yùn)用與地位系 別：自動(dòng)化專(zhuān)業(yè)：2011級(jí) 班姓 名：學(xué) 號(hào)：開(kāi)課時(shí)間：2012年下學(xué)期指導(dǎo)教師：趙文靜一.報(bào)告目的該論文主要研究復(fù)變函數(shù)在GIS專(zhuān)業(yè)上的作用和地位，通過(guò)復(fù)變函數(shù)發(fā)展簡(jiǎn) 介和內(nèi)容，我們認(rèn)識(shí)到復(fù)變函數(shù)的發(fā)展史和學(xué)術(shù)地位，因?yàn)樗\(yùn)用廣泛，作為當(dāng) 代大學(xué)生，我們應(yīng)該明白它在學(xué)習(xí)中起到舉足輕重的作用，從學(xué)習(xí)中的地位延伸 到專(zhuān)業(yè)中的地位，從而了解他在GIS的運(yùn)用，借助復(fù)變函數(shù)推出柯西一黎曼曲面, 進(jìn)而導(dǎo)出復(fù)球面的緊性，得出擴(kuò)充復(fù)平面是緊的，得出結(jié)論，體會(huì)，心德和認(rèn)識(shí), 最后對(duì)結(jié)論進(jìn)行推

2、導(dǎo)和運(yùn)用。二.所利用到的工具M(jìn)atlab軟件,地理信息系統(tǒng)三.主要內(nèi)容（一）復(fù)變函數(shù)的發(fā)展簡(jiǎn)況與內(nèi)容復(fù)變函數(shù)理論產(chǎn)生于十八世紀(jì)。1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由 復(fù)變函數(shù)的積分導(dǎo)出的兩個(gè)方程。復(fù)變函數(shù)理論的全面發(fā)展是在十九世紀(jì)，就像 微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)這個(gè)新的分支統(tǒng)治了十 九世紀(jì)的數(shù)學(xué)。為復(fù)變函數(shù)理論的創(chuàng)建做了最早期工作的是歐拉、達(dá)朗貝爾，法 國(guó)的拉普拉斯也隨后研究過(guò)復(fù)變函數(shù)的積分，他們都是創(chuàng)建這門(mén)學(xué)科的先驅(qū)。后 來(lái)為這門(mén)學(xué)科的發(fā)展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯 特拉斯。復(fù)變函數(shù)理論不但在其他學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許

3、 多分支也都應(yīng)用了它的理論。它已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論 等學(xué)科，對(duì)它們的發(fā)展很有影響。復(fù)變函數(shù)理論主要包括解析函數(shù)理論、黎曼曲面理論、幾何函數(shù)論、留數(shù) 理論、積分和級(jí)數(shù)、廣義解析函數(shù)等方面的內(nèi)容。復(fù)變函數(shù)理論中用幾何方法來(lái) 說(shuō)明、解決問(wèn)題的內(nèi)容，一般叫做幾何函數(shù)論，復(fù)變函數(shù)可以通過(guò)共形映象理論 為它的性質(zhì)提供幾何說(shuō)明。導(dǎo)數(shù)處處不是零的解析函數(shù)所實(shí)現(xiàn)的映像就都是共形 映象，共形映像也叫做保角變換。共形映象在流體力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)、彈性理論、 靜電場(chǎng)理論等方面都得到了廣泛的應(yīng)用。留數(shù)理論是復(fù)變函數(shù)論中一個(gè)重要的理 論。留數(shù)也叫做殘數(shù)，它的定義比較復(fù)雜。應(yīng)用留數(shù)理論對(duì)于復(fù)變函數(shù)積分的

4、計(jì) 算比起線(xiàn)積分計(jì)算方便。計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分，可以化為復(fù)變函數(shù)沿閉回路曲線(xiàn) 的積分后，再用留數(shù)基本定理化為被積分函數(shù)在閉合回路曲線(xiàn)內(nèi)部孤立奇點(diǎn)上求 留數(shù)的計(jì)算，當(dāng)奇點(diǎn)是極點(diǎn)的時(shí)候，計(jì)算更加簡(jiǎn)潔。把單值解析函數(shù)的一些條件 適當(dāng)?shù)馗淖兒脱a(bǔ)充，以滿(mǎn)足實(shí)際研究工作的需要，這種經(jīng)過(guò)改變的解析函數(shù)叫做 廣義解析函數(shù)。廣義解析函數(shù)所代表的幾何圖形的變化叫做擬保角變換。解析函 數(shù)的一些基本性質(zhì)，只要稍加改變后，同樣適用于廣義解析函數(shù)。廣義解析函數(shù) 的應(yīng)用范圍很廣泛，不但應(yīng)用在流體力學(xué)的研究方面，而且象薄殼理論這樣的固 體力學(xué)部門(mén)也在應(yīng)用。（二）復(fù)變函數(shù)在學(xué)習(xí)中的地位在我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的高等數(shù)學(xué)課程中，研究的主要

