高等數(shù)學(xué)習(xí)題解答(上海交大)習(xí)題解答

1、精品文檔n 11 ；1.寫出下列級(jí)數(shù)的前5項(xiàng):第11章級(jí)數(shù)(1)n113n1 3L (2n 1)4L 2n.2看解答:13"1233 341?32?435 L 1?3?5 2?4?61?3?5?72?4?6?81?3?5?7?92?4?6?8?101_ 2(ln2)3456(ln 3) (In 4) (In 5) (In 6)所屬章節(jié)：第4 難度：一級(jí)1 1?21 22一早弟一1?2?333節(jié)1?2?3?4 1?2?3?4?544552.寫出下列級(jí)數(shù)的通項(xiàng):101217 . L20x - x2 4 62x L2 4 6 8解答:n，2n 11)n 1n2 1n(n 1)'nx

2、2(3)。2?4L 2n所屬章節(jié)：第十一章第一節(jié) 難度：一級(jí)3.已知級(jí)數(shù)的部分和Sn,寫出該級(jí)數(shù)，并求和:(1) Snn 1一；(2) Sn n2n解答:(1) 一股項(xiàng)為u12,unSnSn1,nn(n 1)2,3,L ,故該級(jí)數(shù)為211,該級(jí)數(shù)的和為n 2 (n 1)nlimnSnlimn精品文檔1一股項(xiàng)為5 g萬,UnSnSn2n 12n2n 1 12n 11人n 2,3,L，故該級(jí)數(shù)為1 、片n1 2n2n級(jí)數(shù)的和為lim Sn lim nn 2所屬章節(jié)：第十一章第一節(jié) 難度：一級(jí)4.根據(jù)定義求出下列級(jí)數(shù)的和:3n2n公n161n(n 2)1 (n1)(nn2)(n 3)(4)( . n

3、-2 2 . nH . n)n 1解答:3n2n6n(2)n(3)n 1 3121213131 n(n 2)-(2 n2)12(11 (n 1)(n 2)(n 3)(1231、，11、-)()22 2 34；1)n).n)所屬章節(jié)：第4 難度：一級(jí)早用5.證明下列級(jí)數(shù)發(fā)散:2n解答:(1)由于Un一 t 一 2n由于Unnn2n 10,nn12n 1發(fā)散;2n，所以級(jí)數(shù)一發(fā)散;n 1 n(3)由于Un所以級(jí)數(shù)n一 發(fā)散;n(4)由于Un1 n _ n n(n )(n 1)n所屬章節(jié)：第4 難度：一級(jí)n早弟(11nn1)n n發(fā)散。6.用比較判別法或極限形式的比較判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：(1

4、)； (2) sin -4； (3)"； (4),12； (5)需；n 1 ln( n 1) n 12n 1 n 1n 1 n(n 1) n 1 n n1-1(6) sin ;-一n-(an 1 nn 1 1 a0) ； (8) ln(1n 1n_ 訪U 皿 n1 丁(a 0)(第9小題是否應(yīng)該放到下一題去用比值判別法？建議移至第7大題第7小題)參考答案：(1)發(fā)散；(2)收斂；(3)發(fā)散；(4)收斂；(5)發(fā)散；(6)發(fā)散； 當(dāng)a>1時(shí)收斂，當(dāng)a<1時(shí)發(fā)散；(8)收斂(參考答案有誤？)；(9)當(dāng)a<e時(shí)收斂，當(dāng)ae時(shí)發(fā)散一， .一 11 一一， 1 1解答：(1)

5、由于 一1一 1 ,而級(jí)數(shù) 1發(fā)散，故正項(xiàng)級(jí)數(shù)一1一發(fā)散;ln(n 1) nn 1 nn 1 ln(n 1)(2)由于sin= ,而級(jí)數(shù) 一收斂，故正項(xiàng)級(jí)數(shù)sin J收斂；22n 1 2n 12(3)由于約 n 1 ,所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散；n 1n 1 n 113， 一1r,人，(4)由于一_n21 ,所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)1 收斂;n(n2 1)nn(n2 1)(5)由于、1,而級(jí)數(shù) 1發(fā)散，所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)上發(fā)散；n n nn 1 nn 1 n n.1一. 一.1 ,，(6)由于sin- n 1 ,所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)sin發(fā)目攵；nn 1 n(7)當(dāng)a 1時(shí)，由于n20,所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)小收斂，1 an 11 a1

