《現(xiàn)代控制理論》第3版課后習(xí)題答案

1、現(xiàn)代控制理論參考答案第一章答案1-1試求圖1-27系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，并建立其狀態(tài)空間表達(dá)式。圖1-2添統(tǒng)方塊結(jié)構(gòu)圖解：系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下:(s)X圖 1-3雙軍入雙輸出系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下:精選XiX2X3X2Kb j-X3 J2Kp 二 X3KnT X41KpX5XJ1J1X4X3X5X6K1X3K1 X1KpK1X6K1KT6K1 uKp(s) y ,則 y Xi所以,系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式及輸出方程表達(dá)式為XiX2X30KbJ 2 KpX1X4X5X60K1K?J1J1JJ1X301000X40K1K100K1X5000K1X6KpKp1000XiX2X2KpKnX3X4X5

2、X61-2有電路如圖1-28所示。以電壓u(t)為輸入量,求以電感中的電流和電容上的電壓作為狀態(tài)變量的狀態(tài)方程,和以電阻R2上的電壓作為輸出量的輸出方程。解：由圖，令 i1 x1,i2 x2,uc x3 ,輸出量 y R2x2有電路原理可知:R1 x1L1 x1 x3u?L2 x2 R2x2x3既得x1R1匚X111x3 uL1L1?R21x2x2一 x3L2L2xix2Cx3x31Cx11Cx2y R2x2寫成矢量矩陣形式為:Ri oxiLiox20ox31Cy 0R20 x2x30R2L21C1L iL20xx2x31-4兩輸入U(xiǎn)1 ,U2,兩輸出y1，y2的系統(tǒng)，其模擬結(jié)構(gòu)圖如圖1-30

3、所示，試求其狀態(tài)空間表達(dá)式和傳遞函數(shù)陣。U1U2Aa4y2圖1-30雙輸入-雙輸出系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖解：系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如下所示:x10100x100x2a2a10a6x2b10x31001x300x40a5a4a3x40b2x1x2y 1 0 1 0x3 x4(sI A)a21s a10a5a，a3Wux(s)(sIA)1Ba21s a10a61bi0Wuy(s)C(sIA) 1Ba5a，a3b2a21a10a61bi0a5a，a3b21-5系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性由下列微分方程描述(2) y 5 y 7 y 3y u 3u 2u列寫其相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，并畫出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖。解：令X1X2X3o

4、X1oX2oX3X1X1X2X3X2X3相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下:1-6 (2)已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)W(s)一6(s 1)一2，試求出系統(tǒng)的約旦標(biāo)準(zhǔn)型的實(shí)現(xiàn)，并畫出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖 s(s 2)(s 3)101解：W(s) 一6(s 1)一2一43 3s(s 2)(s 3)2(s 3)2s 3 s 2s01 u11x13100 x1X20300 X2X3002 0 X3X40000 X4X110c 1X23 -33X3X41-7給定下列狀態(tài)空間表達(dá)式X1010 X10x2230x21ux3113x32X1y 0 0 1 X2X3(1) 畫出其模擬結(jié)構(gòu)圖(2) 求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解：(3) W(s) (s

5、I A) 2 s 3精選si A s(s 3)2 2(s 3)(s 3)(s 2)(s 1)1(si A) 1(s 3)(s 2)(s 1)1Wux(s)(si A)1B1(s 3)(s 2)(s 1)s 32 s 32(s 3) s(s 3)s 5 s 10001(s 1)(s 2) 2s 32 s 302(s 3) s(s 3)0s 5 s 1 (s 1)(s 2)1(s 3)(s 2)(s 1)(s 3)s(s 3)(2s 1)(s 3)1Wuy(s)C(sI A)1B(2s 1)(s 2)(s 1)(s 3)s(s 3)(2s 1)(s 3)1(s 3)(s 2)(s 1)1-8求下列

6、矩陣的特征矢量010(3) A 3021276解：A的特征方程10I A 321276362116 0解之得：11, 22, 33當(dāng)11時(shí),010Pli302p211276 P31P11P21P31解得：P21 P31P11令 P111P111nP211P311精選P122 p22p32解得:p22p32P12P12P2P12p22p32P11(或令 P111 ,得 R P21P31010Pl2當(dāng)12時(shí),302p221276P32P121(或令 P121 ,得 P2P222 )1P32 2010P13當(dāng)13時(shí)，302p231276P33P133 p23p33Pl31解得：P233 P13, P

