上海市虹口區(qū)2016屆高三數(shù)學三模試卷理(含解析)

1、2016 年上海市虹口區(qū)高考數(shù)學三模試卷(理科)yn+1)的一個變換，我們把它稱為點變換.已知P1(1, 0), P2(X2, y2), P3經過點變換得到的一組無窮點列，設an=y .+ .4 -則滿足不等式一、填空題(本大題滿分 56 分)本大題共 14 題，只要求在答題紙相應題號的空格內直接 填寫結果，每個空格填對得4 分，否則一律得零分1.設集合 M=x| _ 0,3_X2.在 ABC 中，tanA=-42i3.已知復數(shù)z=hr(iN=x|2x 1 ，貝UMA N=貝Vsin2A=為虛數(shù)單位)，表示 z 的共軛復數(shù)，則 z?4.若等比數(shù)列an的公比 q 滿足|q| 22016 的最小正

2、整數(shù) n 的值為3(1 )求 a, b 的值及 f(x)的解析式;(2 )設 g (x)=，若不等式 g (3x) - t?3x 0 在 x 0 , 2上有解，求實數(shù) t 的取值x范圍.21.如圖，在直四棱柱 ABCD- ABQD 中，底面 ABCD 為菱形，AC=4 BD=2,且側棱 AA=3.其 中 O 為AQ 與 BD 的交點.二、選擇題(本大題共 4 題，滿分 20 分)每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的 相應題號上，將所選答案的代號涂黑，選對得5 分，否則一律零分15.關于三個不同平面a,3, 丫與直線 I，下列命題中的假命題是()A.若a丄3，則a內一定存在直線平行于3B.

3、若a與3不垂直，則a內一定不存在直線垂直于3C. 若a丄 丫，3丄Y, a A 3=l，則 I 丄丫D.若a丄3，則a內所有直線垂直于3=3,則實數(shù) a 等于()A- 1 B. 1C. 2D.17. 在銳角厶 ABC 中，B=60 ,A. ( 0, 12) B .-, 12)44丨：；-|=2，則：的取值范圍為(C. (0, 4D. ( 0, 218.在平面直角坐標系中，定義兩點P (X1, y1) 與 Q(X2, y2)之間的直角距離”為: (P, Q) *1已知 P (1,2已知 P, Q用|PQ|表示-X2|+|y1- y2| .現(xiàn)給出2), Q(cos0, sin0) (0 R),則

4、d R三點不共線，則必有d (P,Q) +d(Q, P,Q 兩點之間的距離，則|PQ|警 d( P,Q)；(P, Q)為定值；R) d ( P, R);22 0)在區(qū)間-1, 3上的最大值為 5,最小值為19.已知函數(shù) f( x)=JT9 It.的圖象過點7-：和點 一.-.丄zJ的圖(x)4(1) 求點 B 到平面 DAC 的距離；(2) 在線段 BO 上，是否存在一個點 P,使得直線 AP 與 CD 垂直？若存在，求出線段 BP 的長；若不存在，請說明理由.2 2 2,222設橢圓 C: 土 +務=1(ab0),定義橢圓 C 的“相關圓” E 為：x2+y2_鄉(xiāng)口若 a2b2a2+ b2拋

5、物線 y2=4x 的焦點與橢圓 C 的右焦點重合，且橢圓 C 的短軸長與焦距相等.(1) 求橢圓 C 及其“相關圓” E 的方程；(2) 過“相關圓” E 上任意一點 P 作其切線 I，若 I 與橢圓 C 交于A B兩點，求證：/ AOB為定值(O 為坐標原點)；(3) 在(2)的條件下，求 OAE 面積的取值范圍.23.若數(shù)列 An： ai, a2,，an(n N , n2)滿足 ai=0, |ak+i- ak|=1 ( k=1, 2，n 1),則稱A為 L 數(shù)列.記 S (An) =ai+a2+an.(1 )若A為 L 數(shù)列，且 a5=0，試寫出 S (A)的所有可能值；(2 )若A為 L

