第16講：添加輔助線

1、<LJ輔助線的添加5 / 20內(nèi)容分析當(dāng)幾何題難以證明或者比較繁時(shí)，可以考慮添加輔助線，幫助解題，添加輔 助線的目的是把分散的條件集中到一個(gè)三角形或者兩個(gè)三角形中， 構(gòu)造出全等三 角形或者等腰三角形，運(yùn)用它們的判定或者性質(zhì)解決問(wèn)題， 本節(jié)主要是對(duì)幾何證 明做一總結(jié)和拓展.知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)精講模塊一：根據(jù)圖形補(bǔ)形添線1、常用的輔助線有：(1) 聯(lián)結(jié)兩個(gè)點(diǎn)得到線段；(2) 過(guò)某一點(diǎn)做平行線或者垂線；(3) 延長(zhǎng)某一條線段，構(gòu)造特殊的三角形.例題解析【例1】如圖，已知 AD/BC, /B=/C,求證：AB=CD.( ).A.延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E;B.過(guò)點(diǎn)A、D作AEBC, DFXBC,垂足分別為

2、 E、F;C.聯(lián)結(jié) AC、BD;D.過(guò)點(diǎn)B、C作BEAD, CFXAD,垂足分別為 E、F.【難度】【答案】【解析】卜列添加輔助線不正確的是【例 2】 如圖，AB=AD, BC=CD,求證：/ ABC = /ADC.【難度】【答案】【解析】BC=DE, /ABC=/AED,【例3】 如圖，五邊形 ABCDE中，AB=AE, 求證：/ BCD=/EDC .【難度】【答案】【解析】【例 4】 如圖，AB/EF, /B+/C+/D+/E=.【難度】【答案】【解析】【例5】 如圖， ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)線于點(diǎn)F,且BE=CF.求證：AE=AF .【難度】【答案】【解析】D的直線交 AB于點(diǎn)

3、E,交AC的延長(zhǎng)【例6】如圖，已知 ABC 中，AB=AC, Z BAC=90° , BD 平分/ ABC 交 AC 于點(diǎn) D ,CEBD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E,求證:【難度】【答案】【解析】BD=2CE.【例7】 如圖，在 ABC中，CE是/ACB的平分線，AFLCE于點(diǎn)F,求證：/ CAF = /EAF+/ABC.【難度】【答案】【解析】【例8】 如圖， ABC中，點(diǎn)D、E分別在BC、AC的延長(zhǎng)線上，且 C是AE的中點(diǎn),/B+/D=180° ,求證：AB=DE.【難度】【答案】【解析】【例9】?jī)蓚€(gè)全等的含 30°、60°角的三角板 ADE和三角板AB

4、C如圖所示放置，E,A, C三點(diǎn)在一條直線上，連接 BD,取BD的中點(diǎn) M,連接 ME、MC ,試判斷 EMC的形狀，并求證.【難度】【答案】【解析】【例10如圖,求證：BE=CD. ABC 中，BD、CE 相交于點(diǎn) O, /1=/2=1/A,2【難度】【答案】【解析】【例11 如圖，在直角 ABC和直角 ADE中，/ C=Z E =90° , BC=DE,BF=DF./ BAE=Z DAC, BC與DE交于點(diǎn)F,求證:【難度】 【答案】【解析】【例12如圖，已知在 ABC中，/ C=90° , / A=45° , AB=a,在線段 AC上有動(dòng)點(diǎn)M,在射線 CB上