7、333P13令 Pl3 1 得P3P233P3331-9將下列狀態(tài)空間表達(dá)式化成約旦標(biāo)準(zhǔn)型（并聯(lián)分解）(2)X1X2X3412 x1102x2113X3y1y2X1X2X3解：A的特征方程I A41212(1)(3)2 01131,23, 31當(dāng)13時(shí),412 P11P11102 P213 P21113P31 P31解之得 p21p31p11令 p111P111得P1p211P311412P11P111當(dāng)23時(shí)，102P213 P211113P31P311斛之信 p12 p221, p22p32令 P121P121得 BP220p320412 P13P13當(dāng)3 1時(shí),102 P23 P2311

8、3 P33 P33解之得P130, P232 P33令 P331P130得P3P232P3311 10T1021 01012T 11120110123 1T 1B 112 2 70115 3CT11 2 010 1 11約旦標(biāo)準(zhǔn)型3 1 08103052u001343 1 4 yX2 0 31-10已知兩系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為W1（S）和W2（S）W1(s)1s 2s 1s 211W2(s)s13 s 40s 1試求兩子系統(tǒng)串聯(lián)聯(lián)結(jié)和并聯(lián)連接時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣，并討論所得結(jié)果 解：（1）串聯(lián)聯(lián)結(jié)1111W(s) W2(s)W(s)s13 s 4 s 1 s 200 s 1s 21s2 5s 7

9、(s 1)(s 3) (s 2)(s 3)(s 4)112(s 1)(s 1)(s 2)（2）并聯(lián)聯(lián)結(jié)W(s) W1(s) W1(s)1s 2s 1s 21s 31s 11、2的傳遞函數(shù)陣分別為1-11 （第3版教材）已知如圖1-22所示的系統(tǒng)，其中子系統(tǒng)11Wi(s)s 11sW2(s)0s 2求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 解：W1 (s)W21 (s)精選I W(s)W(s) I1s1010 1s 2IW1(s)W2(s)s 1s(s 3)s 2s 31W(s) IW(s)W2(s) W(s)11s s 1s 2 ss 11 s1s 2s 3(s 2)(s 1)01 s1s 1s 1s(s 3)1

10、s 31-11 (第2版教材)1W1(s)s 12已知如圖1-22所示的系統(tǒng)，其中子系統(tǒng)11、2的傳遞函數(shù)陣分別為1W2(s)0求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)解：1W1(s)W(s)s 12s121s121I W1(s)W1(s)s 3s 311W(s)1I 皿(s)皿(s) W1(s)s(s 1) s 2 s s 2 ss2 5s 22 s 2 s 1s 1s 2s 32s(s 1) (s 2)2ss2 5s 222(s 2)s 2 s 1s 31s(s 2) s(s 2)2s s 12(s 1)2(3s 8)22(s 2) (s 5s 2)s3 6s2 6s(s 2)(s2 5s 2)s 1s2 5

11、s 2s 2s2 5s 21-12已知差分方程為y(k 2) 3y(k 1) 2y(k)2u(k 1) 3u(k)試將其用離散狀態(tài)空間表達(dá)式表示，并使驅(qū)動(dòng)函數(shù)u的系數(shù)b（即控制列陣）為精選1(1) b1解法1：W(z)2z 3z2 3z 2x(k 1)101x(k) u(k) 021y(k) 1 1 x(k)解法2:x1(k 1) X2(k)x2(k 1)2x1(k) 3x2(k) uy(k) 3x1(k) 2x2(k)010x(k 1)23 x(k) 1 u(k)y(k) 3 2 x(k)求T,使得T 1B11 1得T 1所以0 1T 1AT11CT 3 2310 1所以，狀態(tài)空間表達(dá)式為4

12、01z(k 1)z(k) u(k)511y(k) 31 z(k)精選第二章習(xí)題答案2-4用三種方法計(jì)算以下矩陣指數(shù)函數(shù)eAt1(2) A=4解：第一種方法： 令 I A 0112則0 ,即 14 0。41求解得到13,2113時(shí),特征矢量P11P21由Ap1P11P211時(shí)，特征矢量P2P12P22,A/口 11P12P12由 AP22 P2 ,得，/4 1 P22P22P12P224 P12P22P12P22P2At e111e3t02220 et 114141 3t-e 23t e1 -e 21 3t-e 41 t-e 41 3t-e 21 t-e24s 3 s 1112 s 3 s 11