5、對(duì)象是實(shí)變函數(shù)。 理論的探討和生產(chǎn)實(shí)踐的發(fā)展，又提出了對(duì)復(fù)變數(shù)的研究，而研究復(fù)變數(shù)之間的 相互依賴(lài)關(guān)系，就是復(fù)變函數(shù)這門(mén)課程的主要任務(wù)。由于我們是只上了大二，所以我們接觸的專(zhuān)業(yè)課的知識(shí)并不是太多，并不太了解復(fù)變函數(shù)究竟在我們以后的學(xué)習(xí)中起到什么樣的決定性作用，盡管如此, 但我相信，學(xué)習(xí)此門(mén)課程在專(zhuān)業(yè)中一定起著舉足輕重的作用，學(xué)習(xí)了復(fù)變函數(shù)， 不但開(kāi)拓了我們的視野，同時(shí)也助長(zhǎng)了我們見(jiàn)解。從中我們能了解實(shí)數(shù)不一定能 解決的問(wèn)題，也許我們能在復(fù)數(shù)域茅塞頓開(kāi)，復(fù)數(shù)中的定理和定義能解決一些復(fù) 雜的函數(shù)。通過(guò)課程的學(xué)習(xí)，我們可以了解到，復(fù)數(shù)可以應(yīng)用的現(xiàn)實(shí)中的數(shù)學(xué)建 模，其在很多運(yùn)算中都有者不可思議的性質(zhì)和

6、規(guī)律。復(fù)數(shù)的引入為人們解決實(shí)數(shù) 域和物理科學(xué)提供了許多新的途徑，打開(kāi)了很多原本無(wú)法暢通的道路，無(wú)論是神 奇的留數(shù)，還是保角映射，都為人類(lèi)在解決非復(fù)領(lǐng)域上的問(wèn)題提供了全新的思路 與方便。復(fù)變函數(shù)中的許多概念理論和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域內(nèi)的推廣和發(fā) 展，因而他們有許多相似之處，我們?cè)趯W(xué)習(xí)中，要勤奮思考，善于比較，既要注 意共同點(diǎn)，又要弄清不同點(diǎn)。這樣，才能抓住本質(zhì)，融會(huì)貫通。學(xué)到心，用到表, 充分體現(xiàn)復(fù)變函數(shù)在學(xué)習(xí)中的主導(dǎo)地位。（三）復(fù)變函數(shù)在G1S上的運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論在應(yīng)用方面，涉及的面很廣，在數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和工程技術(shù)有 著廣泛的運(yùn)用，是解決流體力、學(xué)電磁學(xué)熱、測(cè)繪學(xué)、學(xué)彈性理論中的平面問(wèn)題 的

7、有力工具，有很多復(fù)雜的計(jì)算都是用它來(lái)解決的。比如物理學(xué)上有很多不同的 穩(wěn)定平面場(chǎng)，所謂場(chǎng)就是每點(diǎn)對(duì)應(yīng)有物理量的一個(gè)區(qū)域，對(duì)它們的計(jì)算就是通過(guò) 復(fù)變函數(shù)來(lái)解決的；在地理信息中，我們可以用他來(lái)解決一些復(fù)雜計(jì)算和估算， 空間數(shù)據(jù)大多都繁瑣難算，大多用到復(fù)變函數(shù)來(lái)處理。比如俄國(guó)的茹柯夫斯基在 設(shè)計(jì)飛機(jī)的時(shí)候，就用復(fù)變函數(shù)論解決了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，他在運(yùn)用復(fù)變函 數(shù)論解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問(wèn)題上也做出了貢獻(xiàn)。再比如，地球是橢圓 并且非常的大,在我們研究地球的時(shí)候，就能用到復(fù)變函數(shù)來(lái)解決橢球面的問(wèn)題。怎么樣把復(fù)變函數(shù)運(yùn)用到G1S上呢？現(xiàn)在我依柯西-黎曼曲面為論來(lái)探討復(fù)變函數(shù)在地理信息系統(tǒng)中的運(yùn)用，

