線性代數(shù)11 向量內(nèi)積ppt課件

1、主要內(nèi)容第十一講第十一講 向量的內(nèi)積向量的內(nèi)積根本要求根本要求v向量的內(nèi)積、長度、正交的概念；向量的內(nèi)積、長度、正交的概念；v正交向量組、規(guī)范正交基的概念，施密特正交正交向量組、規(guī)范正交基的概念，施密特正交v 化方法；化方法；v正交矩陣的概念和性質(zhì)正交矩陣的概念和性質(zhì).v了解向量的內(nèi)積、長度、正交、規(guī)范正交基、了解向量的內(nèi)積、長度、正交、規(guī)范正交基、v 正交矩陣等概念，知道施密特正交化方法正交矩陣等概念，知道施密特正交化方法.第一節(jié)第一節(jié)向量的內(nèi)積長度及正交性向量的內(nèi)積長度及正交性一、向量的內(nèi)積一、向量的內(nèi)積1. 內(nèi)積的定義內(nèi)積的定義,2121 nnbbbaaa 令令,2211nnbababa

2、 , ,稱為向量稱為向量 與與 的內(nèi)積的內(nèi)積. 定義定義 設(shè)有設(shè)有 維向量維向量n在定義內(nèi)積之前，向量之間的運(yùn)算只定義了加法在定義內(nèi)積之前，向量之間的運(yùn)算只定義了加法 與數(shù)乘；假設(shè)把與數(shù)乘；假設(shè)把3維向量空間與解析幾何中維向量空間與解析幾何中3維維 幾何空間或稱歐式空間相比較，會發(fā)現(xiàn)前者幾何空間或稱歐式空間相比較，會發(fā)現(xiàn)前者 短少向量的幾何度量性質(zhì)，如向量的長度、兩向短少向量的幾何度量性質(zhì)，如向量的長度、兩向 量的夾角等，但向量的幾何度量性質(zhì)在許多問題量的夾角等，但向量的幾何度量性質(zhì)在許多問題 中有著特殊的位置中有著特殊的位置. 在定義了內(nèi)積后，在定義了內(nèi)積后，3維向量空間與解析幾何中維向量空

3、間與解析幾何中3維維 幾何空間是類似的幾何空間是類似的. 3維向量空間中向量的內(nèi)積類維向量空間中向量的內(nèi)積類 似于似于3維幾何空間的向量的數(shù)量積維幾何空間的向量的數(shù)量積. 維向量的內(nèi)維向量的內(nèi) 積可看作是數(shù)量積的一種推行積可看作是數(shù)量積的一種推行.n向量的內(nèi)積是兩個(gè)向量之間的另一種運(yùn)算，其結(jié)向量的內(nèi)積是兩個(gè)向量之間的另一種運(yùn)算，其結(jié) 果是一個(gè)數(shù)，用矩陣記號表示，當(dāng)果是一個(gè)數(shù)，用矩陣記號表示，當(dāng) 與與 為列向?yàn)榱邢?量時(shí)，有量時(shí)，有 , T . T 闡明闡明2. 內(nèi)積的性質(zhì)內(nèi)積的性質(zhì)施瓦茨不等式施瓦茨不等式;, ;,Rkkk ;, 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0 , 0, 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0 ; 0, .,2

4、二、向量的長度二、向量的長度1.定義定義 設(shè)設(shè) 維向量維向量n naaa21 令令,22221naaa 稱為向量稱為向量 的長度或范數(shù)的長度或范數(shù). 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，稱時(shí)，稱 為單位向量為單位向量.1 闡闡明明當(dāng)當(dāng) 時(shí)，按此定義的向量的長度與幾何空時(shí)，按此定義的向量的長度與幾何空間中的向量的長度是一致的間中的向量的長度是一致的.32、 n2. 向量的長度的性質(zhì)向量的長度的性質(zhì) 非負(fù)性非負(fù)性 齊次性齊次性 三角不等式三角不等式當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ；0 0 0 0 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ；;,|Rkkk . 闡明闡明 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，三角不等式的幾何解釋為時(shí)，三角不等式的幾何解釋為32、 n 證明證明3. 兩向量之間的

