《5.1任意角和弧度制》公開(kāi)課優(yōu)秀教案教學(xué)設(shè)計(jì)(高中必修第一冊(cè))

1、【新教材】5.1.2弧度制 教學(xué)設(shè)計(jì)（人教 A版）教材分析前一節(jié)已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角的概念，而本節(jié)課主要依托圓心角這個(gè)情境學(xué)習(xí)一種用長(zhǎng)度度量角的 方法一弧度制，從而將角與實(shí)數(shù)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，為學(xué)習(xí)本章的核心內(nèi)容一三角函數(shù)掃平障礙， 打下基礎(chǔ).教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)J課程目標(biāo)1 . 了解弧度制，明確1弧度的含義.2 .能進(jìn)行弧度與角度的互化.3 .掌握用弧度制表示扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式 數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1 .數(shù)學(xué)抽象：理解弧度制的概念；2 .邏輯推理：用弧度制表示角的集合；3 .直觀想象：區(qū)域角的表示；4 .數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用已知條件處理扇形有關(guān)問(wèn)題教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：弧度制的概念與弧度制與角度制的轉(zhuǎn)化；難點(diǎn)：

2、弧度制概念的理解.課前準(zhǔn)備教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。教學(xué)工具：多媒體。教學(xué)過(guò)程情景導(dǎo)入度量單位可以用米、英尺、碼等不同的單位制，度量質(zhì)量可以用千克、磅等不同的單位制，不 同的單位制能給解決問(wèn)題帶來(lái)方便 .角的度量是否也可以用不同的單位制呢？能否像度量長(zhǎng)度那樣, 用十進(jìn)制的實(shí)數(shù)來(lái)度量角的大小呢？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本172-174頁(yè)，思考并完成以下問(wèn)題1 . 1弧度的含義是？2 .角度值與弧度制如何互化？3 .扇形的弧長(zhǎng)公式與面積公式是？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表

3、回答問(wèn)題。 三、新知探究1 .度量角的兩種單位制(1)角度制定義：用 度 作為單位來(lái)度量角的單位制.1度的角：周角的.360(2)弧度制定義：以 弧度 作為單位來(lái)度量角的單位制.1弧度的角：長(zhǎng)度等于 半徑長(zhǎng) 的弧所對(duì)的圓心角.2 .弧度數(shù)的計(jì)算3 .角度制與弧度制的轉(zhuǎn)算角度化瓠度Lf弧度化角度一 J" _ . Jj 產(chǎn)=_麗 rad = 0.017 45 rad 1 rad= （二）=57.3（T I |hJJ E4. 一些特殊角與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系度0°30°45°60°90°120°135°150°18

4、0°270°360°弧度0?6?4兀 y兀-22?3?45?6兀3兀 ""2"2兀5 .扇形的弧長(zhǎng)和面積公式則:設(shè)扇形的半徑為 R,弧長(zhǎng)為l, a (0V “ <2兀)為其圓心角,弧長(zhǎng)公式：l = a r、 1(2)扇形面積公式：S= 1?四、典例分析、舉一反三題型角度制與弧度制的互化例1 把下列弧度化成角度或角度化成弧度:。兀(1) -450° ； (2); (3),5兀4丁 (4)11230'.3(1)2 rad(2) 18 240° ; (4)5兀8rad.(1) 450 兀=-450x 麗 r

5、ad 一5兀-2- rad;兀(2) 10 rad兀=X10180=18(3) -V rad 一丁18071= -240° ;715兀(4)112 ° 30' =112.5° = 112.5 X rad = - rad.解題技巧：(角度制與弧度制轉(zhuǎn)化的要點(diǎn))跟蹤訓(xùn)練1.將下列角度與弧度進(jìn)行互化.(1)20 ° ； (2) 15。； (3)梟；(4)11 715'兀兀C9 rad ； (2) - - rad ; (3) 105 ;( 9124)396【解析】(1)2020 71 rad 180兀=9 rad.6(2) 15。兀rad.121

6、5兀" rad =一 180 1匚 rad = x 180° =105° 1212(4) -1 rad =£x180° = 396° 55題型二用弧度制表示角的集合例2用弧度制表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(不包括邊界，如圖所示)兀5【答案】(1) e -6-+2kTt<e <Tt + 2kTt, kez；(2) 9 4 + 2k 兀 < 8 < 4 + 2k Tt,kCZ (3) 9 6"+ k 兀 < 8 < ? + k 兀,k C Z .【解析

