《數(shù)學(xué)分析》實(shí)數(shù)完備性七大定理證明與七大定理相互證明

1、實(shí)數(shù)完備性的證明第一部分 七個(gè)定理的證明1. 單調(diào)有界定理區(qū)間套定理證明：已知anan 1 （ n）， an bnbl，由單調(diào)有界定理知an存在極限，設(shè)lim an = r，同理可知bn存在極限，設(shè)lim bn = rn，由 lim ( bnnan ) =0 得 r r =0即r rn,有 anbn，令 n，有 anrr bn ,n ,有 anrbn。下面證明唯性。用反證法。如果不然。則 rir2 ,同時(shí)對(duì)任意a a , ari , a d對(duì)任意b 有b rib r2，不妨設(shè)rir2 ,令 r' ri r2 顯然 ri r' r22rA , r ' B ,這與A | B

2、是R的一個(gè)分劃矛盾。唯-性得證。定理證完。2. 區(qū)間套定理確界定理證明：由數(shù)集A非空，知a A，不妨設(shè)a不是A的上界，另外，知b是A的上界，記ai， bi = a，b，用ai，bi的中點(diǎn)電 蟲(chóng)二等分ai，bi，如果引bi是A的上界，2 2則取a2，b2】=aiai bi ；如果ai bi不是 A的上界，則取a?，2 2b2】=a S , bi ； 用 a2 , b2的中點(diǎn)邑匹二等分a2 , b2】如此繼2 2續(xù)下去，便得區(qū)間套an , bn。其中an不是A的上界，bn是A的上界。由區(qū)間套定理可得，唯一的ran, bn，使lim an = lim bn = r。x A ,n nnnn i由 x

3、bn( n=1，2，)，令 n , x lim bn = rnr 是 A 的上界而 0, 由 lim a n = r 知n0,知 N，當(dāng) n N,有 ra.,從而X A,使r anX,r=supA。同理可證非空有下界數(shù)集有下確界。定理證完3. 確界定理t有限覆蓋定理證明：設(shè)E是閉區(qū)間a , b的一個(gè)覆蓋。定義數(shù)集A=x a|區(qū)間a，x在E中存在有限子覆蓋從區(qū)間的左端點(diǎn)x a開(kāi)始.由于在E中有一個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋a,因此a 及其右側(cè)充分鄰近的點(diǎn)均在 A中.這就保證了數(shù)集A是非空的.從數(shù) 集A的定義可見(jiàn)，若x A,則整個(gè)區(qū)間a，x A.若A無(wú)上界，則b A,那么a，b在E中存在有限子覆蓋.若A有上界，由

4、確界定理可得r,使r=supA。x r，都有 x A。事實(shí)上，(r x) 0, y,使得 y r (r x) x。a， y 在E中存在有限子覆蓋，a， x a， y 在E中存在有限子覆蓋下證b r。用反證法。如果不然，r b，則r a，b。因此，在E 中存在有一開(kāi)區(qū)間覆蓋 E覆蓋 r。a。， bo E，使 a。r th。由上面論證知a。A，也即區(qū)間a，ao在E中存在有限子覆蓋，向這 個(gè)有限子覆蓋再加上開(kāi)區(qū)間 E ，即成為a， b的覆蓋。bo A，與r=supA矛盾。定理證完。4. 用有限覆蓋定理證明聚點(diǎn)定理證明：設(shè) E 為直線上有界無(wú)窮點(diǎn)集，則存在M>o，使Ec M , M中任何點(diǎn)不是E

5、的聚點(diǎn)，則對(duì)每一個(gè)x 一 M , M，必存在相應(yīng)的6。>0, 使得在 U（x， 8。 ）內(nèi)至多含有 E 的有限多個(gè)點(diǎn)。設(shè) H U（x，文）|x 一 M , M）。則 H 是一 M , M的一個(gè)開(kāi)覆蓋。由有限覆蓋定理，H中存在有限個(gè)開(kāi)覆蓋U（x ,，艿。，）（j 一 1, 2, 3。）構(gòu) 成一 M , M的一個(gè)開(kāi)覆蓋，當(dāng)然也覆蓋了 E。由 鄰域U（x,，文，）的原意，在其內(nèi)至多含有E的有限 多個(gè)點(diǎn)x, （j 一 1, 2, 3,）。故E為有限點(diǎn)集，這 與題設(shè)E為無(wú)窮點(diǎn)集相矛盾。故一 M , M中至多 有 E 的一個(gè)聚點(diǎn)。5. 用聚點(diǎn)定理證明致密性定理證明：若數(shù)列 x。 中含有無(wú)限多個(gè)相等的