6、一 一.1,當(dāng)a 1時(shí)，由于1,所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散;2 m1 an1ln(1 -)11(8)由于粵L1,而調(diào)和級(jí)數(shù) 二發(fā)散，所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)ln(1 ；)發(fā)散;1n 1 nn 1 n、： nnn 1 n當(dāng)a e時(shí)，由于limulim a (n *口lima1 ,所以原級(jí)數(shù)收斂,n Unn (n 1)n 1ann!n(1 )n e當(dāng)a e時(shí)，由于叱Unn 1na (n 1)! n,、n 1 n(n 1) a n!na 1,所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。(注：本題已改用(1 1)n en比值判別法所屬章節(jié)：第十一章第二節(jié) 難度：二級(jí)7.用比值判別法或根值判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:(2n 1川；13nn!2$(3)1

7、 n 1 lnn(n；(4)1)3n1 n?2n(5)PA2(6)n; (7) arcsin2 -;n 1 3nn 1n(8) n?tan-n-1n 12n，一、 b(9) 一 ,其中 an一a(n一0°), an、 n 1 anb、a均為正數(shù)參考答案：(1)收斂; 收斂；(3)收斂；(4)發(fā)散；(5)收斂；(6)收斂(參考答案有誤？)；收斂(無法用所給方法判別，建議移至上一大題)；(8)收斂；當(dāng)b<a時(shí)收斂，當(dāng)b>a時(shí)發(fā)散，當(dāng)b=a時(shí)不能判定Un 1(2n 1)!3nn!2n 12 d解答：(1)由于 lim -1 lim Llim - 1,nunn 3n 1(n 1)

8、! (2n 1)! n 3(n 1) 3所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)(2, 1)!收斂;n 13nn!Un 1 (n 1)所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)，收斂；n 1 33n (n 1)21d(2) 由于 lim 11mA-ni211mA六一1,n Un n 3 n n 3n 3由于lim n Unn ,1 lim 0 1 ,n ln(n 1)所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)1n 1 lnn(n收斂;1)由于lim n Unn -lim 3n 2n n所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)3nJ發(fā)散;n 1 n?2n(5)由于lim u n Un.(n 1)!limn-1n (n 1)n 1limn(111)n n所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)n!收斂;1 n(6)由于lim n Unn

9、'(1 1)n lim nn n 3n1,所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)n 1 n2()3一發(fā)散;1 3n.2 1 arcsin由于.一 1 一一 1,而級(jí)數(shù) =收斂，所以n 1 n-2arcsin1收斂；（注：由于本題用比值判 n2n別法判別失效，本題已改用比較判別法）(8)由于limnun 1un(n 1)tan /lim2-nntan 2n21,所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)n?tan 77 收斂;n I一 一 .一 一 bb(9)當(dāng) ab 時(shí)，由于lim 而7lim 一1,nnana所以n收斂,an當(dāng)a b時(shí)，由于limlim n 、 n an1,所以bann發(fā)散,當(dāng)a b時(shí)，由于lim JT lim nn an

10、1,所以n的斂散性無法判定。an所屬章節(jié)：第十一章第二節(jié) 難度：二級(jí)8.用積分判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:2c21； （2） nen ;n 1 n nn 1參考答案：（1）發(fā)散；（2）發(fā)散 時(shí)發(fā)散arctan nn 1n2 1n 1 (n 1)ln p(n 1)（原參考答案有誤？）；（3）收斂；（4）當(dāng)p>1時(shí)收斂，當(dāng)p< 12解答：（1）由于積分Wdx1 3 x23x3發(fā)散，所以由積分判別法知，原級(jí)數(shù)發(fā)散;v21由于積分xe dx -e12x21六斂,所以由積分判別法知，原級(jí)數(shù)收斂;（3）由于積分arctanx,1. 2dx - arctan x（4）當(dāng)p>1時(shí)，由于積分1

