廣東省2020屆普通高校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬試題(二)(理數(shù))

1、A. x| 3 x 2<2C. x| 2 x 77B. x| 3 x 6D. x| 2 x 2<22.已知復(fù)數(shù)z i（a i） （i為虛數(shù)單位R）,若1 a 2,則|z|的取值范圍為廣東省2020屆普通高校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬試題（二） 數(shù)學(xué)（理科）本試卷5頁(yè)，23小題，滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1 .答卷前，考生務(wù)必將自己的縣（市、區(qū)） 、學(xué)校、姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答 題卡上。將條形碼橫貼在答題卡條形碼粘貼處2 .作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答

2、在試卷上。3 .非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按 以上要求作答無效。4 .考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。x 2 x 2灰，貝U A B1.已知集合 A x(x J7)(x 3) 0 , B19D. (1,2)A. (<2,<5)B. (V2,2)C, (2,V5)3.周髀算經(jīng)是我國(guó)古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，其書中記載：一年有二

3、十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣署長(zhǎng)損益相同（害是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，署長(zhǎng)即為所測(cè)影子的長(zhǎng)度），夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降是連續(xù)的九個(gè)節(jié)氣，其署長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，經(jīng)記錄測(cè)算，這九個(gè)節(jié)氣的所有署長(zhǎng)之和為49.5尺，夏至、大暑、處暑三個(gè)節(jié)氣署長(zhǎng)之和為10.5尺，則立秋的辱長(zhǎng)為B. 2.5 尺C. 3.5 尺D. 4.5 尺4.在ABC中，已知A 45 , AB6五，且AB邊上的高為2石，則sinC1010B.3,1010C. 10D.2 1055.一個(gè)底面半徑為2的圓錐，其內(nèi)部有一個(gè)底面半徑為1的內(nèi)接圓柱，若其內(nèi)接圓柱的體積為 V3則該圓錐的體積為A. 243B, 23C. 一D

4、.6.已知函數(shù)f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在(0,)上單調(diào)遞減，f ( 3) 0,則不等式7.8.9.f (x A.( C.(1) 0的解集為3,3),4)2 x已知雙曲線鏟線，垂足分別為1,2)2 y b2A, B,2) (1,4),3) (0,3)1(a 0,b 0)的右焦點(diǎn)為F ,過點(diǎn)F分別作雙曲線的兩條漸近線的垂若FA FB 0,則該雙曲線的離心率為C. ,3已知四邊形 ABCD中，AD / BC且 AE BE ,則 AE DB30 , AB 2V3 , AD 5, E在CB的延長(zhǎng)線上,C.-2(x y 2)6的展開式中，xy3的系數(shù)為A. 120C. 24010 .把函數(shù)f (

5、x)2sinx的圖象向右平移 一個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得的函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo) 3縮短到原來的1(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)2g(x)的圖象，關(guān)于g(x)的說法有:函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)一,0對(duì)稱;3函數(shù)g(x)的圖象的一條對(duì)稱軸是 x 一12函數(shù)g(x)在一,一上的最小值為、,'33 2則以上說法正確的個(gè)數(shù)是函數(shù)g(x)在0,上單調(diào)遞增.A . 4個(gè)11.如圖，在矩形B . 3個(gè)ABCD 中，已知 AB 2ADC. 2個(gè)2a, E是 AB的中點(diǎn)，將ADE沿直線DE翻折成 ADE ,連接AC .若當(dāng)三棱錐Ai外接球的體積為CDE的體積取得最大值時(shí)，三棱錐8 2 皿，則a3A1 CDED.

