高中數(shù)學(xué)第八章三角恒等變換8.2.2兩角和與差的正弦、正切第1課時(shí)兩角和與差的正弦教案新人教B版

1、第1課時(shí) 兩角和與差的正弦(教師獨(dú)具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：1.能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦公式 的正弦公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換.教學(xué)重點(diǎn)：兩角和與差的正弦公式的推導(dǎo)過(guò)程及運(yùn)用.教學(xué)難點(diǎn)：兩角和與差的正弦公式的靈活運(yùn)用I核心概念掌握I【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】.2.能運(yùn)用兩角和與差知識(shí)點(diǎn)一兩角和與差的正弦公式S” + e ： sin( a + 3 )=巴 sin a cos 3 + cos a sin 3 ；S” e ： sin( a 3 )=且 sin a cos 3 cos a sin 3 .知識(shí)點(diǎn)二有關(guān)點(diǎn)(向量)的一組旋轉(zhuǎn)公式已知點(diǎn)P(x, y),與原點(diǎn)的距離保持不變，繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)0 角到點(diǎn)

2、P (x , y),x = EEL xcos 0 ysin 0 ,則Jy =g2xsin 0 + ycos 0 .知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)y= asin x+ bcosx的最值和周期_.22a函數(shù) y= asin x+bcosx 可化為 y= .a + bsin( x+ 0 )的形式，其中 cos 0 = .2-2,bsin 0 = P2 , 22,取大值是口03 x/a + b ,取小值是口04 (a + b ,周期是C5 2 7t.7ab【新知拓展】1 .公式C” B與S” B的聯(lián)系四個(gè)公式 C士 B, S” 士 B雖然形式不同、結(jié)構(gòu)不同，但它們的本質(zhì)是相同的，其內(nèi)在聯(lián)系為以一 3換3cos(民3 )

3、 cos( a + B )以方(口+m換口+0以一 3換3sin( a + 3 )sin( a - 3 ),這樣我們只要牢固掌握“中心”公式 cos( a 3)的由來(lái)及表達(dá)方式，也就掌握了其他三個(gè)公式.2 .注意公式的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)規(guī)律(1)對(duì)于公式Clb, C + B,可記為“同名相乘，符號(hào)反”.(2)對(duì)于公式Slb, Sa + B,可記為“異名相乘，符號(hào)同”.3 .兩角和與差的正弦公式中a , 3的特征a , 3可以是單個(gè)角，也可以是兩個(gè)角的和或差，在運(yùn)用公式時(shí)常將兩角的和或差視為一個(gè)整體.4 .應(yīng)用兩角和與差的正弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差，正用公式直接求值.

4、(2)在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造兩角和差的正弦公式的結(jié)構(gòu)形式，然后逆用 公式求值.5 .求形如asin a + bcos a的最值公式公式 asin a + bcos a =42+ b2sin( a + 4 )(或 asin a + bcos a =a2+ b2cos( a () 將形如asin a+bcosa(a, b不同時(shí)為零)的三角函數(shù)式收縮為一個(gè)角的一種三角函數(shù)式.6 .三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值的注意點(diǎn)在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值時(shí)，要注意“三看”，即：(1)看角.把角盡量向特殊角或可計(jì)算的角轉(zhuǎn)化，如果條件中的角不是單角. 要把它看作一個(gè)整體，用它表達(dá)目標(biāo)中的角；(2)看名稱(chēng).把 一道題中出現(xiàn)

5、的三角函數(shù)名稱(chēng)盡量化成同一名稱(chēng)或相近的名稱(chēng)，例如把所有的切都轉(zhuǎn)化為相 應(yīng)的弦；(3)看式子.看式子是否滿(mǎn)足三角函數(shù)的公式，如果滿(mǎn)足直接運(yùn)用，如果不滿(mǎn)足，用 誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化一下角或轉(zhuǎn)換一下名稱(chēng)，然后再運(yùn)用.1 .判一判(正確的打“，”，錯(cuò)誤的打“x”)(1)sin( a + 3 )= sin a +sin 3 一定不成立.()(2)對(duì)任意實(shí)數(shù) a , 3 , sin( a - 3 ) = sin a cos 3 cos a sin 3 都成立.(3)sin54 cos24 - sin36 sin24 = sin30 .()答案 (1) X (2) V (3) V2 .做一做(1)sin47 cos