11、322收斂，所以由積分判別法知，原級(jí)數(shù)收斂;1 (x 1)ln p (x 1)dx Tn 1p1 /(x1)(pp 11)ln p-收斂，所以2由積分判別法知，原級(jí)數(shù)收斂當(dāng)p 1時(shí)，由于積分(x 1)ln p(x 1)dxln ln(x1)發(fā)散,所以由積分判別法知，原級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng)p 1時(shí)，由于積分(x 1)ln p(x 1)dx11npi(x1)1 發(fā)散，所以由積分判別法知，原級(jí)數(shù)發(fā)散。綜合知，原級(jí)數(shù)當(dāng)p>1時(shí)收斂，當(dāng)p<1時(shí)發(fā)散。所屬章節(jié)：第十一章第二節(jié)難度：二級(jí)9.利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件,證明下列極限:(1) lim 0 ; (2) lim nn n!nnn3n0 ; (3)

12、limn 0n n!?2n解答：（1）由于lim nun 1unlimnn所以由比值判別法知正項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)收斂,n i n!于是由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知limnn彳0;n!由于lim u n Un.(n 1)! nlim 臺(tái)n (n 1) n!1,所以由比值判別法知正項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)n里收斂,n!于是由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知lim nn!0；由于lim u n Un3n 1n! 2nnm (n 1)! 2n 13nn所以由比值判別法知正項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)收斂,n 1 n!3n于是由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知lim 上不0 n n!?2n所屬章節(jié)：第十一章第二節(jié)難度：二級(jí)10 .設(shè)aQ0,且 an收斂，證明a2也收斂n

13、1n 1解答：由于正項(xiàng)級(jí)數(shù) an收斂，所以lim an 0 ,存在正整數(shù)N ,當(dāng)n N時(shí)，a01 ,從而 ,n當(dāng)n N時(shí)，a2 an 1 ,由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知，級(jí)數(shù)a2收斂n 1所屬章節(jié)：第十一章第二節(jié)難度：二級(jí)M2一,于是an n11 .設(shè)an>0,且數(shù)列nan有界，證明 a2也收斂 n 1解答：由于數(shù)列nan有界，存在正數(shù)M , nan M ,從而an2數(shù) +收斂，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知，級(jí)數(shù)a2收斂。n 1 nn 1所屬章節(jié)：第十一章第二節(jié)(an bn)2也都收斂 n 1難度：三級(jí)12 .設(shè)an>0, bn>0,且 an和 bn都收斂，證明anbn和n 1n 1

14、n 1解答：由于an>0, bn>0,且ann 1和 bn都收斂，故由第n 110題結(jié)論知級(jí)數(shù)a2n 1b2收n 1斂，又由于1 2 anbn -an2所以由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知，級(jí)數(shù)anbn收斂;n 1再利用(an bn)2 2a2 2bl2 ,所以由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知，級(jí)數(shù)(an bn)2 收斂。n 1所屬章節(jié)：第十一章第二節(jié) 難度：三級(jí)13.設(shè)an>0,且 an收斂，證明n 1包也收斂n解答：由于an>0,an收斂，故由第10題結(jié)論知級(jí)數(shù)n 1a2收斂，結(jié)合級(jí)數(shù)1并利用不等式an1 2 an212， n所以由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知，級(jí)數(shù)生收斂。n 1 n所屬

15、章節(jié)：第十一章第二節(jié) 難度：三級(jí)14.設(shè) an和 bn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果吼 也，則當(dāng)n 1n 1anbnbn收斂時(shí),an也收斂；當(dāng)ann 1發(fā)散時(shí)，bn也發(fā)散n 1解答：由已知條件知，亙ai an 1 an 2 ai且殳！ L b2 bibnbn 1 bn 2bl或an亙電！ L曳a2an 1 an 2a2bnbn 1 Lbn1 bn 2b3b2b2 bn ,故由比較判別法知，當(dāng)bn收斂時(shí)，烝也收斂；當(dāng) 烝發(fā)散時(shí)， 必也發(fā)散n 1n 1n 1n 1所屬章節(jié)：第十一章第二節(jié)難度：三級(jí)15.設(shè)數(shù)列nan收斂，且級(jí)數(shù)n(an an 1)收斂，證明級(jí)數(shù) n 1an也收斂。n 1解答：設(shè)級(jí)數(shù)n(ann