6、 數(shù)列，且 an=0，求 S (An)的最大值；(3) 對任意給定的正整數(shù) n (n 2),是否存在 L 數(shù)列 A,使得 S (A) =0?若存在，寫出滿足條件的一個 L 數(shù)列 An；若不存在，請說明理由.52016 年上海市虹口區(qū)高考數(shù)學三模試卷(理科)參考答案與試題解析一、填空題(本大題滿分 56 分)本大題共 14 題，只要求在答題紙相應題號的空格內直接 填寫結果，每個空格填對得4 分，否則一律得零分1+工1.設集合 M=x| 一 0 , N=x|2x 1，貝 U MA N= 0 , 3).3_x-交集及其運算.分別求出 M 與 N 中不等式的解集確定出M 與 N,找出兩集合的交集即可.

7、解：由 M 中不等式變形得：(x 3) (x+1)w0，且 3 x豐0,K xv3，即 M= 1, 3),2x 1=20,即 x 0,c xJc【考點】【分析】【解答】解得：-由 N 中不等式變形得:N=0,+8),則 MnN=0 , 3), 故答案為：0 , 3).22.在 ABC 中，tanA=，貝 U sin2A=4三角函數(shù)中的恒等變換應用.【考點】【分析】由題意得 A 為鈍角，且 sinA=sin2A .【解答】解： ABC 中,3tanA=,434 sinA=, cosA=求55 sin 2A=2s in AcosA= 2i3.已知復數(shù) z=”詁：:;(i 為虛數(shù)單位)，表示 z 復

8、數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.的共軛復數(shù)，則 z? = 1【考點】【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡z,再由【解答】2!2i解：z=TT=(i+V5i)(i-V5i廠42V5+2i V3 , 1 z?=二)2+(*)S故答案為：1 .4.若等比數(shù)列an的公比 q 滿足 |q|v1，且 a2a4=4, a3+a4=3,貝U(a1+a?+aj = 16【考點】等比數(shù)列的通項公式.67【分析】由等比數(shù)列通項公式列出方程組， 求出首項和公比，由此能求出【解答】 解：等比數(shù)列an的公比 q 滿足|q| 1, 且 a2a4=4, a3+a4=3,(3引q二4由|q| 1,解得：燈-,-X2tx則;(a1+a2

9、+an)故答案為：16.8(1-丄)2n=r I.竝TOO丄=16.5.若函數(shù) f (x) = (x - a) |x| (a R)存在反函數(shù)f-1(x)，則 f(1) +f-1(- 4) =- 1【考點】反函數(shù).【分析】根據(jù) f(x)存在反函數(shù) f-1(x)，得出 f (X)是定義域上的單調函數(shù)，求出 a 的值 以及 f ( x)的解析式，即可求出 f (1) +f-1(- 4)的值.【解答】解：T函數(shù) f (x) = (x - a) |x|= “ 三一x +axTx0 時，不符合條件， a v 0,且厶 0 a :山，-芯門故答案為：(-R,-2一)14在平面直角坐標系中， 定義 nr：,

10、丁 為點 R( xn, yn)到點R+1( xn+1,如二 5%yn+1)的一個變換,我們把它稱為點變換已知P1( 1 ,0),P2( X2, y2), P3( X3,加,是經過點變換得到的一組無窮點列，設 an=dFLFF/,則滿足不等式 +32+an 2016 的最小正整數(shù) n的值為 11【考點】進行簡單的合情推理.【分析】根據(jù)條件即可求得點 P1, F2到 P7的坐標，從而可以求出向量：-，：,:.I的坐標，進行向量數(shù)量積的坐標運算便可求出a=1 , a2=2 , a3=4 , a4=8 , a5=16 ,從而便可看出數(shù)列an是以 1 為首項，2 為公比的等比數(shù)列，從而可求出前 n 項和