5、夾角兩向量之間的夾角 的長度的長度 的長度的長度 與與 的數(shù)量積的數(shù)量積 與與 夾角余弦夾角余弦 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有0, 0 ,cos ， ,arccos 設(shè)設(shè) 為為 維向量，維向量， 、n 稱為稱為 維向量維向量 與與 的夾角的夾角.n 三、向量的正交性三、向量的正交性1. 向量正交向量正交當(dāng)當(dāng) 時(shí)，稱向量時(shí)，稱向量 與與 正交正交.0, 闡闡明明顯然，假設(shè)顯然，假設(shè) ，那么，那么 與任何向量都正交與任何向量都正交.0 xx 當(dāng)當(dāng) 為為2或或3維向量時(shí)，維向量時(shí)， 、 、正交的幾何解釋為正交的幾何解釋為 2. 正交向量組正交向量組設(shè)向量組設(shè)向量組 假設(shè)滿足假設(shè)滿足,21r 都是非零向量；都是

6、非零向量；r ,21, 0, jTiji 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ji 那么那么 稱為正交向量組稱為正交向量組.r ,21即一組兩兩正交的非零向量構(gòu)成的向量組即一組兩兩正交的非零向量構(gòu)成的向量組稱為正交向量組稱為正交向量組.定理定理1 假設(shè)假設(shè) 維向量維向量 是一組兩兩正交是一組兩兩正交的非零向量，那么的非零向量，那么 線性無關(guān)線性無關(guān).nr ,21r ,21即正交向量組是線性無關(guān)向量組即正交向量組是線性無關(guān)向量組.證證設(shè)存在設(shè)存在 使使rkkk,21, 02211 rrkkk rjjTj, 3 , 2, 0,11 由于由于 兩兩正交，即有兩兩正交，即有r ,21以以 左乘上式兩端，得左乘上式兩端，得

7、T1 , 01212111 rTrTTkkk 所以所以, 0111 Tk又又 ，故，故01 , 011 T從而必有從而必有. 01 k類似可證必有類似可證必有. 0, 02 rkk例例1 知知3維向量空間維向量空間 中兩個(gè)向量中兩個(gè)向量nR,1111 ,1212 正交，試求一個(gè)非零向量正交，試求一個(gè)非零向量 ，使，使 兩兩正交兩兩正交.3 321, 解解 析：此題是一個(gè)常見問題析：此題是一個(gè)常見問題. .解此題的關(guān)鍵是將解此題的關(guān)鍵是將所提問題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)齊次線性方程組的非零解所提問題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)齊次線性方程組的非零解的問題的問題. .由于所求向量由于所求向量 ，滿足，滿足 兩兩正交，即有兩兩

8、正交，即有3 321, , 031 T, 032 T0321 TT03 A 是是 的非零解的非零解.3 0 Ax記記 12111121TTA 3 0 Ax要求要求 應(yīng)滿足齊次線性方程組應(yīng)滿足齊次線性方程組 ，即，即0121111321 xxx 121111A12rr 030111)3(2 r21rr 010101于是得于是得 的根底解析為的根底解析為 ，0 Ax 101取取 即為所求即為所求. 1013 3. 規(guī)范正交向量組和規(guī)范正交基規(guī)范正交向量組和規(guī)范正交基 都是單位向量，即都是單位向量，即r ,21; 0, jTiji 兩兩正交，即兩兩正交，即r ,21設(shè)設(shè) 維向量組維向量組 是向量空間