16、1an 1)的部分和數(shù)列為Tn ,級(jí)數(shù)ann 1的部分和數(shù)列為Sn ,則Tn a1 a02(a2ai) 3(a3 a2)L n(an an 1)aoa1a2L an 1 nan nan a。 Sn 1由于數(shù)列nan收斂,級(jí)數(shù)n(an an 1)收斂，故數(shù)列n 1Tn、 nan均收斂，由上式知數(shù)列Sn1收斂，從而數(shù)列Sn收斂，于是級(jí)數(shù)an收斂。n 1所屬章節(jié)：第十一章第二節(jié)難度：三級(jí)16.判別下列交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性：3n 1 1n 1 nn 1 n 1n 1 ln n(1) ?。?2)( 1) /； (3)( 1) - ； (4)( 1)1,n單調(diào)減少趨于零，所以由萊布尼茨定理n 1/nn 12n

17、 13n 2n 1n解答：(1)對(duì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1)n1-%,由于數(shù)列n 1n知收斂;33對(duì)交錯(cuò)級(jí)數(shù) (1)n1 1 ,由于數(shù)列 二 單調(diào)減少趨于零，所以由萊布尼茨定理知收斂; n /n nn 122對(duì)于級(jí)數(shù)(n 1z 1 n 1n 11),由于 lim3n 2 n 3n 21,所以一般項(xiàng)不趨于零，故級(jí)數(shù)發(fā)散;3對(duì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)1)n1ln上，由于數(shù)列 nn單調(diào)減少趨于零，所以由萊布尼茨定理知收斂;所屬章節(jié)：第十一章第三節(jié) 難度：一級(jí)17.判別下列級(jí)數(shù)是否收斂？如果收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂？：1)n 113 (2n 1)；(2)(1)n11nn 11)ncos n0)；(5)3n3 4n；(6)si

18、nn 1;(本題應(yīng)為1n nsinn 21In n1)n 1 3n 1；(8)解答：(1)對(duì)級(jí)數(shù) (1)n 11(2n 1)30,所以絕對(duì)收斂;(2)對(duì)級(jí)數(shù)1)n 1 n1,由于 nimnn11 1,所以一般項(xiàng)不趨于零，故級(jí)數(shù)發(fā)散;(3)對(duì)級(jí)數(shù)1)n 11nln- 單調(diào)減少趨于零，所以由萊布尼茨定理知收 n 1斂，但是n 1(5)(1)n1ln n其部分和數(shù)列Sn1n(n 1)發(fā)散，故原級(jí)數(shù)條件收對(duì)級(jí)數(shù) (n 11)ncos(n0)，由于limnun12 n2,所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;對(duì)級(jí)數(shù)n 11 3n3 4nn,由于lim n n -unlim n3n3 4n1 ,所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;(6)對(duì)

19、級(jí)數(shù) sinn 2J (In n n 2n.1) sin上，由于數(shù)列sin 單調(diào)減少趨于零，所以由萊ln nln n布尼茨定理知收斂,但是n 1n 11(1) sinlnn.1sin n 1 ln n由于級(jí)數(shù)111sin1 ,故原級(jí)數(shù)條件In n In n n收斂;(7)對(duì)級(jí)數(shù)1)n 1 31)n1 13n 11n 1 3n 1故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;(8)對(duì)級(jí)數(shù)n1).冗-sin -,n 1 冗n(1n)n sin n1 .九Tsin-，1 .-sinn收斂,故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。所屬章節(jié)：第十一章第三節(jié) 難度：二級(jí)18.求下列級(jí)數(shù)的收斂域:sinn x -(1)-； (2)n 1 n解答：(ln x