11、為 2n- 1,從而可以得到 2n 2017 ,這樣便可判斷出最小正整數(shù)n 的值.【解答】 解：由條件得，P1(1, 0) , P2(1 , 1) ,P3(0 , 2) ,P4(- 2 , 2),P5(- 4 , 0),P6(- 4, - 4), P7(0, - 8)；-aE；”/廣(0 , 1) ? (- 1 , 1) =1, a2-?匕= (- 1, 1) ? (- 2 , 0) =2a3=一： ：？；：1=( -2,0)?(-2,-2)=4,a4=：j；f?-=(-2,-2)?(0,-4)=8 ,a5=.d?W=(0, -4)?(4, -4)=16,數(shù)列an是首項為 1,公比為 2 的等

12、比數(shù)列； a1+a?+an= =2n- 1 ,1-2由 a1+a2+an 2016 得,2n- 1 2016; 2n 2017;10 11/ 2 =1024 , 2 =2048 ,滿足 a1+a2+an 2016 的最小正整數(shù) n=11,故答案為：11.15二、選擇題(本大題共 4 題，滿分 20 分)每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的 相應題號上，將所選答案的代號涂黑，選對得5 分，否則一律零分15.關于三個不同平面a,3, 丫與直線 I ,下列命題中的假命題是()A.若a丄3,則a內一定存在直線平行于3B.若a與B不垂直，則a內一定不存在直線垂直于3C. 若a丄 丫，3丄Y, a

13、A 3=l，則 I 丄丫D. 若a丄3，則a內所有直線垂直于3【考點】空間中直線與直線之間的位置關系.【分析】根據(jù)空間線面位置關系的判定和性質判斷或距離說明.【解答】 解：對于 A 假設a A 3=a,則a內所有平行于 a 的直線都平行3，故 A 正確； 對于 B,假設a內存在直線 a 垂直于3,則a丄3,與題設矛盾， 故假設錯誤， 故 B 正確; 對于 C,設aAY=c,3AY=d,在丫內任取一點 P,作PML c于點 M, PN 丄 d 于點 N, 則 PM 丄a, PN 丄3,且 PM PN 不可能共線.又 I ?a ,I ?3 , PM! I , PIN! I .又 PMAPN=P P

14、M?Y, PN?Y,I 丄丫 .故 C 正確.I)對于 D,假設a A 3=a,則a內所有平行于 a 的直線都平行3,故 D 錯誤.16.若函數(shù) y=f (x)的圖象與函數(shù) y=3x+a的圖象關于直線 y= - x 對稱，且 f (- 1) +f (- 3)-3,則實數(shù) a 等于()D. 4A.- 1B. 1C. 2【考點】 反函數(shù).【分析】 設(x, y)為函數(shù)y=f (x)的圖象上的一點，則關于直線y= x 對稱的點為(y,-x).代入函數(shù) y=3x+a可得：f(x) =a-log3(- x).即可得出.Jff 1 -【解答】 解：設(x, y)為函數(shù) y=f (X)的圖象上的一點，則關于

15、直線y= - x 對稱的點為(-y,-x).代入函數(shù) y=3x+a可得：-x=3-y+a，- y+a=log3(- x),即 f(x) =a- Iog3(- x).f (- 1) +f (- 3) =3,. a - 0+a - log33=3，解得 a=2. 故選：C.17.在銳角厶 ABC 中，B=60 ,| ：；-|=2，則：；？的取值范圍為()A. (0, 12) B .-十 12) C. (0, 4D. (0, 2【考點】平面向量數(shù)量積的運算.【分析】以 B 為原點，BA 所在直線為 x 軸建立坐標系，得到 C 的坐標，找出三角形為銳角 三角形的16A 的位置，得到所求范圍.【解答】