6、1個(gè)aA. 2C.12.已知函數(shù)f(x)1 ax2 cosx 1(2R)，若函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn),則a的取值范圍為A.(,0)(,0 1,)C.(,1 1,)(,0) 1,)二、填空題：本題共 4小題，每小題5分，共20分。x y 3 0,13 .若x, y滿足約束條件 x y 3 0,則z y 2x的最大值是x 1 0,-3214 .已知 cos 一 一，則 sin 2.1253對(duì).15 .從正方體的6個(gè)面的對(duì)角線中，任取 2條組成1對(duì)，則所成角是60的有16 .如圖，直線l過拋物線y2 4x的焦點(diǎn)F且交拋物線于 A,B兩點(diǎn)，直線l與圓（x 1）2 y2 11721題為必考題，每個(gè)試交于C

7、,D兩點(diǎn)，若2 | AC | |BD |,設(shè)直線l的斜率為k，則k2 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第題考生都必須作答。第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共 60分。17 . （12 分）b已知數(shù)列an和bn滿足 an bn 1 Hn 1 bn 2an Hn 1 0,且 a1 1,。 1,設(shè) Cn 舁.求數(shù)列Cn的通項(xiàng)公式;（2）若an是等比數(shù)列，且a2 3,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和&.18 . （12分）為了提高生產(chǎn)效益，某企業(yè)引進(jìn)了一批新的生產(chǎn)設(shè)備，為了解設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量情況，分別從新、舊設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品中，各隨機(jī)抽取100件產(chǎn)

8、品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，所有產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值均在（15,45以內(nèi)，規(guī)定質(zhì)量指標(biāo)值大于 30的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，質(zhì)量指標(biāo)值在（15,30的產(chǎn)品為合格品，舊設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值如頻率分布直方圖所示，新設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值 如頻數(shù)分布表所示.(1)請(qǐng)分別估計(jì)新、舊設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率.(2)優(yōu)質(zhì)品率是衡量一臺(tái)設(shè)備性能高低的重要指標(biāo)，優(yōu)質(zhì)品率越高說明設(shè)備的性能越高，根據(jù)已知圖表數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表(單位：件)，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為產(chǎn)品質(zhì)量高與新設(shè)備有關(guān)非優(yōu)質(zhì)品優(yōu)質(zhì)品合計(jì)新設(shè)備產(chǎn)品舊設(shè)備產(chǎn)品合計(jì)附:P(K2 k0)0. 150. 100. 050.0250. 0100. 005k2. 0722

9、. 7063. 8415. 0246. 6357. 8792K2b c d.n(ad bc)，苴中n(a b)(c d)(a c)(b d)”(3)用頻率代替概率，從新設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，其中優(yōu)質(zhì)品 數(shù)為X件，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.19.(12 分)如圖，四棱錐P ABCD中，四邊形ABCD是菱形，PA PC ,BD PA,E是BC上一點(diǎn)，且 EC 3BE,設(shè) AC BD O.證明：PO 平面ABCD;20. (12 分)22已知橢圓C :與 自 1(a b 0)的焦點(diǎn)為Fl ( c,0) ,F2(c,0) ,P是橢圓C上一點(diǎn).若橢圓 a2b222C的離心率為且PFi F1F

10、2,PF1F的面積為 .22(1)求橢圓C的方程；(2)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量 m (1,1),過點(diǎn)(2,0)的直線l與橢圓C交于M , N兩點(diǎn)，若點(diǎn)Q(x,y)滿足OQ m 1, OM ON OQ,求的最小值.21 . (12 分)已知函數(shù)f(x) aex ex a(a e),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)若函數(shù)f(x)的極小值為1,求a的值；(2)若a 1 證明：當(dāng) x 0時(shí)，f(x) 2x xln(x 1) 0成立.(二)選考題：共 10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì) 分。22 .選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)22在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線

11、C的方程為x- y 1,以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸124建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為2 cos a(a 0).4(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)已知P是曲線C上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) P作直線l1交直線l于點(diǎn)A,且直線l1與直線l的夾角為45 ,若| PA|的最大值為6 ,求a的值.23.選彳4-5:不等式選講(10分)已知函數(shù) f(x) |x 1 | |x 3|.(1)解不等式：f (x) 6;22,八 249(2)右a,b,c均為正數(shù)，且 a b c f(x)min,證明：(a 1) (b 1) (c 1)3數(shù)學(xué)（理科）參考答案評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：1 .本解答給出了一種或幾種解法供參考，如