20、)n ; (4) n 1nxne(1)由于對(duì)任意實(shí)數(shù)x,fsinnx 1 工3皿有2-2 ，而級(jí)數(shù)零，故原級(jí)數(shù)發(fā)散,(3)由于當(dāng)I1 xe1 ,收斂，故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?ocx<+oo； n 1 nIn x)n，1域?yàn)? xe(5)ln xe；(2)由于當(dāng)X|>1時(shí),nj1 1,此時(shí)原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，當(dāng)|x 1時(shí),所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閘n x)n|ln x1 ,原級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)x由于兇 1,易知原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?x由于limnUn 1(x)Un(x)原級(jí)數(shù)一般項(xiàng)不趨于1 ,此時(shí)原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，當(dāng),1 , 1 , e或x -時(shí)，易知原級(jí)數(shù)發(fā)目攵,ex<0;e x,易知原級(jí)數(shù)的收斂域

21、為x>0；.、1.x e或0 x -時(shí), e所以原級(jí)數(shù)的收斂(6)由于當(dāng)n足夠大時(shí)一般項(xiàng)為正，可看作正項(xiàng)級(jí)數(shù)，lim nx Un(x) ex,易知原級(jí)數(shù)的收斂域 n為 x>1。所屬章節(jié)：第十一章第四節(jié) 難度：二級(jí)19.求下列幕級(jí)數(shù)的收斂域:nJ 1*；(2)10nxn ； (3)n xn 1 n(n2n-2 0 n；(5)(1)n 12n 1n 1x(2n 1)(2n 1)!'(6)n2n 1 2n1 2n x(x 3)nn?3n；(8)(x 5)nnxn 1 (n 1)p；(10)1n 1 3n ( 2)nnx;n(11)qln n3 nxn 1 n解答：(1)由于lim

22、 aan1,所以收斂半徑為1,而當(dāng)x 1時(shí)，原級(jí)數(shù)條件收斂，當(dāng)x1時(shí),原級(jí)數(shù)發(fā)散,故收斂域?yàn)?1<x< 1;由于limnan1an 1一,10,所以收斂半徑為,，而當(dāng)x101行時(shí),原級(jí)數(shù)發(fā)散,故收斂域?yàn)?x1110，由于limnan1an1 ,所以收斂半徑為1,而當(dāng)x1時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，故收斂域?yàn)閨x|<1;limnan 1an 1一,2 ,所以收斂半徑為1 ,而當(dāng)21x ,時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，故收斂域?yàn)?(5)由于limnUn 1(x)Un(x)0 ,所以收斂域?yàn)?oc<+oo；(6)由于limnUn 1(x)Un(x)2 x 一,而當(dāng)x2V2時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散，所以收

23、斂域?yàn)镴2 x 72；由于limnUn 1(x)Un(x)6時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)x 0時(shí)，原級(jí)數(shù)條件收斂，所以收斂域?yàn)?<x<6;(8)由于limnUn 1(x)Un(x)6時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)x 4時(shí)，原級(jí)數(shù)條件收斂，所以收斂域?yàn)?<x<6;(9)由于liman1an當(dāng)p>1時(shí)，x當(dāng)0<p<1時(shí)，當(dāng)p0 0時(shí)，x(10)由于 lim n1,所以收斂半徑為1,1為收斂點(diǎn)，故收斂域?yàn)?岡0 1;1為發(fā)散點(diǎn)，x1為收斂點(diǎn),1為發(fā)散點(diǎn)，故收斂域?yàn)閄|<1;故收斂域?yàn)門&x<1;1 ,所以收斂半徑為3,而當(dāng)x33時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)x 3時(shí)，原級(jí)

24、數(shù)收斂，所以收斂域?yàn)?3<x<3;(11)由于pman 11 ,所以收斂半徑為1,而當(dāng)1時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散，故收斂域?yàn)?T<x<1。所屬章節(jié)：第十一章第五節(jié) 難度：一級(jí)二級(jí)20.將下列函數(shù)在給定點(diǎn)x0處展開為幕級(jí)數(shù):1一, x0 x3; (2) y(5)xa , xo0; (6) y2x 1 1,x0 1 ； (3)x2,x° 0 ； (4) y lnx,x01；(8)ln(2x 3x2), Xo（第10小題是否應(yīng)為y解答：（1） y(5),xo1;""2 x ,xox 2x0； (9) y2x arctan x(x1下,X0ln(111 3(

