二空間兩條直線

1、二空間兩條直線§ 1 4兩條直線的位置關(guān)系（略）§ 1 5 平行直線一、素質(zhì)教育目標(biāo)（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)1公理4，即平行公理2等角定理及推論（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)1利用聯(lián)想的方法，掌握并應(yīng)用由平面內(nèi)引伸到空間中的平行公理2充分利用構(gòu)造的方法證明等角定理，為下一節(jié)兩條異面直線所成的角的定義提供了可能性與唯一性3通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到在平面幾何中成立的結(jié)論或定理等，在用于非平面圖形時(shí)，須先證明二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法1教學(xué)重點(diǎn)：讓學(xué)生掌握平行公理及其應(yīng)用2教學(xué)難點(diǎn)：等角定理證明的掌握及其應(yīng)用3教學(xué)疑點(diǎn)：正確理解等角定理中命題的條件：兩個(gè)角的兩邊分別平行且這兩個(gè)角的方向相

2、同三、課時(shí)安排1 課時(shí)四、教與學(xué)的過程設(shè)計(jì)（一）復(fù)習(xí)兩條直線的位置關(guān)系（幻燈顯示）師：空間中兩條直線的位置關(guān)系有哪幾種?生：三種：相交、平行、異面.異面直線是指不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線.相 交直線和平行直線也稱為共面直線.師：異面直線的畫法常用的有哪幾種?生：三種.如圖1 38, a與b都是異面直線.師：如何判定兩條直線是異面直線?生：（1）間接證法：根據(jù)定義，一般用反證法.(2)（2）直接證法：根據(jù)例題結(jié)論：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線,和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.如圖1-39. 6gQ,底a, ac a, Aea,則點(diǎn)AB為異面直緣（二）平行公理師：在平面幾彳S中，如圖 1

3、 40,若all b, cl/ b,則a與c平行嗎?圖 1-40圖 1-41生：平行.師：也就是說，在平面中，若兩條直線a、c都和第三條直線b平行，則a/c.這 個(gè)命題在空間中是否成立呢？師：實(shí)際上，在空間中，若 a / b, c / b,則a/c也成立.我們把這個(gè)結(jié)論作 為一個(gè)公理，不必證明，可直接應(yīng)用.平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.如圖141,三棱鏡的三條棱，若AA' / BB' ,CC /BB'，則有AA' / CC .下面請(qǐng)同學(xué)們完成下列的例題，鞏固應(yīng)用平行公理.例已知四邊形ABC此空間四邊形（四個(gè)頂點(diǎn)不共面的圖 1-41四邊形），E、

4、H分別是邊AB AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊CB CD上的點(diǎn)，且字=空=|.求證.四邊形EFGH是梯形.CB CD 3師分析：要證明四邊形 EFGK梯形，即要證明四邊形 EFGH勺一組對(duì)邊平行， 另一組對(duì)邊不平行；或證明一組對(duì)邊平行且不相等.具體用哪一種方法，我們來 分析一下題意：E、H分別是邊AB AD的中點(diǎn),由平面幾何申的三角形中位線定理，得：EH"BD且EH=1又由籌=黑=1，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得；FGIBD.2且FG=由上面這些條件即可證明梯形EFGH.*S 1-42證明：如圖142,連結(jié)BD. EH是4ABD的中位線，EH= ?BD.a ir CF CG 2又在

5、Ab cd 中 j = 一， CB CD 3afgUd, fg=|bd.根據(jù)公理4, EH/ FG又 FG> EH 四邊形EFGH梯形.（三）等角定理師：平行公理不僅是今后論證平行問題的主要依據(jù)，也是證明等角定理的基礎(chǔ).等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩 個(gè)角相等.已知：/ BACffi/B' A C'的邊AB/ A B' , AC/ A C',并且方向相同.求證：/ BAC= /B' A C'.師分析：在平面內(nèi)，這個(gè)結(jié)論我們已經(jīng)證明成立了.在空間中，這個(gè)結(jié)論是否成立，還需通過證明.要證明兩個(gè)角相等，

6、 常用的方法有：證明兩個(gè)三角形全等或相似，則對(duì)應(yīng)角相等；證明兩直線平行，則同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等；證明平行四邊形，則它的對(duì)角相等，等等.根 據(jù)題意，我們只能證明兩個(gè)三角形全等或相似，為此需要構(gòu)造兩個(gè)三角形，這也是本題證明的關(guān)鍵所在.證明：又于/ BACffi/B' A C'都在同一平面內(nèi)的情況，在平面幾何中已經(jīng) 證明.下面我們證明兩個(gè)角不在同一平面內(nèi)的情況.如圖 143,在 AB A B' , AG A C'上分別取 AD= A D'、AE= A E', 連結(jié) AA、DD、EE' , DE D E'. . AB/ A B' ,