9、是向量空間的一個(gè)基，假設(shè)滿足的一個(gè)基，假設(shè)滿足r ,21n)(nRVV ji 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，), 2 , 1( , 1,riiTiiii 那么稱那么稱 是是 的一個(gè)規(guī)范正交基的一個(gè)規(guī)范正交基.Vr ,21例如例如 設(shè)設(shè),0021211 e,0021212 e,2121003 e,2121003 e 就是就是 的一個(gè)規(guī)范正交基的一個(gè)規(guī)范正交基.4R4321,eeee, 0,413121 eeeeee, 0,4232 eeee, 0,43 ee. 14321 eeee 設(shè)設(shè) 是是 的一個(gè)規(guī)范正交基，假設(shè)的一個(gè)規(guī)范正交基，假設(shè) 中中任一向量任一向量 由由 線性表示的表示式為線性表示的表示式為r ,2

10、1VV r ,21), 2 , 1(,rikiTii ,2211rrkkk 那么有那么有向量在規(guī)范正交基中的坐標(biāo)的計(jì)算公式向量在規(guī)范正交基中的坐標(biāo)的計(jì)算公式這是由于這是由于,2211rTirTiTiTikkk iTiiTik Tiik 由于由于例如例如 知向量組知向量組,21021,616261,313131321 是是 的一個(gè)規(guī)范正交基，的一個(gè)規(guī)范正交基，3R中的坐標(biāo)為中的坐標(biāo)為.2, 0 ,32 .2, 0,32321 TTT 321 321, 向量向量 在在驗(yàn)證：驗(yàn)證： 21021)2( 31313132 6162610321)2(032 3214. 施密特施密特(Schimidt)正交

11、化正交化 這就是把知基規(guī)范正交化問題這就是把知基規(guī)范正交化問題.正交化：正交化：構(gòu)造正交向量組構(gòu)造正交向量組 ，且滿足，且滿足r ,21 與與 等價(jià)等價(jià).r ,21r ,21;11 令令;,1211222 ;,222231211333 知知 是向量空間是向量空間 的一個(gè)基，要求的一個(gè)基，要求 的一的一個(gè)規(guī)范正交基個(gè)規(guī)范正交基.r ,21VV;,121122221211 rrrrrrrr 單位化：單位化： 構(gòu)造兩兩正交的單位向量組構(gòu)造兩兩正交的單位向量組 ，r ,21且滿足且滿足 與與 等價(jià)等價(jià).r ,21r ,21令令,1111 ,1222 ,1,rrr 闡明闡明上述的正交化過程稱為施密特上述

12、的正交化過程稱為施密特(Schimidt)正交正交而且滿足而且滿足由此過程得到的向量組由此過程得到的向量組 不僅不僅r ,21化過程化過程.滿足滿足 與與 等價(jià)，等價(jià)，r ,21r ,21與與 等價(jià)等價(jià). k ,21)1 (,21rkk 當(dāng)向量的維數(shù)為當(dāng)向量的維數(shù)為3，向量個(gè)數(shù)也是，向量個(gè)數(shù)也是3時(shí)，施密特時(shí)，施密特正交化的幾何解釋為正交化的幾何解釋為1 1 2 3 2 3 2 31 32 3 例例2 設(shè)設(shè),1211 ,1312 ,0143 試用施密特正交化過程把這組向量規(guī)范正交化試用施密特正交化過程把這組向量規(guī)范正交化.解解 析：這是一道熟習(xí)施密特正交化過程的訓(xùn)練題析：這是一道熟習(xí)施密特正交

13、化過程的訓(xùn)練題.正交化正交化;11 1211222, 1264 131 12132;55531 222231211333, 23253251362 014 11135 12131 60631 202單位化單位化1111 ,12161 2221 ,11131 3331 .10121 于是于是 即是所求的向量組即是所求的向量組.321, 例例3 知知 ，求一組非零向量，求一組非零向量 ，使，使 1111 32, 兩兩正交兩兩正交.321, 解解 析：此例與例析：此例與例1 1是同一類問題，不過這里是要是同一類問題，不過這里是要把所提問題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)齊次線性方程組的正交把所提問題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)齊次線性