6、43 +cos47 sin43 等于 ()A. 0B. 11C. 1D-2(2)已知 0 為銳角，且 sin 0 =3,則 sin( 0 +45 )=()5A.7 .210B.ZJ10C.,210D.二10(3)函數(shù)f(x) = 2sin xcosx的最大值為 答案(1)B(2)A(3) 5核心素養(yǎng)形成題型一給角求值例1計(jì)算：(1)cos285 cos15 - sin255 sin15(2)sin7 cos37 - sin83 cos307 ;(3)sin( x + 60 )+2sin( x60 ) - 3cos(120 x).解(1)原式=cos(270 +15 )cos15 - sin(2

7、70 -15 )sin15 = sin15 cos15 +cos15 sin15 = sin(15 +15 ). o 1=sin30 = 2(2)原式=sin7 cos37 - cos7 cos(270 +37 )= sin7 cos37 cos7 sin37 = sin(7 37 )1=sin( 30 ) = 3(3) 原式 =sin xcos60+ cosxsin60 + 2sin xcos60 2cosxsin60cos120 cos x ;Z3sin120 sin x=3sin xcos60 cosxsin60 + /3cos60 cosx 木sin60 sin x=?sin x史co

8、sx+史cosxgsin x= 0.2222金版點(diǎn)睛解決給角求值問(wèn)題的策略解決此類(lèi)問(wèn)題一般是先用誘導(dǎo)公式把角化小，化切為弦，統(tǒng)一函數(shù)名稱(chēng)，然后觀(guān)察角的 關(guān)系以及式子的結(jié)構(gòu)特征，選擇合適的公式進(jìn)行求值.sin47 sin17 cos30跟蹤訓(xùn)練1求值:注意角之間的關(guān)系，特別是與特殊角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.cos17原式=si -1+17-sin17cos17cos30sin30 cos17 +cos30 sin17 sin17 cos30 cos17sin30 cos17cos17= sin30題型二給值求值一12例 2 (1)已知 sin 0 = , 0(2)已知sin -4)需3 兀、i,

9、求 sin。.解(1) ; 0 7t2兀)sin120 =13cos 0 =晨13sin 1 0 + -3-蘆 sin 0兀cos+ cos 0 sin7t312 1=X |-13 226p兀又 sin 0 7.,210 兀cos。一了一.2 一sinsin 0 = sin Ji 0 =sin兀、 兀。一了 cos-+ cos 0二逑x(chóng)旦旦亞=4102 + 1025.金版點(diǎn)睛給式(值)求值的解題策略(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)或多個(gè)時(shí)，“所求角” 一般可以表示為其中兩個(gè)“已知角”的和或差的形式.(2)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)， 此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系,后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角

10、”變成“已知角”.(3)角的拆分方法不唯一，可根據(jù)題目合理選擇拆分方式.0,-f；, 3 e2，兀若 cos 3 = sin( a + 3 )=：,貝U sin a 2 t39的值為()1A. 275B.271 C.323D.27答案 C解析a + 3 ) =d可得 sin 3 =93 ，COS( a + 3 )=羋.所以9(-1?(-筆 x =3.30 , 60 至ij OP, OP的位置,1.52.xi= r cos(a +30 ) = r(cos a cos30 sin a sin30yi=rsin( a +30 ) = r(sin a cos30 + cos a sin30所以點(diǎn)Pi的

11、坐標(biāo)為)=5cos30 2sin30)=2cos30 +5sin305,3一2V3+7sin a = sin( a + 3) 31=6*9題型三利用三角變換研究旋轉(zhuǎn)變換例3已知向量0已(3,4),繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 30。到加 的位置.求點(diǎn)P (x，y) 的坐標(biāo).解設(shè)/ xO鼻 a , | Op=r,則 r = 5, cos a = - = -, sin a =-=r 5r 5 . x = rcos( a +30 ) = r(cos a cos30 sin a sin30 )J31 3J3-4=xcos30 - ysin30 = 3X 一4X 萬(wàn)=_；y = rsin( a +30 ) = r

12、(sin a cos30 + cos a sin30 )31 4 :3+3=4X + 3X 2= -2.，點(diǎn)p的坐標(biāo)為號(hào)，智F ;金版點(diǎn)睛對(duì)于旋轉(zhuǎn)變換要結(jié)合任意角的三角函數(shù)的定義求解.跟蹤訓(xùn)練3已知向量OP= (5,2),繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)求點(diǎn)Pi, P2的坐標(biāo).解 設(shè) Pi(xi, yi) , P2(x2, v2 , | Op = r, / xOP= a ,則 cos a =r, sin a由任意角的三角函數(shù)的定義，得x2= rcos( a 60 ) = r(cos a cos60 + sin a sin60 )=5cos60 + 2sin60,3;y2= rsin( a 60 ) = r(s