5、有動(dòng)點(diǎn)N,且AM=BN,連接 MN交AB于點(diǎn)P.(1)當(dāng)點(diǎn)M在邊AC (與點(diǎn)A、C不重合)上，線段PM與線段PN之間有怎樣的大小關(guān)系 ？ 試證明你的結(jié)論.(2)過(guò)點(diǎn)M作邊AB的垂線，垂足為點(diǎn) Q,隨著M、N兩點(diǎn)的移動(dòng)，線段 PQ的長(zhǎng)能確定嗎?若能確定，請(qǐng)求出 PQ的長(zhǎng)；若不能確定，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.【難度】【答案】【解析】【例13已知：如圖， 那BC是等邊三角形,BD = DC, /BDC=120°, /MDN=60°,求證：C amn2 c_C ABC -3【解析】【例14如圖，正方形 ABCD中，E、F分別是AD、DC上的點(diǎn)，且/ EBF = 45(1)(2)求證：AE+

6、CF = EF;若Bv，BC=1 ,求BE的長(zhǎng).【難度】【答案】【解析】11 / 20常做輔助線：遇到中點(diǎn)，通過(guò)倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等的三角形.例題解析【例15 已知，如圖 ABC中，AB=5, AC=3,則中線AD的取值范圍是 【難度】【答案】【解析】【例16如圖， ABC中，BD = DC=AC,【難度】【答案】【解析】E是DC的中點(diǎn)，求證： AD平分/ BAE.【例17】已知：如圖， AD是4ABC的BC邊上的中線，且 BE=AC,延長(zhǎng) BE交AC于點(diǎn)F.求證：AF=EF.【難度】【答案】【解析】【例18已知：如圖， AD是4ABC的中線，AB = BD,點(diǎn)E在BD上且BE =ED.求證：AC

7、 =2AE.【難度】【答案】【解析】ABC外作正方形 ABDE和ACGF , M是BC的中點(diǎn).【例19已知，如圖，在，、一1 一求證：AM EF .2【難度】【答案】【解析】【例20】已知：如圖，在 ABC中，BD=DC ,求證：BE+CF>EF.EDXDF .【難度】【答案】【解析】ADEFC【例21已知：如圖，點(diǎn) M是4ABC的邊BC的中點(diǎn)，射線 ME、MF互相垂直，且分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，連接EF.(1) 求證：線段BE、CF、EF能夠成一個(gè)三角形；(2) 若/ A=120° ,且BE=CF ,試判斷BE、CF、EF所構(gòu)成三角形的形狀， 并證明.【難度】【答案】【

8、解析】模塊三：角平分線翻折I知識(shí)精講遇到與角平分線相關(guān)的題目，以角平分線為對(duì)稱軸進(jìn)行翻折，構(gòu)造全等的三角形.例題解析【例22如圖，在三角形 ABC中，。是AC邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作MN /BC,交/ ACB的平分線于點(diǎn) 巳 交/ ACB的鄰補(bǔ)角的平分線于點(diǎn) F,求證：OE=OF.【難度】【答案】【解析】【例23如圖，在四邊形 ABCD中,求證： A C 180 .【難度】【答案】【解析】BC>BA, AD=CD, BD 平分 ABC,【例24如圖，已知 AD是那BC的角平分線，/ B=2/C.求證：AB+BD=AC.【難度】【例25如圖，在四邊形 ABCD中，AC平分/ BAD,過(guò)點(diǎn)C作C

9、ELAB于點(diǎn)巳并且1AE (AB+AD),求/ ABC+/ADC 等于多少度？ 2【難度】【答案】【解析】【例26 如圖，已知在 ABC中，/ B=60° , ABC的角平分線 AD、CE相交于點(diǎn) O,求證：OE=OD.【難度】【答案】【解析】12/20BE=CF.【例28】過(guò)F作FH / AB,交BC于H .ADB【例27】如圖所示，在 ABC中，AD是/ BAC的平分線，M是BC的中點(diǎn)，MF/ DA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) 巳 交AC于點(diǎn)F ,求證:【難度】【答案】【解析】已知：RtABC 中，/ACB=90° , CD，AB 于 D , AE 平分 / CAB 交 CD 于

