第三章含時間因素的貨幣等值計算

1、第三章 含時間因素的貨幣等值計算3.1貨幣的時間價值1、含義、含義 指初始貨幣在生產與流通中與勞動相結合，即作為資本或資金參指初始貨幣在生產與流通中與勞動相結合，即作為資本或資金參與再生產和流通，隨著時間的推移會得到貨幣增值，用于投資就會帶與再生產和流通，隨著時間的推移會得到貨幣增值，用于投資就會帶來利潤；用于儲蓄會得到利息。來利潤；用于儲蓄會得到利息。2、原因、原因（1）以貨幣表示的資源可以成為資本，存在投資的機會，從而產生）以貨幣表示的資源可以成為資本，存在投資的機會，從而產生對資本投入要素的回報。對資本投入要素的回報。（2）消費者都存在一種潛在的期望，要求現(xiàn)在消費的節(jié)省以換回日）消費者都

2、存在一種潛在的期望，要求現(xiàn)在消費的節(jié)省以換回日后更多的消費。后更多的消費。3.1貨幣的時間價值原資金原資金投資投資儲蓄儲蓄新資金新資金原資金原資金貨幣的貨幣的時間價值時間價值原資金原資金閑置閑置=+3.1貨幣的時間價值 資金的價值是時間的函數，隨時間的推移而增值，所增值部資金的價值是時間的函數，隨時間的推移而增值，所增值部分的資金就是原有資金的時間價值。分的資金就是原有資金的時間價值。 影響資金時間價值的因素：影響資金時間價值的因素：1、資金的使用（占用）時間長短；、資金的使用（占用）時間長短；2、資金數額的大??；、資金數額的大小；3、資金投入或回收的（時間）特點；、資金投入或回收的（時間）特

3、點；4、資金周轉速度的快慢。、資金周轉速度的快慢。3.1貨幣的時間價值 通常用貨幣單位來計量工程技術方案的得失，我們在經濟分析時就主要通常用貨幣單位來計量工程技術方案的得失，我們在經濟分析時就主要著眼于方案在著眼于方案在整個壽命期整個壽命期內的貨幣收入和支出的情況，這種貨幣的收入和支內的貨幣收入和支出的情況，這種貨幣的收入和支出稱之為現(xiàn)金流量出稱之為現(xiàn)金流量(Cash Flow)。 有一個總公司面臨兩個投資方有一個總公司面臨兩個投資方案案A A、B B，壽命期都是，壽命期都是4 4年，初始投年，初始投資也相同，均為資也相同，均為1000010000元。實現(xiàn)利元。實現(xiàn)利潤的總數也相同，但每年數字

4、不同，潤的總數也相同，但每年數字不同，具體數據見表。如果其他條件都相具體數據見表。如果其他條件都相同，我們應該選用那個方案呢同，我們應該選用那個方案呢? ?3.1貨幣的時間價值3000 3000 3000 方案方案D 3000 3000 30006000 1 2 3 4 5 6方案方案C 0 1 2 3 4 5 60 3000 3000 3.1貨幣的時間價值貨幣的支出和收入的經濟效應不僅與貨幣量的大小有貨幣的支出和收入的經濟效應不僅與貨幣量的大小有關，而且與發(fā)生的時間有關。由于貨幣的時間價值的存在，關，而且與發(fā)生的時間有關。由于貨幣的時間價值的存在，使不同時間上發(fā)生的現(xiàn)金流量無法直接加以比較，

5、這就使使不同時間上發(fā)生的現(xiàn)金流量無法直接加以比較，這就使方案的經濟評價變得比較復雜了。方案的經濟評價變得比較復雜了。3.1貨幣的時間價值 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 400 方案F 方案E 200 200 200 100 200 200 300 300 400 從現(xiàn)金流量的絕對數看，從現(xiàn)金流量的絕對數看，方案方案E比方案比方案F好；但從貨好；但從貨幣的時間價值看，方案幣的時間價值看，方案F似似乎有它的好處。如何比較乎有它的好處。如何比較這兩個方案的優(yōu)劣就構成這兩個方案的優(yōu)劣就構成了本課程要討論的重要內了本課程要討論的重要內容。這種考慮了貨幣時間容。這種考慮了貨幣時間價值的經濟分析方

6、法，使價值的經濟分析方法，使方案的評價和選擇變得更方案的評價和選擇變得更現(xiàn)實和可靠?，F(xiàn)實和可靠。3.2利息公式（一）相關概念（一）相關概念1、利息、利息一定數額貨幣經過一定時間后資金的絕對增值，用一定數額貨幣經過一定時間后資金的絕對增值，用“I”表示。表示。廣義的利息廣義的利息信貸利息信貸利息經營利潤經營利潤2、利率、利率利息遞增的比率，用利息遞增的比率，用“i”表示。表示。 每單位時間增加的利息每單位時間增加的利息 原金額（本金）原金額（本金）100%利率利率(i%)= 計息周期通常用年、月、日表示，也可用半年、季度來計算，用計息周期通常用年、月、日表示，也可用半年、季度來計算，用“n”表示