14、方程組的正交根底解系根底解系. . 詳細(xì)方法是，先求出根底解系，然后詳細(xì)方法是，先求出根底解系，然后用施密特正交化過程把所得的根底解系正交化用施密特正交化過程把所得的根底解系正交化.32, 應(yīng)滿足方程應(yīng)滿足方程 ，即，即01 xT 0321 xxx它的根底解系為它的根底解系為,011 1 ,102 1 把根底解系正交化，即得所求把根底解系正交化，即得所求.即即,12 222223, 110 10121.12121 0321 xxx,0111 ,112 2 闡明闡明此例可推行為：此例可推行為：n 設(shè)設(shè) 是是 維非零向量，求非零向量維非零向量，求非零向量使使 兩兩正交；兩兩正交；1 n ,32n

15、,321 設(shè)設(shè) 是是 維正交向量組，求非零向維正交向量組，求非零向量量 使使 兩兩正交；兩兩正交；s ,21nnss ,21 nss ,11 此例的幾何意義是此例的幾何意義是 中任一正交向量組一定中任一正交向量組一定 可以擴(kuò)展成的一個(gè)正交基，進(jìn)而得到一個(gè)規(guī)范可以擴(kuò)展成的一個(gè)正交基，進(jìn)而得到一個(gè)規(guī)范 正交基正交基.nR四、正交矩陣與正交變換四、正交矩陣與正交變換1. 概念的引入概念的引入設(shè)設(shè) 是是 維規(guī)范正交向量組，令維規(guī)范正交向量組，令n ,21n AAT),(21nA 那么有那么有 TnTT 21),(21n nTnTnTnnTTTnTTT 212221212111EAAT 正交矩陣正交矩陣

16、2. 正交矩陣正交矩陣定義定義 假設(shè)假設(shè) 階矩陣階矩陣 滿足滿足nAEAAT 即即 ，TAA 1那么稱那么稱 為正交矩陣，簡稱正交陣為正交矩陣，簡稱正交陣.A例如例如 矩陣矩陣 979494949198949891A可以驗(yàn)證可以驗(yàn)證 是正交陣是正交陣.A3. 正交陣的性質(zhì)正交陣的性質(zhì) 方陣方陣 為正交矩陣的充要條件是為正交矩陣的充要條件是 的列向量的列向量組都是單位向量，且兩兩正交；組都是單位向量，且兩兩正交；AA 方陣方陣 為正交矩陣的充要條件是為正交矩陣的充要條件是 的行向量的行向量組都是單位向量，且兩兩正交；組都是單位向量，且兩兩正交；AAA 假設(shè)假設(shè) 為正交陣，那么為正交陣，那么 也是

17、正交陣；也是正交陣； TAA 、1 假設(shè)假設(shè) 為正交陣，那么為正交陣，那么 A；或或)1(1 A 假設(shè)假設(shè) 和和 都是正交陣，那么都是正交陣，那么 也是正交陣也是正交陣.ABAB 假設(shè)假設(shè) 為正交陣，那為正交陣，那么么A,EAAT .EAAT 且且4. 正交變換正交變換定義定義 設(shè)設(shè) 為正交陣，那么線性變換為正交陣，那么線性變換PPxy 稱為正交變換稱為正交變換.性質(zhì)性質(zhì) 正交變換堅(jiān)持向量的長度不變正交變換堅(jiān)持向量的長度不變.這是由于這是由于,yyy yyT )()(PxPxT xPPxTT)( xxT x 正交變換的幾何意義正交變換的幾何意義:Pxy )1(det APxy )1(det A 2121cossinsincosxxyy 如如 2121cossinsincosxxyy 如如 xy xy五、小結(jié)五、小結(jié)v本章的中心主題是方陣的對角化問題本章的中心主題是方陣的對角化問題.它涉及到它涉及到v