16、解：以 B 為原點，BA 所在直線為 x 軸建立坐標系， B=60, p-】-,|=|1=2 ,-C(1, Vs),設 A (x, 0)17ABC 是銳角三角形， A+C=120 , 30vAv90,即 A 在如圖的線段 DE 上(不與 D, E 重合),1vxv4,則沽-M=x2 X= (X - . )2-金的范圍為(0, 12). 故選：A.J_ _ La_ |_7 .-1B Dl2 A3E4 x18.在平面直角坐標系中，定義兩點P(xi, yi)與 Q (X2, y2)之間的直角距離”為：d(P, Q) =|xi- X2|+|yi- y2| .現(xiàn)給出下列 4 個命題：1已知 P (1,

17、2), Q( cos20, si n2B) (0 R),則 d (P, Q)為定值；2已知P, Q R三點不共線， 則必有 d (P, Q) +d (Q,R) d (P, R);3用|PQ|表示 P, Q 兩點之間的距離，則|PQ|2 24若 P, Q 是橢圓 一 - =1 上的任意兩點，貝Ud (P, Q)的最大值為 6.54則下列判斷正確的為()A.命題，均為真命題 B .命題，均為假命題C.命題，均為假命題 D .命題，均為真命題【考點】進行簡單的合情推理.【分析】先根據(jù)直角距離的定義分別表示出所求的問題的表達式，然后根據(jù)集合中絕對值的性質進行判定即可._ 2 2 2【解答】解：已知 P

18、( 1, 2), Q( cos0, sin0) (0 R,則 d (P, Q) =|1 - cos0|+|2 -sin0|=sin0+2 - sin0=2 為定值；故正確，2已知 P, Q R 三點不共線，設 P (1, 0) , Q( 0 , 0), R( 0 , 1),則 d ( P , Q =|xP-xd+|yP-yo|=1 ,d (Q, R) =|xQ-XR|+Q-yR|=1 .d (P ,R)=|XP-XR|+|yP-yR|=1+1=2 ,此時 d(P, Q) +d (Q,R) =d (P , R);18 d ( P , Q +d (Q, R) d (P , R)不成立，故錯誤，19

19、3若|PQ|表示P、Q 兩點間的距離，那么|PQFJ 匕|匸.,嚴 4P, Q)=|xix2|+|yi- y2|,2 2 2/2 (a+b)( a+b),十I尹-廠|x 1 - X2l+|y1 -y2|，即：|PQ| d ( P, Q),2 24若 P, Q 是=1 上的任意兩點，d ( P, Q)的最大，設 P ( cosa, 2sina), Q(-54塔cosa , -2sina );貝Ud(P, G)=|x1-X2|+|y1-y2|=2(Jgeosa+2sina )=6sin( a+0 ),則 d ( P, Q的最大值為 6;故正確，I 1故選：D 三、解答題(本大題共 5 題，滿分 7

20、4 分)解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟.象；已知點 P (0, 5),若函數(shù) y=g (x)的圖象上存在點 Q 使得|PQ|=3，求函數(shù) y=g (x) 圖象的對稱中心.【考點】函數(shù) y=Asin(3x+ $)的圖象變換；三角函數(shù)中的恒等變換應用；正弦函數(shù)的圖 象.【分析】(1)利用條件求得 m n 的值，可得函數(shù)的解析式，從而求得它的最值.(2)根據(jù) g(x)的解析式，點Q( 0,2)在 y=g(x)的圖象上，求得$的值，再利用正 弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結論./ /I *【解答】 解：(1)易知 f (x) =msin2x -TT兀 lrosin-r-一ncos=V

21、3?，解得亍 4兀4兀乃- nc os- 2:工1._:二 x-_ 2_ In 二:一.故函數(shù) f(x)的最大值為 2,最小值為-2.則|PQ| d ( P, Q)=d ( P, Q),故正確,2m cos2i:n sin2i(1)求函數(shù) f (x)的最大值與最小值；(2)將函數(shù) y=f (x)的圖象向左平移 $ (0V$v n)19.已知函數(shù) f(x)=的圖象過點 I 厶.和點-312個單位后，得到函數(shù)y=g (x)的圖ncos2x，則由它的圖象過點可得;(2 )由(1)可知:r 二丄 d；.20Ov? n ,故： ：0)在區(qū)間-1, 3上的最大值為 5,最小值為 1.(1 )求 a, b