8、根 據(jù)我們大一的時(shí)候所學(xué)的測(cè)繪學(xué)概論，我才明白柯西-黎曼曲面是涉及大地測(cè)量、 地理信息系統(tǒng)的一個(gè)基本問(wèn)題，應(yīng)用范圍非常廣泛。黎曼曲面理論是復(fù)變函數(shù)域 和幾何間的一座橋梁，能夠使我們把比較深?yuàn)W的函數(shù)的解析性質(zhì)和幾何聯(lián)系起 來(lái)。近來(lái)，關(guān)于黎曼曲面的研究還對(duì)另一門(mén)數(shù)學(xué)分支拓?fù)鋵W(xué)有比較大的影響，逐 漸地趨向于討論它的拓?fù)湫再|(zhì)。現(xiàn)在在三維空直角坐標(biāo)系上做一個(gè)單位球面：/+廣2=1,且稱(chēng)此單位球面 或Riemann （黎曼）球面，在空間直角坐標(biāo)系上，將Oxy平面看成復(fù)平面，將復(fù) 數(shù)球面上的點(diǎn)（0,0,1）稱(chēng)為（北）極點(diǎn)N.復(fù)平面上的任一點(diǎn)x+iy與極點(diǎn)N切丁的直線(xiàn) 與復(fù)球面有唯一的交點(diǎn)。讓此交點(diǎn)與復(fù)平面上

9、的點(diǎn)之間建立一一對(duì)應(yīng)，成為球極 平面投影。這是一個(gè)拓?fù)溆痴?，即雙方連續(xù)的映照，故有復(fù)球面的緊性，得出擴(kuò) 充復(fù)平面的是緊的。我們來(lái)推導(dǎo)浮球面上的點(diǎn)（X,Y,Z）與對(duì)應(yīng)的復(fù)平面上的點(diǎn)x+iy坐標(biāo)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系式。因極點(diǎn)(0,0,1)和復(fù)平面上的點(diǎn)x+iy所確定的直線(xiàn)的參數(shù)方程為 (1 - t)x,(l -;-oo< t< 00)為求直線(xiàn)與復(fù)球面的叫交點(diǎn)，將此參數(shù)方程代入球面方程，有(i-t)y+(i-t)y+r=i得t =(國(guó)2 一 1) .這樣我們得至IJ的交點(diǎn)坐標(biāo)為2x v 2yz2-lX = - 丫 二工二(|z| +1) *(|z| +1) *(|z| +1)本題始終用匕成表示復(fù)

10、平面上的兩點(diǎn)z,z'在復(fù)球面上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)在度量下的距離。設(shè)z，=在福球面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(x'，y'，z'),則有x，_ 2x Y= 2y|Z|2-1(|z,|2+l),(z"+l)，(|z'|2+l)又=(X-X)2 +(Y-Y)2+(Z-Z)2=2( 1 - XX - YY'-ZZ)= 2(1-4xx' +4yy'+(|z|一l)(z1)+ D(z+ 1)(|z +l)(|z'p +1)-4xxf-4yy-(|z|2 -1)/(|z|2 - 1)=2(|z|2 + z 2jcx:'2yyf)=2(x2 H

11、2yy'-i-y=2kx x，)2 + (y y )=|z z2所以Kin q：|n| + l)c|z | + I)即*一N'lV<|Z|2 + 1) J(|Z|2 +1)稱(chēng)為球板平面投影距離公式。同理可得由球板平面投影距離公式，不難直接看出對(duì)任兩個(gè)非零復(fù)數(shù)Z和陰有這樣在擴(kuò)充平面上按公式引入了二元實(shí)函數(shù)匕4。k，z滿(mǎn)足度量條件，故它N，N又被稱(chēng)為球板量度。下面驗(yàn)證關(guān)于度量的三角不等式。q,Z2，"ec,由球板投影，依次對(duì)應(yīng)球面上三點(diǎn)（乂，?乙）,2，匕22）,«3，匕，4）,則4gI 二 J（XX3）+（X-X）+（ZZ3） J（x/X2）+（y/丫2