7、 AD=A' D', .AA' DD是平行四邊形.二 AA i.同理：AA' iEE?.根據(jù)公理4,得：DD / EE'.又可得：DD =EE' 四邊形EE' D' D是平行四邊形. .ED= E' D',可彳#: AD圖D E'./ BAC= / B' A C'.師：若把上面兩個(gè)角的兩邊反向延長，就得出下面的推論.推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等.從上面定理的證明可以知道：平面里的定義、定理等，對(duì)于非平面圖形，需要經(jīng)過證 明才能應(yīng)用.下

8、面請(qǐng)同學(xué)們完成練習(xí).（四）練習(xí)（P. 14練習(xí)1、2.）1 .把一張長方形的紙對(duì)折兩次，打開后如圖 1 44那樣，說明為什么這些 折痕是互相平行的？MAP圖 1-44答：把一張長方形的紙對(duì)折兩次，打開后得4個(gè)全等的矩形，每個(gè)矩形的豎邊是互相平行的，再應(yīng)用平行公理，可得知它們的折痕是互相平行的.2.如圖L45, AA，BB'，CCy 不共面，且AA JCC, &AA J 求證：AB登& B' C'.證明：£AA; , CC7 2AA #CC .四邊形BB' C' C是平行四邊形.BO B' C'.同理可證：AC=

9、A C' , AB= A B'. .AB赍& B' C .（五）總結(jié)這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了平行公理和等角定理及其推論.平行公理是論證平行問題的主要根 據(jù)，也是確定平面的基礎(chǔ). 等角定理給下一節(jié)兩條異面直線所成角的定義奠定了基礎(chǔ).這節(jié)課我們還明確了在平面幾何中成立的結(jié)論或定理等，在用于非平面圖形時(shí)，須先證后用.五、作業(yè)教材 P. 17 習(xí)題二 4、5、6、7、8.六、板書設(shè)計(jì)一、平行公理平行于同一條直線的兩條直線互相平行.、等角定理如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，那 么這兩個(gè)角相等.推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，

10、那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等.例：已知：四邊形ABC電空間四邊形（四個(gè)頂點(diǎn)不共面的四邊形），E、H分別是邊AB AD的中點(diǎn)，F(xiàn)1、G分別是邊CB CD上的點(diǎn)，口 CF CG 2且=-CB CD 3求證：四邊形EFGK梯形.等角定理的證明：已知：/ BACffi/B' A C'的邊AB/ A B' , AC/ A C',并且方向相同.求證：/ BACW B' A C練習(xí)2已加 AAL BB CC'不共面，且CC，求證： ABCiAAZ B' C'.七、參考資料立體幾何全一冊(cè)教學(xué)參考書三點(diǎn)一測(cè)叢書高一數(shù)學(xué)§1.6兩

11、條異面直線所成的角-、素質(zhì)教育目標(biāo)（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)1 .兩異面直線所成角的定義及兩異面直線互相垂直的概念.2兩異面直線的公垂線和距離的概念及兩異面直線所成角及距離的求法（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)1 利用轉(zhuǎn)化的思想，化歸的方法掌握兩異面直線所成角的定義及取值范圍，并體現(xiàn)了定義的合理性2利用類比的方法掌握兩異面直線的公垂線和距離等概念，應(yīng)用在證題中體現(xiàn)了嚴(yán)格的邏輯思維，并會(huì)求兩條異面直線所成角與距離（三）德育滲透點(diǎn)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，以及有根有據(jù)、實(shí)事求是等嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度和品質(zhì)二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法1教學(xué)重點(diǎn)：兩異面直線所成角的定義；兩異面直線的公垂線及距離的概念；兩異面直線所成角和距

12、離的求法2教學(xué)難點(diǎn)：兩異面直線所成角及距離的求法3教學(xué)疑點(diǎn)：因?yàn)閮蓷l異面直線既不相交，但又有所成的角，這對(duì)于初學(xué)立體幾何的學(xué)生來說是難以理解的講解時(shí)， 應(yīng)首先使學(xué)生明了學(xué)習(xí)異面直線所成角的概念的必要性三、課時(shí)安排1 課時(shí)四、教與學(xué)的過程設(shè)計(jì)（一）復(fù)習(xí)提問引入課題師：上新課前，我們先來回憶：平面內(nèi)兩條相交直線一般通過什么來反映它們之間的相互位置關(guān)系？生：通過它們的夾角.如圖 146, a、b的位置關(guān)系與a'、b'的位置關(guān)系是 不一樣的，a、b的夾角比a'、b'的夾角來的小.師：那么兩條異面直線是否也能用它們所成的角來表示它們之間相互位置的不同狀況 例如要表示大橋上