12、果考生的解法跟本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則2 .對(duì)計(jì)算，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分.3 .解答右端所注的分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)4.只給整數(shù)分?jǐn)?shù), 、選擇題選擇題不給中間分1. C2.7. D8.二、填空題3.9.4. B10. C5. D 6. B11. B 12. D13. 614.72515.4816. 12,2 16三、解答題17.解：（1）由an bnan1bn2a

13、nan1° /寸 anbn1an1bn2an.an 1 -bn 1OHbnan2.bna , g 1On2 .n2分Cn是以2為公差的等差數(shù)列.一又C11,Cn 1 (n1) 2 2n（2）設(shè)an的公比為q,則qa2ai3.n 1 on 1ana1q3由(1)知 Cn2n1，又 Cnbnan,bn (2n 1)an(2n 1)3n 1Sn13°3132(2n 1) 3n1,3Sn 1313233(2n 1) 3n，-得:2Sn31322332 3n 1 (2n 1) 3n-一 10分3n 1 3(2n 1) 3n.2 (2n 2) 3n,Sn (n 1) 3n 1.12分1

14、8 .解：、一.一一、.30 25 15(1)估計(jì)新設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為：100% 70%1分100估計(jì)舊設(shè)備所生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為：5 (0.06 0.03 0.02) 100% 55%2分(2)非優(yōu)質(zhì)品優(yōu)質(zhì)品合計(jì)新設(shè)備產(chǎn)品3070100舊設(shè)備產(chǎn)品4555100合計(jì)751252002 200 (30 55 45 70)2由列聯(lián)表可行， K 75 125 100 1004.8 3.841，有95%的把握認(rèn)為產(chǎn)品質(zhì)量高與新設(shè)備有關(guān). .X的所有可能取值為0, 1, 2, 3.由(1)知新設(shè)備所生產(chǎn)的優(yōu)質(zhì)品率為0.7P(X 0) C0(1 0.7)3 0.700.027P(X 1) C3

15、 (1 0.7)2 0.71 0.189P(X 2)C2 (1 0.7)1 0.72 0.441_ 312P(X 3) C3 (1 0.7)0.70.343 10分X的分布列為X0123P0.0270.1890.4410.34311分X的數(shù)學(xué)期望為E(X) 0 0.02710.1892 0.4413 0.343 2.1.12 分19 . (1)證明：四邊形ABCD是菱形，。是 AC 的中點(diǎn)，BD AC.1 分BD PA, PA AC A, BD 平面 PAC,PO 平面PAC,BD PO 2分PA PC,。是AC的中點(diǎn)，POACPO(2)解:AC.平面 ABCD , BD 平面 ABCD, A

16、C BD O , 平面ABCD由(1)知 PO 平面 ABCD , BD AC ,OA,OB,OP兩兩互相垂直,以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A,OB,OP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.四邊形ABCD是菱形,BAD 60ABD和BCD都是等邊三角形,OA OC 2 5P(0,0,a), A(2<3,0,0)C( 2.3,0,0)PA(2.3,0, a) ,PE.3 3三,3EC3.3PAPE, PA PE2.3,0, a.3 3二,3a2 0.3,PA(2、.3,Q ,3), PE9332 ,2,3設(shè)平面PAE的法向量為m(xi, yi,zi),PA m2.3,0, 3x1,

17、y1, z12 3x1. 3z1 0,則 -PE m13,2,"33c CK,y1z1x1y1 . 3z1 022彳 5 31,y1下,5,3 , m1,-3,2設(shè)平面PEC的法向量為nM, y, Z2)設(shè)四邊形ABCD的邊長(zhǎng)為4, PO a,EC n則PE n3.3X2,32X2令 X21,得 y2<3 , Z2 2n ( 1, .3,2).10分設(shè)二面角A PE C的平面角為 結(jié)合圖象可知，cos1,5:,21,、3,23C的余弦值為,155面角A PE15虧.12分20.解：(1)依題意可知2 ca22,2a ba2b2a22b2PF1 F1F2,故設(shè)P( c, y0),