12、）+（乙 +J（x2-x3）+（y2-y3）+（z2-z3）="Z2I + Z2U3A在這個(gè)度量下，（g卜'”成為度量空間。由度量所引起的開(kāi)集系統(tǒng)與C做為拓 撲空間在前面所引入的開(kāi)集系統(tǒng)相一致。在本次研討中，我們始終用B （a,r）表 示在復(fù)平面上的以a為中心以r為半徑的圓盤(pán);用BxM"）表示在擴(kuò)充復(fù)平面c上以 a為中心以r為球極半徑的開(kāi)球，即Bx（”）= z；|zm|y，。由定義易得Bx r） = - r u / 川卜 I"J ,故N" Us為8在擴(kuò)充復(fù)平面上的一個(gè) 領(lǐng)域。結(jié)論：2若aeC且O0,則存在正數(shù)"使得B'"

13、;"）u B”；3 若awC且P（）,則存在00,使得B'aguBKaM；4若給定00,則存在一個(gè)緊集KuC,使得CKuBg（8'夕）；A5設(shè)緊集KuC,則存在正數(shù)?，使得BK* P）uCk.總之，Riemann球面C在球面度量下是連通的完得的緊致的度量空間。對(duì)于 地理信息系統(tǒng)來(lái)言，我們研究的范圍大多都是虛擬的，是以空間為載體，用空間 數(shù)據(jù)來(lái)體現(xiàn)的。如我們生活的家園一地球，當(dāng)我們研究其空間時(shí)，我們可以把他 看作是一個(gè)球體，因?yàn)樗ǖ姆秶蔷薮蟮模覀儾豢赡苡煤?jiǎn)單的測(cè)量?jī)x器 就能得出其空間數(shù)據(jù)，除了儀器外，我們還需要其他輔助工具，而柯西-黎曼曲 面為我們解決這一難題

14、提供了理論依據(jù)，通過(guò)它我們能更精確的測(cè)量出空間數(shù)據(jù)，因此對(duì)學(xué)習(xí)地理信息系統(tǒng)的同學(xué)來(lái)說(shuō)，它為我們更深層的探測(cè)空間信息提供 了科學(xué)依據(jù)。四.研究意義通過(guò)對(duì)上述課題的研究，讓我理解到復(fù)變函數(shù)的內(nèi)涵，復(fù)變函數(shù)促進(jìn)我們 更多的了解和認(rèn)識(shí)地理信息系統(tǒng)，從而更多的了解到他在專(zhuān)業(yè)中的作用，雖然我 們現(xiàn)在并沒(méi)接觸到專(zhuān)業(yè)課，但我已經(jīng)大致明白復(fù)變函數(shù)也許貫穿了我們整個(gè)學(xué) 科，我從課研中發(fā)現(xiàn)，從小學(xué)初中高中到大學(xué)，我們時(shí)時(shí)刻刻都在和數(shù)打交道， 從高等數(shù)學(xué)，概率論，線(xiàn)性代數(shù)到現(xiàn)在的復(fù)變函數(shù)，他們都會(huì)成為我們生活中的 一部分，做我一個(gè)地理信息系統(tǒng)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，我更應(yīng)該明白數(shù)對(duì)我們的作用，我 相信復(fù)變函數(shù)能在我們專(zhuān)業(yè)起到舉足輕重的作用，因?yàn)樗云渫昝赖睦碚撆c精湛 的技巧成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分。它曾經(jīng)推動(dòng)過(guò)一些學(xué)科的發(fā)展，并且常常 作為一個(gè)有力的工具被應(yīng)用在實(shí)際問(wèn)題中，它的基礎(chǔ)內(nèi)容已成為理工科很多專(zhuān)業(yè) 的必修課程?，F(xiàn)在，復(fù)變函數(shù)論中仍然有不少尚待研究的課題，所以它將繼續(xù)向 前發(fā)展，并將取得更多應(yīng)用。人類(lèi)在發(fā)展，中國(guó)在進(jìn)步，在人類(lèi)進(jìn)步的同時(shí)，更需要先進(jìn)的科學(xué)技術(shù)，而