25、x3)2xIn xL3(x1)2n xln1xln a e(x1)0; (10) y 2arctan x ln(1x2） 1,Xo 0?以下按此進(jìn)行解答）1)n(x 3)n3n 1(0x 6);x2) 1,Xo 0；1)nnn2 (x 1)3n12( n 1)X n 0 n!(1)3n 1(lna)n n xn!1)n(06X.72 1X3 1X /V 1 - 5 一 6nD X-11n2X -2111 -2X -3 )1 311一3 X/V1一5 1n1) wo n 1-21 1X /(11 - 2X 12 X2Xo X(2n23X3X)3 -21 (X2)21(X-2)1(2X)1(2n1

26、巧)(10)在-11)nn n 1,2n 1 X (2)；由于y2、2xarctanx ln(1 x )1,所以y'2arctanx, y"(1)nx2n兩邊兩次積分,注意到y(tǒng)'(0) 0, y(0)01)n 12nXn(2n-(I x| 1) 1)所屬章節(jié)：第十一章第五節(jié) 難度：二級(jí)21.求下列級(jí)數(shù)的和:(1)n02n解答:2n 1 4(1)由于-1arctan x2n 19n1)n 2n1) X2n 1X2n積分得即得級(jí)數(shù)和為S4, 九arctan-； 4,一 1由于c(1 x)2nnxn 1即得級(jí)數(shù)和為S 4;2n x02n x13x2求導(dǎo)得吆（13x(-21

27、x)(2n2n1)x ,.1令x -， 3所屬章節(jié)：第 難度：三級(jí)即得級(jí)數(shù)和為卜一章第五節(jié)22.求下列幕級(jí)數(shù)的和函數(shù):n(n12)xn ;解答:n(n1n2)x13321 n(n 1)x n(nn 1n 11)x設(shè) S(x)1 n(n 1)則 S'(x)設(shè) S(x)S(x)S(x) x (1j2nn 1 n!x22e (2x1)x)ln(1x)2n xn(n4x-e4x22（本題有誤？是否為S(x)dx1) n 1 x2(7)2 x -e 2n!x22空x2nn!nx1x(x 3)(x1)3n2 12n ?n!2n x(|x| 1)；x2e2n 1 2n ?n!1 xnn x 一,S&

28、quot;(x) n,在后式兩邊積分兩次,即得1)2n 1n 1 n!2x(ex1)兩邊求導(dǎo)得12 (n?如果題目是(n 1)!(22)n 1 n! 2X21)e2 1 ,n2 1n 1 2n?n!x則答案與原參考答案相同,解答見下）n2 1 n n 1 2n n! Xn(n 1) n 1 x(2)n!1 X(1)n 2 (n 2)! 21 X n( )1 (n 1)! 21 X n-(-) n 1 n! 2X x? e 2Xe2X 1)e2 1 (所屬章節(jié)：第十一章第五節(jié) 難度：三級(jí)23 .利用函數(shù)的幕級(jí)數(shù)求下列各數(shù)的近似值，精確到四位小數(shù):(1) 330;(2) ln1.2; (3) co

29、s2°解答：（1）(3) 303273(13131 19 92± -181 933.1073 ;(2) ln1.2ln(1 0.2)0.2_2 0.22130.2 30.240.1823; cos2°cos 1904!(90)40.9994。所屬章節(jié)： 難度：二級(jí)第十一章第七節(jié)24 .用幕級(jí)數(shù)表示下列積分:1 cosx dx ;X2 dx解答：（1）Xdxx-( X nln |x|-xn1 cosx , dx(11 3X3_XL)dx1)n112n (2n)!X0ex2dx2 n3dxn!1)nx(2n 1)?n!2n 1所屬章節(jié)：第 難度：二級(jí)卜一章第七節(jié)25