18、代入橢圓方程得y0PF1F2的面積-|ff2 11y0| c b - 2a 22 分22a 2b ,聯(lián)立 c !,解得 b 1, a v 2b V2. a 2222c a b ,2X 2橢圓C的方程為：-2 y 1.4分(2)由題意可知直線l的斜率顯然存在，故設(shè)直線l的方程為：y k(x 2),y k(x 2),聯(lián)立x22 消去y并整理得(1 2k2)x2 8k2x 8k2 20.y y2 1,(8k2)2 4(1 2k2)(8k 2)設(shè) M (xi,yi), N(x2, y2),OM ON當(dāng)k 0時(shí),0時(shí)，xyy2y OQ m 1,8k2(1 2k2)0.x1x2OQ, (xX2, yi0,

19、x1x21 一k(x1X2)1.4k(1 2k2)8k2 ,x1 x21 2k丫2)(x, y)8k2(1 2k2) ,4k1,22(k 1)2 4(k 1) 34 2；當(dāng)且僅當(dāng)k所以 2解：(1)函數(shù)2、.6.4.6 ，一詈1時(shí)取等號(hào),min 2f (x)的定義域?yàn)?當(dāng)a 0時(shí)，f (x) 0對(duì)于x (f(x)在()單調(diào)遞減.當(dāng)0 a e時(shí),當(dāng) x ln e, a4k(1 2k2)8k2 4k""2(1 2k )4 1 2(k 1)8k2 21 2k2 -k 11 2k213 4k 1r6且k-2- 1滿足 0,6.),f (X)恒成立,f(x)在(令 f (x) 0,得

20、 x lne a時(shí)，f (x) 0,當(dāng) xeef (x)在 ，ln 一單調(diào)遞減，在 ln ,11分,12分xae e,-一)上無極值.e , 一,ln-時(shí)，f (x) 0. a單調(diào)遞增,.2分當(dāng)x ln e時(shí)，f (x)取得極小值 13分ae lne ef In - ae a eln - a 1,即 elna a 1 0.4 分aa“e e x令m(x) eln x x 1(0 x e),則 m(x) 1 .x x0 x e, m (x) 0 , m(x)在(0,e)上單調(diào)遞增.又 m(1) 0, a 1(2) a 1, f (x)ex ex 1f (x) 2x x ln(x 1) 0xe (

21、2 e)x 1 xln(x 1) 0令 g(x) ex x2 (2 e)x 1(x0),g (x) ex 2x 2 e.令 h(x)xxe 2x 2 e(x 0), h (x) e 2.令 h (x) 0 ,得 x ln 2當(dāng) x (ln 2,)時(shí)，h(x) 0；當(dāng) x 0,ln2)時(shí),h (x) 0.h(x)在0, ln2)單調(diào)遞減，在(ln2,)單調(diào)遞增.當(dāng)x ln2時(shí),h(x)取得極小值 8分又 h(0) 3 e 0,h(1) 0,存在 x0 (0,ln 2)使得 h(x0) 0.g(x)在0,x0)單調(diào)遞增，在(x0,1)單調(diào)遞減，在1,)單調(diào)遞增.又 g(0)g(1)0, g(x)min 0.當(dāng) x 0時(shí)，exx2 (2 e)x 1 0,即 ex(2 e)x1x29 分人1.，一令 q(x) x ln( x1)(x 0),則 q (x) 1 0對(duì)于x0怛成立，x 1q(x)在0,)上單調(diào)遞增.q(x) q(0) 0, 即當(dāng) x 0時(shí)，x ln(x 1)11 分2當(dāng) x 0時(shí)，x xln(x 1).當(dāng)