6、項(xiàng), 則由這些項(xiàng)組成的子列是一個(gè)常數(shù)列,顯然收斂。 若數(shù)列 x。 不含有無(wú)限多個(gè)相等的項(xiàng),則由 聚點(diǎn)定理，點(diǎn)集x。至少有一個(gè)聚點(diǎn)，記為x。，由 聚點(diǎn)的等價(jià)定義從而得到它的各項(xiàng)互不相同，于是x。k）收斂于X。6緊致性定理 柯西收斂定理證明：必要性。已知Xn收斂，即r R , lim Xn=r，即 0 , N , n當(dāng) n N，有 | xn-r|_。2因此，只要nNm N,有1 Xn- Xm| = | Xn-葉卜Xm| Xn-r| + |r-Xm |。充分性。先證Xn有界。對(duì) 1 , N，當(dāng)n N , mN，有 I Xn - Xm|1。取定 n0 =N + 1 ,貝S只要n N ,有| &

7、 -Xn。丨1 ，從而| Xn| = | Xn- Xn° +人。|1 +1 Xn°|,令 M=max( | xj ,1 Xn I , 1+| Xn0| ),則 | Xn| M( n )。下證Xn有極限存在。Xn有界，由緊致性定理可得，Xn的子數(shù)列忑且收斂于r。即 0，K，當(dāng)k K時(shí)，有|仏-r|2另外，Ni，當(dāng) n Ni， m Ni，有 | Xn - xm|2取 N=max（ nK 1 ， Ni ），則只要 n N ,取 ko N ，則1 Xn-r| = | Xn- Xk0 + Xk0 -r| =| Xn- Xk0 | + | Xk0-r|。Hm Xn=r。定理證完。7.柯

8、西收斂定理單調(diào)有界定理證明：設(shè)Xn是單調(diào)上升有上界的實(shí)數(shù)列。用反證法和柯西收斂定理。若Xn不存在極限。則0 0 ,N ,n N，有 Xn-Xn =| Xn- Xn |。依次取N1=1,n1N 1，使 Xn1 -X10 ,N 2 =n1 ,n2 m，使 Xn2 -Xn10 ,N k -'nk 1,nk N k ,使 xnk -Xnk 10。把它們相加，得到Xnk- Xi k 0 G , k G一Xl，有Xnk G，與Xn0有界矛盾，故Xn必有極限。定理證完。第二部分七大定理相互證明n N ,有 rxn Xn r 即 | Xn r |n N ,有 rxn Xn r 即 | Xn r |1.

9、 單調(diào)有界定理T確界定理證明：已知實(shí)數(shù)集A非空。a A，不妨設(shè)a不是A的上界，另外,知b是A的上界，記ai=a ,a1 b12a1b12bi二b，用a b的中點(diǎn)a1 b1b2= 2；如果 2 A，則取32去，便得兩串序列g(shù)ig。其中an A單調(diào)上升有上界a1 b12二等分a1 , b1,如果a1 b12 b2 =b1 B ,則取 a =a1 ,如此繼續(xù)下(例如 b1 ) , bn Bn N ,有 rxn Xn r 即 | Xn r |n N ,有 rxn Xn r 即 | Xn r |b1 a1）。由單調(diào)有界定單調(diào)下降有下界（例如a1 ）并且bn an= 2 （n理，知 r，使艸 an = r