13、1s 3 s 1At eL11si A1 3te23t e1 : e41 : e23t3t1-e41 e2第三種方法,即凱萊哈密頓定理由第一種方法可知3,At e3t3t et14143t et e1 3t 一 e41 3t- e43 -e41-e41 3t-e 41 3t-e 23t e1 : - e41 : e23t3t1- e41 e2第二種方法，即拉氏反變換法:sI A11 s 11sI A s 3 s 14 s 1s 11s 3 s 1 s 3 s 1s 1s 3 s 1114 s 3s 11 112 s 3s 1A陣。2-5下列矩陣是否滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件，如果滿足，試求與之對(duì)應(yīng)

14、的(3)2et2t2e 2t 2e t2t2e2t(4)3t e3t e3t3t解：（3）因?yàn)镮 ,所以該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件2ete t2e 2t2e 2t2t4e2t4e2ete t(4)因?yàn)樗栽摼仃嚌M足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件3t3t3e1 e41 e23 3te43 3t e22-6求下列狀態(tài)空間表達(dá)式的解:1,0初始狀態(tài)輸入時(shí)單位階躍函數(shù)。解:sIsI因?yàn)锳t1 ss2 0L1sI12 s1Bu01精選1t 2t1t22t1t 22-9有系統(tǒng)如圖2.2所示，試求離散化的狀態(tài)空間表達(dá)式。設(shè)采樣周期分別為T=0.1s 和 1s,而 u1和U2為分段常數(shù)。U2+圖2.2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：將此

15、圖化成模擬結(jié)構(gòu)圖列出狀態(tài)方程ku1U2X22x10U11 x1X2則離散時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式為xk1 GTxk HTukcx k Du kAt eTeAtdtB 得:精選At esIL1At,.e出當(dāng)T=1時(shí)當(dāng)T=0.1時(shí)dt0.10.1 eCTke 10.10.1k e0.90 u0.1第三章習(xí)題3-1判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀測(cè)性。系統(tǒng)中a,b,c,d的取值對(duì)能控性和能觀性是否有關(guān),若有關(guān)，其取值條件如何?(1)系統(tǒng)如圖3.16所示:圖3.16系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖解：由圖可得：x1ax1 u?x2bx2?x3cx3 x2 x1?x4x3 dx4x1 x2 cx3狀態(tài)空間表達(dá)式為：y x3x1?

16、x2?x3?x4a0 00 b011 c0010x110x20u0x30dx40y 0 0 1 0x由于X2、X3、X4與U無關(guān)，因而狀態(tài)不能完全能控，為不能控系統(tǒng)。由于y 只與x 3有關(guān)，因而系統(tǒng)為不完全能觀的，為不能觀系統(tǒng)。（ 3）系統(tǒng)如下式：X1 ?X2 ?X3110X1010X2002 X321a 0Ub0c0dX000解：如狀態(tài)方程與輸出方程所示，A 為約旦標(biāo)準(zhǔn)形。要使系統(tǒng)能控，控制矩陣b 中相對(duì)于約旦塊的最后一行元素不能為0，故有a 0, b 0要使系統(tǒng)能觀，則 C 中對(duì)應(yīng)于約旦塊的第一列元素不全為 0，故有 c 0,d 03-2 時(shí)不變系統(tǒng)1311X11試用兩種方法判別其能控性和

17、能觀性。解：方法一：111131AB,B,C 11-2-2-2-2精選rankM 1 2,系統(tǒng)不能控。CCA11241124rankN 2,系統(tǒng)能觀。方法二：將系統(tǒng)化為約旦標(biāo)準(zhǔn)形則狀態(tài)矢量：AiPi1P1PiA2P22P2P21-11-1T-1121212121T-1AT 212T-1B12121212-311-31-1-2 00 -41212CT1-11-1T-1B中有全為零的行，系統(tǒng)不可控。 CT中沒有全為0的列,系統(tǒng)可觀。3-3確定使下列系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控和狀態(tài)完全能觀的待定常數(shù)111(1)A,b ,C 11021解：構(gòu)造能控陣:1i1M b Ab1要使系統(tǒng)完全能控，則 i 1構(gòu)造能觀陣