13、火車行駛方向與橋下輪船航行方向間的關(guān)系，就要用到兩條異面直線所成角的概念（二）異面直線所成的角147,異面直師：怎么定義兩條異面直線所成的角呢？能否轉(zhuǎn)化為用共面直線所成的角來表示呢?生：可以把異面直線所成角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩直線所成角來表示.如圖線a、b,在空間中任取一點(diǎn) Q過點(diǎn)O分別引a' H a, b' / b,則a' , b'所 成的銳角（或直角）叫做兩條異面直線所成的角.師：針對(duì)這個(gè)定義，我們來思考兩個(gè)問題.問題1:這樣定義兩條異而直線所成的角，是否合理？對(duì)空間中的任一點(diǎn)O有無限制條件？圖 1-48答：在這個(gè)定義中，空間中的一點(diǎn)是任意取的. 若在空間中，再取

14、一點(diǎn)O',過點(diǎn)O 作a / a, b / b,根據(jù)等角定理，a與b所成的銳角（或直角）和a'與b' 所成的銳角（或直角）相等.即過空間任意一點(diǎn)引兩條直線分別平行于兩條異面 直線，它們所成的銳角（或直角）都是相等的，值是唯一的、確定的，而與所取 的點(diǎn)位置無關(guān)，這表明這樣定義兩條異面直線所成角的合理性.注意：有時(shí)，為 了方便，可將點(diǎn)。取在a或b上.問題2:這個(gè)定義與平面內(nèi)兩相交直線所成角是否有矛盾?答：沒有矛盾.當(dāng)a、b相交時(shí)，此定義仍適用，表明此定義與平面內(nèi)兩相交 直線所成角的概念沒有矛盾，是相交直線所成角概念的推廣.師：在定義中，兩條異面直線所成角的范圍是（0°

15、; , 90° ,若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直（出示模型：正方體）.例如, 正方體上的任一條棱和不平行于它的八條棱都是相互垂直的，其中有的和這條棱相交，有的和這條棱異面.（三）兩條異面直線的距離圖 1-49師：（出示模型）觀察*II型，思考問題：a與b, a'與b所成角相等，但是否就表示它們之間的相互位置也一樣呢？生：不是.它們之間的遠(yuǎn)近距離不一樣，從而得到兩條異面直線的相互位置除了用它 們所成的角表示，還要用它們之間的距離表示.師：那么如何表示兩條異面直線之間的距離呢？我們來回憶在平面幾何中，兩條平行 線間的位置關(guān)系是用什么來表示的？生：用兩

16、平行線間的距離來表示.師：對(duì).如圖150,要知道它們的距離，先要定義它們的公垂線，如圖 1 50： a II b, a' / b' , c±a, c' ±a' , a、b 與 a'、b'的公垂線分別為 c、 c',且線段AB A B'的長度分別是a、b與a'、b'之間的距離.| CB5-圖 1-50對(duì)兩條異面直線的距離，我們可以應(yīng)用類似的方法先定義它們的公垂線.定義：和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線.師：根據(jù)定義，思考問題.問題1：和兩條異面直線都垂直的直線有多少條？答：無

17、數(shù)條.因?yàn)閮蓷l異面直線互相垂直時(shí)，它們不一定相交，所以公垂線的定義要 注意“相交”的含義.圖 1-51問題2:兩條異面直線的公垂線有幾條？答：有且只有一條(出示正方體骨架模型)，能和 AA、B' C'都垂直相交的只 有A' B' 一條；能和AB與面A，C內(nèi)過點(diǎn)A的直線都垂直相交的直線只有一 條 AA'.師：有了兩條異面直線公垂線的概念，我們就可以定義兩條異面生成的距離.兩條異面直線定義：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做 的距離.如圖152中的線段AB的長度就是異面直線a、b間的距離.卜面，我們來完成練習(xí)和例題.(四)練習(xí)例設(shè)圖1

18、53中的正方體的棱長為a,(1)圖中哪些棱所在的直線與直線 BA' 成異面直線？(2)求直線BA'和CC所成的角的大小.(3)求異面直線BC和AA'的距離.解：(l ) ; A平面BC ,而點(diǎn)B,直線CC都在平面BC，直線BA'與CC是異面直線.同理，直線C' D'、D' D DC AD B' C'都和直線 BA 成異面直線.圖 1-53（2）CC / BB',.BA'和BB'所成的銳角就是BA'和CC所成的角.二/A' BB' =45° ,，BA'和CC所成白角是45° . v AB± AA , ABA AA' =A,又 AB，BC ABA BC=B，AB是BC和AA'的公垂線段.AB=a. .BC和AA'的距離是a.說明：本題是判定異面直線，求異面直線所成角與距離的綜合題，解題時(shí)要注意書寫 規(guī)范.【練習(xí)】（P. 16 練習(xí) 1、3.）1. （