7、】用弧度制先寫(xiě)出邊界角，再按逆時(shí)針順序?qū)懗鰠^(qū)域角，兀 .5. .一(1) 9 3 + 2k 兀< 8 <行兀 + 2k 兀,kCZ(2) 9 + 2k 兀 < 8 < + 2k 兀，k C Z . 44兀兀(3) e "6" + kTt<e<"2"+kTt, keZ .解題技巧：(表示角的集合注意事項(xiàng))1 .弧度制下與角 a終邊相同的角的表示.在弧度制下，與角 a的終邊相同的角可以表示為 %3 =2kTt + a , kCZ,即與角a終邊相同的角可以表示成 a加上2兀的整數(shù)倍.2 .根據(jù)已知圖形寫(xiě)出區(qū)域角的集合的步驟.

8、(1)仔細(xì)觀察圖形.(2)寫(xiě)出區(qū)域邊界作為終邊時(shí)角的表示.(3)用不等式表示區(qū)域范圍內(nèi)的角.提醒：角度制與弧度制不能混用.跟蹤訓(xùn)練二1 .如圖，用弧度表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(不包括邊界). 【答案】(1) a 0 + 2k Tt < a < + 2k 兀，k C Z . 36(2) a 2k% < a < Y +2k ?；?+2卜兀 V ”<兀+2卜兀,kCZ. 33【解析】如題圖，以O(shè)A為終邊的角為微+2kTt(kC Z)；以O(shè)B為終邊的角為一 Y + 2kTt(kCZ), 63所以陰影部分內(nèi)的角的集合為a 十 2

9、k 兀 V a V -+ 2k 兀 , k C Z .36(2)如題圖，以O(shè)A為終邊的角為-Y+2k7t(kZ)；以O(shè)B為終邊白勺角為 Y+2k7t(kCZ). 33不妨設(shè)右邊陰影部分所表示的集合為M,左邊陰影部分所表示的集合為M,兀2兀則乂= a 2k Tt < a < _3+ 2k 兀,kCZ,M= a -3- +2k7t< a<7t + 2k tt, kCZ.所以陰影部分內(nèi)的角的集合為MUM= a 2k Tt < a < + 2k ?；騀 2k 兀< “<兀+2卜兀,kCZ. 33題型三扇形的弧長(zhǎng)與面積問(wèn)題例3一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為 20,則扇形

10、的半徑和圓心角各取什么值時(shí)，才能使扇形面積最大?【答案】當(dāng)扇形半徑 r = 5,圓心角為2 rad時(shí)，扇形面積最大.【解析】設(shè)扇形的圓心角為a ,半徑為r,弧長(zhǎng)為l ,則l = a 1 ,一r202r依題息 l+2r=20,即 a r+ 2r =20, a= r .由 l =20 2r>0及 r>0得 0<r<10,扇形:1" r2=； 202, r2=(10 r)r 22 r=-(r 5)2+25(0<r<10).當(dāng)r=5時(shí)，扇形面積最大為 S= 25.此時(shí)l=10, a =2,故當(dāng)扇形半徑r = 5,圓心角為2 rad時(shí)，扇形面積最大.解題技巧

11、：(弧度制下解決扇形相關(guān)問(wèn)題的步驟)121(1)明確弧長(zhǎng)公式和扇形的面積公式：l = | a |r, S= 21 a | r和S= -lr .(這里a必須是弧度制下的 角)(2)分析題目的已知量和待求量，靈活選擇公式.(3)根據(jù)條件列方程(組)或建立目標(biāo)函數(shù)求解.跟蹤訓(xùn)練三1、已知某扇形的圓心角為80° ,半徑為6 cm,則該圓心角對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)為 ()A. 480 cmB. 240 cmC." cmD.與 cm33【答案】C【解析】：80 ° =-X 80=4-,又 r=6 cm,故弧長(zhǎng) l= a r=4x 6=83(cm).2、如圖，已知扇形AOB勺圓心角為120。，半徑長(zhǎng)為6,求弓形ACB勺面積.【答案】12% -9v3【解析】S扇形aoe=1 x靄X 62=12兀,1 一 ，Sa Ao,X6X6Xsin 60=9v3,故 S 弓形人©6=$扇形 AO-S aao