13、in a cos60 cos a sin60 )=2cos60 5sin60 =1 5,32 .所以點(diǎn)P2的坐標(biāo)為 2+.3,1-芋.題型四asin a +bcos a ”型函數(shù)的最值問(wèn)題例4 已知RtAACB,兩垂直邊 AC= b, BC= a,斜邊AB= c,周長(zhǎng)為定值l ,求斜邊c 的最小值.解 在 RtAACB, / C= 90 , AC= b, BC= a, AB= c.貝U a= csin A, b= ccos A,1. l = a+ b+ c= c(1 + sin A+ cosA),c= ：7：1 + sin A+ cosA,sin tA+i 六 1，7-G=l 他T)1+ 2s

14、in jA+ 寧+，即當(dāng)sin JA+-4 i= 1, A=4時(shí)，余邊c最小，最小值為l(J2 1).金版點(diǎn)睛輔助角公式及其運(yùn)用(1)應(yīng)用三角函數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用題的最值問(wèn)題，必須先寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式(三角形式)，再求最值.(2)型如f(x) = acosx+ bsin x的函數(shù)均可化為f (x)=寸a2 + b2sin( x+ 0 )( 0為確定數(shù)彳t),或化為f (x) = 1a2 + b2cos( x- 0)( 0為確定數(shù)值)，再利用三角函數(shù)的值域求最值.跟蹤訓(xùn)練4 求函數(shù)f(x) =sin x+43cosx的最值、周期.解 f(x)=sin x+V300sx=22sinx+坐cosx)=2(s

15、in xcos60 + cosxsin60 )=2sin( x + 60 ).f(x)max=2,f(x)min =2,周期T= 2兀.題型五 證明三角恒等式例 5 已知 sin(2 a + 3 ) = 5sin 3 ,求證：2tan( a + 3 ) = 3tan a .證明sin(2 a + 3 ) = 5sin 3 ? sin( a + 3 )+ a = 5sin(a + 3) a ? sin(a+ 3 )cos a + cos( a + 3 )sin a = 5sin( a + 3 )cosa 5cos( a +3 )sina ? 2sin( a+3 )cos a = 3cos( a

16、+ 3 )sin a ? 2tan( a + 3 ) = 3tana .金版點(diǎn)睛證明三角恒等式的常用方法(1)從復(fù)雜的一邊入手，逐步化簡(jiǎn)，證得與另一邊相等；在證明的過(guò)程中，時(shí)刻“盯”著 目標(biāo)，分析其特征，時(shí)刻向著目標(biāo)“奔”；(2)從兩邊入手，證得等式兩邊都等于同一個(gè)式子；(3)把要證的等式進(jìn)行等價(jià)變形；(4)作差法，證明其差為 0.跟蹤訓(xùn)練5求證：Sn 2a + 3-2cos( a + 3)=且.sin asin a證明 sin(2 a + 3 ) 2cos( a + 3 )sin a=sin(a + 3 ) +a 2cos(a+3 )sina=sin(a + 3 )cosa+ cos(a+3

17、)sina 2cos( a + 3 )sin a=sin(a + 3 )cosa cos(a+3)sina=sin(a + 3 ) a = sin3,sin 2a + 3sin 3sin a2cos( a + 3 ) - sin a .隨堂水平達(dá)標(biāo)1 .計(jì)算 sin43 cos13 cos43 sin13 的結(jié)果等于()A.一bVD.答案 A解析 sin43 cos13 cos43 sin13=sin(43-13 ) =sin3012.2. 2cosx，6sin x 等于(A. 2 2cos7t6B.D.答案解析啦cosx msin x= 2啦2cosx sin x)2j2 2cosx 2si

18、n x2/sin %一3.卜面各式中，不正確的是 (A.B. 一兀5兀 cos-127t7t一cos 4 cos-3C.cos7t7t7t行 r cos7cos-+,64D.兀 cos7t7t12=cos cos一答案解析. sin 工=432 A正確;cos 5- = cos127兀7t7tcosA 1= cos1212B 正確；.C 正確；.7t7t7tcos 12= cos3 一 了廣cos 萬(wàn)一c0s 了,D不正確.45, a是第三象限角，則 sin兀 Tt 兀)兀 兀 、/3 兀sin & + - i= sin -cos-3- +cos-a +1=4答案7 210解析由題意，知sin a35, ,sin7t7t7ta + 4- i=