7、。表示。3.2 利息公式PniI 3.2.1利息的種類利息的種類1、單利計息、單利計息1. 單利單利每期均按原始本金計息（利不生利）每期均按原始本金計息（利不生利） 設：設：I利息利息 P本金本金 n 計息期數計息期數 i利率利率 F 本利和本利和則有則有)1 (inPF 例題例題1：假如以年利率：假如以年利率6%借入資金借入資金1000元元,共借共借4年年,其其償還的情況如下表償還的情況如下表年年年初欠款年初欠款年末應付利息年末應付利息年末欠款年末欠款年末償還年末償還110001000 0.06=6010600210601000 0.06=6011200311201000 0.06=6011

8、800411801000 0.06=60124012403.2利息公式2、復利計息、復利計息 將本期的利息轉為下期的本金，下期將按本利和的總額計息，將本期的利息轉為下期的本金，下期將按本利和的總額計息，這種計息方式稱為復利（計息）這種計息方式稱為復利（計息）利滾利利滾利P(1+i)2P(1+i)n-1 P(1+i)n 1 PPiP(1+i)2P(1+i)P(1+i) in1P(1+i)n-2P(1+i)n-2 i n P(1+i)n-1P(1+i)n-1 iF=P(1+i)nI=F-P=P(1+i)n-1 例題例題2：假如以年利率假如以年利率6%借入資金借入資金1000元元,共借共借4年年,其

9、償其償還的情況如下表還的情況如下表年年10001000 0.06=601060010601060 0.06=63.601123.6001123.601191.0201191.021262.481262.481123.60 0.06=67.421191.02 0.06=71.463.2.2等值(Equivalent Value)的含義 貨幣等值是考慮了貨幣的時間價值。貨幣等值是考慮了貨幣的時間價值。 即使金額相等，由于發(fā)生的時間不同，其價值并不一定相等；即使金額相等，由于發(fā)生的時間不同，其價值并不一定相等； 反之，不同時間上發(fā)生的金額不等，其貨幣的價值卻可能相等。反之，不同時間上發(fā)生的金額不等，

10、其貨幣的價值卻可能相等。貨幣的等值包括貨幣的等值包括三個因素三個因素 金額金額金額發(fā)生的時間金額發(fā)生的時間利率利率在經濟活動中，等值是一個非常重要的概念，在方案評價、比較中廣泛應用。在經濟活動中，等值是一個非常重要的概念，在方案評價、比較中廣泛應用。3.2.2等值(Equivalent Value)的含義478.20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 年年 300 i=6% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 年年 i=6% 同一利率下不同時間的貨幣等值同一利率下不同時間的貨幣等值 1、一次支付復利公式一次支付復利公式第一年年初第一年年初第一年年末第一年年末第二年年末第二年年末第第n年年末年

11、年末P P +Pi=P(1+i)P (1+i)+P(1+i)i=P(1+i)2P(1+i)n1、一次支付復利公式一次支付復利公式 在第一年年初，以年利率在第一年年初，以年利率6%投資投資1000元，則元，則到第四年年末可得本利和若干？到第四年年末可得本利和若干？分析分析2、一次支付現(xiàn)值公式案例案例2、一次支付現(xiàn)值公式 為了在第四年年末得到為了在第四年年末得到1262.50元，按年利率元，按年利率6%計算，現(xiàn)在必須投資多少？計算，現(xiàn)在必須投資多少？分析分析3、等額支付系列復利公式案例案例3、等額支付系列復利公式A1累累 計計 本本 利利 和和 （ 終終 值值 ）等額支付值等額支付值年末年末23A

12、AnAAA+A(1+i)A+A(1+i)+A(1+i)2A1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)n-1=F3、等額支付系列復利公式即即 F= A+A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)n-1 (1) 以以(1+i)乘乘(1)式式,得得F(1+i)= A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)n-1 +A(1+i)n (2) (2) (1) ，得，得 F(1+i) F= A(1+i)n A),/(1)1 (niAFAiiAFn3、等額支付系列復利公式 連續(xù)連續(xù)5年每年年末借款年每年年末借款1000元，按年利率元，按年利率6%計算，計算，第第5年年末累積借款若干？年年末累積借款若干？分析分析