10、。由 nim (bn an ) =0 有nim an + (bn an ) = rbn是A的上界，XA，有 X bn (n=1, 2,令 nxnim bn 二 rr是A的上界。而 0,由nim an = r知0,知 N ,當(dāng) n N ,有r an ,從而XA,使r an X,r=supA。同理可證非空有下界數(shù)集有下確界。定理證完。2. 確界定理t單調(diào)有界定理證明：設(shè)Xn是單調(diào)上升有上界的實(shí)數(shù)列。由確界定理可得,使 r=supXn。n,有 Xnr 并且0,Xn，有Xn rn N ,有 rxn Xn r 即 | Xn r |limxn = r 。單調(diào)下降有下界情況的證明同用實(shí)數(shù)基本定理對(duì)此定理的證

11、明。定 理證完。3. 確界定理t區(qū)間套定理證明：由an 1，bnl務(wù)，bn，知®是單調(diào)上升有上界的實(shí)數(shù)列，5是單調(diào)下降有下界的數(shù)列。且是an的上界，a1是6的下界。設(shè)lnim an = r ， lnim1 >bn=r ，由確界定理對(duì)的證明知n=rr=sup an ， r=inf bn 。 由 lnim （ bn an ） =0 得 r r =0 即 r rsupan =inf bnn,有 anrbn 。唯一性證明同用實(shí)數(shù)基本定理對(duì)區(qū)間套定理的證明（即一 .3）。定理證完。4. 確界定理t有限覆蓋定理證明：設(shè)E是閉區(qū)間a , b的一個(gè)覆蓋。定義數(shù)集A=x a|區(qū)間a, x在E中存

12、在有限子覆蓋從區(qū)間的左端點(diǎn)x a開(kāi)始.由于在E中有一個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋a,因此a 及其右側(cè)充分鄰近的點(diǎn)均在 A中.這就保證了數(shù)集A是非空的從數(shù) 集A的定義可見(jiàn)，若x A,則整個(gè)區(qū)間a , x A.若A無(wú)上界，則b A,那么a, b在E中存在有限子覆蓋.若A有上界，由確界定理可得r,使r=supA。x r，都有 x A。事實(shí)上，(r x) o, y,使得 y r (r x) x。a，y在E中存在有限子覆蓋，a, x a, y在E中存在有限子覆蓋下證b r。用反證法。如果不然，r b,則r a, b。因此，在E 中存在有一開(kāi)區(qū)間覆蓋E覆蓋 r。 ao， b 0 E，使 ao r b)。由上面論證知ao

13、A，也即區(qū)間a，ao在E中存在有限子覆蓋，向這 個(gè)有限子覆蓋再加上開(kāi)區(qū)間E，即成為a，b的覆蓋。bo A，與r=supA矛盾。定理證完。5. 確界定理緊致性定理證明：設(shè)數(shù)列冷是有界數(shù)列。定義數(shù)集 A=x | 冷中大于x的點(diǎn)有 無(wú)窮多個(gè)xn有界 a有上界且非空。由確界定理可得 r,使r=supA。 則 o，有r 不是a的上界。xn中大于r 的項(xiàng)有無(wú)窮多個(gè)。r 是A的上界Xn中大于r的項(xiàng)只有有限個(gè)。在(r,r)中有Xn的無(wú)窮多項(xiàng)，即0，n , n N ,使Xn( r,r)對(duì)1n1 ,使xni( r 1 , r 1 ),即 | xni-r|1取12n2ni1,有| xn2-r|2 ,如此繼續(xù)下去，取

14、i knknk1 ,有| xnk -r|匸，由此得到xn的子數(shù)列xnk,當(dāng)k時(shí)，Xnkr xn 存在收斂子數(shù)列。定理證完6. 區(qū)間套定理 單調(diào)有界定理證明：設(shè)Xn是單調(diào)上升有上界的實(shí)數(shù)列。b是它的一個(gè)上界，令 "=X1-1，二等分內(nèi),6，其中必有一區(qū)間含xn的無(wú)窮多項(xiàng)，記 其為比，"2，二等分比，b2，如此繼續(xù)下去，便得區(qū)間套 an ,叮，滿足門，% , bn含Xn的無(wú)窮多項(xiàng)。由區(qū)間套定理可得，唯一的血'"使nim an =nim bn= r。則對(duì) 0， n, n N , 有 ra n b n r 。取 n0 N , ano , bn°含Xn的無(wú)