10、 F ,22 / 20隨堂檢測(cè)【習(xí)題1】 如圖，在 ABC中，/ A=120° /ABC=/C, BD是/ ABC的角平分線，如果將 ABD沿BD翻折過(guò)來(lái)，點(diǎn)A與BC邊上的點(diǎn)E重合，那么 CDE是角形.【難度】【答案】【解析】【習(xí)題2】 如圖，已知 AC=BD, Z D=Z C,求證：/ A=Z B.【習(xí)題3】 如圖，在三角形 ABC中，/ABC=2/C, ADXBC,求證：AB+BD=DC.【難度】【答案】【解析】【習(xí)題4】如圖，AD是 ABC的角平分線，AC=AB+BD, / C=30° .求/ BAC的度數(shù).【難度】【答案】【解析】【習(xí)題5】以4ABC的邊AB、AC為

11、邊分別向外作正方形 ABDE、ACGF , DPLBC于點(diǎn)P, GQLBC 于點(diǎn) Q,求證：DP+GQ=BC.【難度】【答案】【解析】【習(xí)題6】已知：如圖，正方形ABCD中，E、F分別是AD、DC上的點(diǎn)，且AE+CF=EF,求證：/ EBF=45【難度】【答案】【解析】【習(xí)題71已知，如圖，D為等邊 ABC內(nèi)一點(diǎn)，DA = DC,P為等邊 ABC外一點(diǎn)，PC=AC,且CD平分/ BCP,求/ P的度數(shù).【難度】【答案】【解析】【習(xí)題8】如圖，在 ABC 中，AC BC , / C=90° , ADXBD 交于點(diǎn) D, BD 與 AC相交于點(diǎn)E,當(dāng)BE=2AD時(shí)，求證：BD平分 ABC

12、 .【難度】【答案】【解析】【習(xí)題9】 如圖，已知在正方形 ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，BF=CD + DF ,若/ ABE為求/ CBF的度數(shù).【難度】【答案】【解析】【習(xí)題10 在 ABC中，AB=AC, 求證：BD+DC=AB .【難度】【答案】【解析】D是 ABC外一點(diǎn),D在BC的延長(zhǎng)線上且 CD=AB,【習(xí)題11 如圖，在 ABC中，E是BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)/BAE=/D, AC 平分/ EAD.求證:【難度】【答案】AD =2AE.【解析】B. AD=DC;D. AB / CE.課后作業(yè)【作業(yè)1】 如圖，將 ABC的中線AD加倍到點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)CEB,以下結(jié)論錯(cuò)誤的是( ).A. AABD

13、 "CD；C. CE=AB;【難度】【答案】【解析】【作業(yè)2】已知：AD是 ABC的角平分線,C=2/B,將4ACD沿AD翻折，點(diǎn)C落在 AB邊上的 E處， EBD 是; AB、AC、CD之間的數(shù)量關(guān)系是【難度】【答案】【解析】【作業(yè)3】已知：在 ABC 中，AC=BC, / ACB=90° , AD 平分/ BAC 交 BC 于點(diǎn) D.求證：AB=AC+CD.【難度】【答案】【解析】【作業(yè)4】已知 ABC和 BDE均為等邊三角形，求證： BD+DC=AD .【難度】【答案】【解析】【作業(yè)5】已知直角 ABC中，/CAB=90°點(diǎn)D、E在邊BC上，/CAE=/B, E是CD的中點(diǎn)，且 AD平分/ BAE;求證：BD=AC.【難度】【答案】【解析】【作業(yè)6】 如圖，已知點(diǎn) C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，AE=BD,求證：/AEC=/CDB.【難度】【答案】【解析】BD=CE .【作業(yè)7】 已知：如圖，在 ABC中，AB=AC,點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE交BC于點(diǎn)M, DM=ME,求證:【難度】【答案】【解析】ABC的角平分線 AD、BE相交于點(diǎn)F, / C=60【作業(yè)8 已知，如圖， 求證：AB =AE+BD.【難度】【答案】【解析】【作業(yè)9】 如圖，已知在 ABC中，BD、CE相交于點(diǎn)