22、的值及 f(x)的解析式；(2 )設 g (x)=匚，若不等式 g (3x) - t?3x 0 在 x 0 , 2上有解，求實數(shù) t 的取值x范圍.【考點】二次函數(shù)的性質；根的存在性及根的個數(shù)判斷.【分析】(1)解關于 a, b 的方程組，求出 a, b 的值從而求出函數(shù)的解析式即可；=x2- 2x+2 (2)由(1)可得 g (x) =x+- 2,XX于是題設條件得 3x+ .一- 2 - t?3x 0 在 x0 , 2上有解，3即t2J-2、：+1=2+在x0,2上有解， 令=u . , 1，: x 0 , 2,1 2 1 1則 t 0)及條件，可得 *f (3) =3a+b=5f(l)

23、=b-,b=2.故 f(x)解得 a=1:一：.由21【考點】點、線、面間的距離計算；空間中直線與直線之間的位置關系.【分析】(1)用向量法，找出平面上一點Di 與此點 Bi 相連的線段所對應的向量，求出其在平面法向量上的投影的絕對值即可得到點到面的距離.(2)由題意設： - I ，可求 I-.的坐標，若忑.三亍可得廠?E 玩=0,解得 入的值，即可得解.【解答】(本題滿分 14 分) 本題共 2 個小題，每小題.解：(1)由于菱形的對角線互相垂直平分，故以 AC 與 BD 的交點 O 為原點，以射線 OA OB OO 分別為 x、y、z 軸，建立空間直角坐標 系.由已知條件，相關點的坐標為A

24、 (2,0, 0), B (0, 1 , 0), C (- 2 , 0 , 0) , O ( 0 ,0 ,3),B (0 , 1, 3) , D (0, - 1, 3).*設平面 DAC 的法向量為二-4x=0- 二n-ADj=-2K- y+3z=0事T.因-.-：!. UIF * f f故點 B 到平面 DAC 的距離為(2)設：l- - - i , 則由=二，；u. - I. 得 /!- _：.由 一 i” I；,丄 1-ZAXn* AC=令 z=1,則：! 0,即為 1+2k2m.4kmQ_ Q設 A (Xi, yi), B (X2, y2),貝UXi+X2_ - , XiX2_- ,1

25、+2/l+2k2 2可得 y$2_( kxi+m) ( kx2+m)_k2XiX2+k(X1+X2)+mf_k2?- +kn(l+2k2由1與圓x2+y2=相切，可得d.-，化為命心o_2 _ n _ 9.2則，：$?: _xiX2+yiy2_0,即/ AOB_90 .l+2k2” 口 ：仁，當且僅當 4k2_，即 k_ :時，丨二：丨、二 dKN因此SAOAB的取值范圍為.23.若數(shù)列 An： ai, a2,an(n N , n2)滿足 ai_0 , |ak+i- ak|_i ( k_i , 2,n- i), 則稱A為 L 數(shù)列.記 S (An) _ai+a2+an.(i )若A為 L 數(shù)列，且 a5_0，試寫出 S(A)的所有可能值；(2 )若A為 L 數(shù)列，且 an_0 ,求 S (An)的最大值；l+2kl+2k2綜上所述/ AOB=90 為定值;(3)由于-應I 卡雹丨，求SAOAB的取值范圍，只需求出弦長 |AB|的取值范圍. 當直線 I 的斜率不存在時，可得|AB|_ -, SAAO3當直線 I 的斜率存在時，|AB|_？.；g 2),是否存在 L 數(shù)列 A,使得 S (An) =0?若存在，寫出滿足條件的一個 L 數(shù)列 A;若不存在，請說明理由.【考點】數(shù)列的應用.【分析】(I)根據(jù)題意，ai=a5=