15、窮多項(xiàng)，則M 使 Xm ano , 。當(dāng)m M時(shí)，有Xm an0, bno。如果不然， mi M，有bn0 Xm1，則在 an0 , bn0中最多只有Xn的前m1項(xiàng)，與an0, bn0的構(gòu)造矛盾。從而當(dāng) m M 時(shí)，有 rano Xm bno r ，即 | Xm-r|。 ！im Xm =r，即n'm Xn =r。定理證完。7. 區(qū)間套定理 有限覆蓋定理證明：用反證法。設(shè)E是閉區(qū)間a，b的一個(gè)覆蓋。設(shè)a，b沒(méi)有 E 的有限子覆蓋，記 a，b= a1， b1 ，二等分 a1， b1 ，其中必有 一區(qū)間沒(méi)有E的有限子覆蓋，記其為吐，5，二等分吐，b2, 如此繼續(xù)下去，便得區(qū)間套 an , b

16、n，滿足n , an , 沒(méi)有E的r a ,b 有限子覆蓋。 由 區(qū) 間套定理可得， 唯一的 r n 1an,bn ， 使 lim a lim b nn nnI O由E是a, b的覆蓋，知（，）E,使 r根據(jù)極限不等式，Ni，當(dāng)n Ni，有 an ,N 2 ，當(dāng) n N 2，有 bn。取 N=max(Ni, N 2)，當(dāng) n n，有 an ,bn。又an r bn( n),當(dāng)n N，有an , bn(,)，與an , bn 沒(méi)有£的有限子覆蓋 矛盾。故a， b 在E中存在有限子覆蓋。定理證完。8. 區(qū)間套定理緊致性定理證明：已知a，b，使a Xn b。設(shè)a，b沒(méi)有E的有限子覆蓋，記a

17、，b= ai，S，二等分ai，6，其中必有一區(qū)間含xn的無(wú)窮多 項(xiàng)，記其為a2 ,山，二等分a2 ,山,如此繼續(xù)下去，便得 區(qū)間套an , S，滿足門，弘,bn 含Xn的無(wú)窮多項(xiàng)。由區(qū)間套定 理可得，唯一的n1an，bn，使 nim an =nim bn 二 r。因此 ni，使 r 1 ani r bni r 1。1丄這時(shí)存在 Xni ani , %，歸納地，k 1 , nk，使r k ank r bnk r k 由ank,bnk含Xn的無(wú)窮多項(xiàng)，知 Xnk ank,bnk , nk nk 1，由 ank Xnn bnk令k , nlim Xnk r。Xn存在收斂子數(shù)列。定理證完9. 有限覆蓋

18、定理區(qū)間套定理an bn證明：用反證法。如果不然，設(shè)存在 an , S，有n 1 ，。記開(kāi)區(qū)間（"，"）=（ai 1，乩）,（n'，n'）二（bn， bl 1 ）,即（n , n ） （ n ' , n'）=（1，bl 1） an bn 。這日寸 E= （ n， n ） （ n ' , n '）n=1, 2,構(gòu)成了 印,b1的覆蓋。由有限覆蓋定理，存在N,N使得m（ n，n）（ "'，n'）務(wù),6，這就推出，當(dāng)n N時(shí)，6an bn 是空集，這是不可能的。矛盾，故有n 1 ，即存在r使ran, bnn

19、 1 。唯一性證明同用實(shí)數(shù)基本定理對(duì)區(qū)間套定理的證明（即一 .3 ）。定理證完。10. 有限覆蓋定理緊致性定理證明：設(shè)n ,有a Xn b。先證X。 a, b , o，,（ X0, X。）中必含有Xn的無(wú)限項(xiàng)。如果不然。X a, b , X 0，使（X X, X X）只含Xn的有限項(xiàng)。記E=（ X X, X X）| X a , b , X由上產(chǎn)生，是a , b的一個(gè)覆由有限覆蓋定理，知E中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間（X1(X22 , X22)XnnXnn、5/ >xXi均只含Xn的有限項(xiàng)。與n，有b矛盾。結(jié)論成立。特別地，取1 1(X。- k ,x° + k ),而且 nk°k 1，則Xnk為Xn的子數(shù)列且收斂于Xo。定理證完11.緊致性定理單調(diào)有界定