18、：要使系統(tǒng)完全能觀，則123-4設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是2,即 1210CCA1,即 1210精選y(s)s a32u(s) s 10s27s 18(1)當(dāng)a取何值時(shí)，系統(tǒng)將是不完全能控或不完全能觀的？(2)當(dāng)a取上述值時(shí)，求使系統(tǒng)的完全能控的狀態(tài)空間表達(dá)式(3)當(dāng)a取上述值時(shí)，求使系統(tǒng)的完全能觀的狀態(tài)空間表達(dá)式解：(1)方法1 : W(s)州) u(s)s a(s 1)(s 3)(s 6)系統(tǒng)能控且能觀的條件為W沒有零極點(diǎn)對(duì)消。因此當(dāng)a=1或a=3或a=6時(shí)，系統(tǒng)為不能控或不能觀方法2：y(s)s au(s)(s 1)(s 3)(s 6)a -1 a 3 a - 610615s 1 s 3 s 6

19、11, 23, 361001?X 030X1u0061a 1 a3a6vy X10615系統(tǒng)能控且能觀的條件為矩陣C不存在全為0的列。因此當(dāng)a=1,或a=3或a=6時(shí)，系統(tǒng)為不能控或不能觀(2)當(dāng)a=1, a=3或a=6時(shí)，系統(tǒng)可化為能控標(biāo)準(zhǔn)I型01x 001827001 x 0 u101(3)根據(jù)對(duì)偶原理，當(dāng)a=1, a=2或a=4時(shí)，系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)II型為0018ax1027x 1 u01100y00 1 x 3-6已知系統(tǒng)的微分方程為：y 6 y 11 y 6y 6u試寫出其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式及其傳遞函數(shù)。解：a。6, a111 a26, a33, b06系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為01

20、00001x0u61161傳遞函數(shù)為6s3 6s2 11s 6s 1一-1 _ 一 一 一 一611s 61W(s) C(sI-A) B 6 0 0 0 s其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為:0066x1011x 0 u0160y00 1 x精選傳遞函數(shù)為W(s)6s3 6s2 11s 63-9已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2 一 一W(s)s 6s 82-s 4s 3試求其能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型2解：W(s)s 6s 8 / 2s 5 -1 -s 4s 3 s 4s 3系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)I型為3011 0 0010010xxu-3 -41y 5 2x u能觀標(biāo)準(zhǔn) II 型為0 -35xxu1 -42y 0 1x

21、 u3-10 給定下列狀態(tài)空間方程，試判別其是否變換為能控和能觀標(biāo)準(zhǔn)型。精選0100x 23 0x 1u1132y 0 01 x010230，b1130解： A1，C 0 012013M b Ab A2b12 725 11rankM 2 3，系統(tǒng)為不能控系統(tǒng)，不能變換為能控標(biāo)準(zhǔn)型C 001N CA 1132CA2179rankN3，系統(tǒng)為能觀系統(tǒng)，可以變換為能觀標(biāo)準(zhǔn)型。3-11 試將下列系統(tǒng)按能控性進(jìn)行分解12101) A 010 ,b 0 ,C1110431解：014rankM=23,系統(tǒng)不是完全能控的M b Ab A2b0 0013910 ， R330構(gòu)造奇異變換陣Rc ： R1 b 0

22、， R2Ab101 ，其中R3 是任意的，只要滿足Rc 滿秩。0即Rc01 0001得 R 1c1300321_ARc ARc14200111bRc b 0C cRc 1213-12試將下列系統(tǒng)按能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解(1) A 010 ,b 0 ,C 1解：由已知得A121010 ,b0430 ,C 1C11 1則有N CA23 2CA2474rank N=23,該系統(tǒng)不能觀11 1構(gòu)造非奇異變換矩陣R1 ,有R123 2001311則 R02100 01% R0 1AR0% Ro1buy cR% 1 0 0 %3-13試將下列系統(tǒng)按能控性和能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解100(1) A223,b2012 ,C111解：由已知得 M A AbAb221226202rank M=3,則系統(tǒng)能控N cAcA1121 2 57 4 11rank N=3,則系統(tǒng)能觀所以此系統(tǒng)為能控并且能觀系統(tǒng)取Tc212262，則 Tc21141214Tc