30、.利用被積函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開式求下列定積分的近似值：0.51/0.8（1）4dx（精確到 10 4）; （2）x10sinxdx（精確到 10高0 1 x00.510.5解答：(1)4 dx 1 x x x dx 0.4940;0 1 x 00.80.8111(2) x sin xdx x (x x x x )dx 0.006。 003!5!7!所屬章節(jié)：第十一章第七節(jié)難度：二級(jí)26.把下列周期為2冗的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，并寫出級(jí)數(shù)在-囚冗上的和函數(shù):/八,/ 1,( 40) g、 e / e ，怎0) ZQ 2 f (x) s 、； (2) f (x)； (3) f(x)冗x,0,41,0,

31、可2 ,x ,(砥可；x f (x) 2sin 3,(小可；(5) f (x) |sinx|,( 解答：本題利用以下公式計(jì)算傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，an1一 f (x)cos nxdx, n 0,1,2,Lbn1一 f (x)sin nxdx, n 1,2,L1, a。 f (x)dx 1 -1 一、 ，1 0,1,、，1 ( 1)n -an f (x)cos nxdx - cosnxdx ( x)cos nxdx 2 , n 1,2,L0n11bn - f (x)sin nxdx ( 1)n(1) 1,n 1,2,Ln所以傅里葉級(jí)數(shù)展開式為2114 : n 1(2712 cos(2n 1)x n1

32、n；( 1)(14 1sin nx ;1,冗 x 0x,0 x 冗和函數(shù)為S(x) 1x02，1冗,x 冗2(2)計(jì)算得曲J''":'bnn ( 1)nne(1 n2)1 ( 1)n (1 n2),所以傅里葉級(jí)數(shù)展開式與和函數(shù)為n ( 1)nne1 ( 1)n2 2 sin nx1 n1 nex,x 01,0 x1 e ,x2(1)n122cosx 冗 x ,可；1 e 11( 1)ne 2cos nx2n i 1 n注：此題原參考答案還有錯(cuò)。所求傅里葉級(jí)數(shù)展開式與和函數(shù)為所求傅里葉級(jí)數(shù)展開式與和函數(shù)為(5)sin n 21Tt3131sin n 一 九3si

33、n x1 n -32sin-, 30,x 九所求傅里葉級(jí)數(shù)展開式與和函數(shù)為2 4 cos2 nx2R TTn 14n 1| sin x | 冗 x 冗。所屬章節(jié)：第十一章第十節(jié) 難度：二級(jí)27 .把下列各函數(shù)在指定區(qū)間上展開為傅里葉級(jí)數(shù)，并寫出級(jí)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的和函數(shù): f(x) |x|,( l,l ; (2) f(x)0,( 2,0h,(0,2,(h0)； (3) f(x)x,( 1,0)1,0,1,(h0)解答：本題利用以下公式計(jì)算傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，11nan-f(x)cos-pxdx,n0,1,2,L1l.nbn-!f(x)sinxdx, n1,2,L(1)a(0 l, an 2 xco

34、sn xdx-yl-2-1 ( 1)n,nl 0 ln所求傅里葉級(jí)數(shù)及其和函數(shù)為1,2,L , bn0,n 1,2,L ,4l2 n1 (2n 1)2cos©1)冗-x |x|原參考答案L 3Jcos(2n 1)九x |x| l x l有誤?2 n n1(2n 1)lh l 2, a。h, an 0,n 1,2,L ,0 1( 1)n,n 1,2,L ,所求傅里葉級(jí)數(shù)及其和函數(shù)為h 2h，sin(2nx2 兀 n 12n0, 2 h,0 h 2,x0,1 ( 1)nL,n1,2,L，bn1,n 1,2,L , n所求傅里葉級(jí)數(shù)及其和函數(shù)為3 2 cos(2n 1)出 1 sin n x.224 九 n 1(2n 1) Ttn 1x, 1,0 1 2，X所屬章節(jié)：第十一章第十一節(jié) 難度：二級(jí)28 .把函數(shù)f(x) ； x在0,冗上展開為正弦級(jí)數(shù)，并寫出級(jí)數(shù)在該區(qū)間上