13、%61%6110005iiAFn1)1(6371. 510001 .5637),/(niAFA)5%,6 ,/(1000AF6371. 510001 .56374、等額支付系列積累基金公式案例案例4、等額支付系列積累基金公式 如果要在第如果要在第5年年末得到資金年年末得到資金1000元，按年利率元，按年利率6%計算，從現(xiàn)在起連續(xù)計算，從現(xiàn)在起連續(xù)5年每年必須存儲若干？年每年必須存儲若干？分析分析5、等額支付系列資金恢復公式案例案例根據F = P(1+i)F = P(1+i)n n= = P(F/P,i,n)P(F/P,i,n)F =A F =A (1+i)(1+i)n n 1 1i i ),/

14、(1)1 ()1 (niPAPiiiPAnnP(1+i)P(1+i)n n =A =A (1+i)(1+i)n n 1 1i i 5、等額支付系列資金恢復公式、等額支付系列資金恢復公式5、等額支付系列資金恢復公式 如果現(xiàn)在以年利率如果現(xiàn)在以年利率5%投資投資1000元，在今后的元，在今后的8年中，年中，每年年末以相等的數額提取回收本利和，則每年年末可以每年年末以相等的數額提取回收本利和，則每年年末可以等額提取若干？等額提取若干？分析分析6、等額支付系列現(xiàn)值公式案例案例6、等額支付系列現(xiàn)值公式 按年利率按年利率6%計算，為了能夠在今后計算，為了能夠在今后5年中每年年末得年中每年年末得到到100萬

15、元的利潤，現(xiàn)在應投資若干？萬元的利潤，現(xiàn)在應投資若干？分析分析7.均勻梯度系列公式均勻梯度系列公式均勻增加支付系均勻增加支付系列列A A1 1+(n-1)G+(n-1)GA A1 1A A1 1+G+GA A1 1+2G+2GA A1 1+(n-2)G+(n-2)G0 1 2 3 4 5 n1 nA A1 10 1 2 3 4 5 n1 n（1）A A2 20 1 2 3 4 5 n1 n （3）（2）（n n2 2）G GG G0 1 2 3 4 5 n1 n2G2G3G3G4G4G（n n1 1）G GA2= G1n ii（A/F,i,nA/F,i,n）圖（圖（2）的將來值）的將來值F2為

16、為:F2=G（F/A,i,n1）+G（F/A,i,n2）+ + G（F/A,i,2）+ G（F/A,i,1）=G （ 1+i）n1 1i（ 1+i）n2 1iGG（ 1+i）2 1i i（ 1+i）1 1Gi+（ 1+i）1 1G（1+i）n-1+（1+i）n-2 + +（1+i）2+（1+i）1（n1）1 =Gi （1+i）n-1+（1+i）n-2 + +（1+i）2+（1+i）1+1 =iGn Gi=iG （ 1+i）n 1in GiiG （ 1+i）n 1n GiA2= F2 （ 1+i）n1 =iii （ 1+i）n1 Gn GiGn G = ii（ 1+i）n1 = ii（A/F,i

17、,n）=G（A/F,i,nA/F,i,n）1n ii梯度系數梯度系數（A/G,i,nA/G,i,n）A A1 10 1 2 3 4 5 n1 n（1）A A2 20 1 2 3 4 5 n1 n （3）A=AA=A1 1+A+A2 20 1 2 3 4 5 n1 n （4） 注：如支付系列為均勻減少，則有注：如支付系列為均勻減少，則有 A=A1A28.運用利息公式應注意的問題1、實施方案所需的初始投資，假定發(fā)生在方案的壽命期初（期初慣例）；、實施方案所需的初始投資，假定發(fā)生在方案的壽命期初（期初慣例）；2、方案實施過程中的經常性支出，假定發(fā)生在計息期（年）末（期末慣例）；、方案實施過程中的經常

18、性支出，假定發(fā)生在計息期（年）末（期末慣例）；3、本年的年末即是下一年的年初；、本年的年末即是下一年的年初；4、P是在當年度開始時發(fā)生；是在當年度開始時發(fā)生；5、F是在當年以后的第是在當年以后的第n年年末發(fā)生；年年末發(fā)生；6、A是在考察期間各年年末發(fā)生。當現(xiàn)金流量系列包括是在考察期間各年年末發(fā)生。當現(xiàn)金流量系列包括P和和A時，系列的時，系列的第一個第一個A是在是在P發(fā)生一年后的年末發(fā)生；當現(xiàn)金流量系列包括發(fā)生一年后的年末發(fā)生；當現(xiàn)金流量系列包括F和和A時，系時，系列的最后一個列的最后一個A是和是和F同時發(fā)生。同時發(fā)生。3.2.4名義利率和有效利率名義利率和有效利率的概念。名義利率和有效利率的概

19、念。當當利率的時間單位利率的時間單位與與計息期計息期不一致時，不一致時，有效利率有效利率資金在計息期發(fā)生的實際利率。資金在計息期發(fā)生的實際利率。例如：每半年計息一次，每半年計息期的利率為例如：每半年計息一次，每半年計息期的利率為3%3%， 則則 3%3%（半年）有效利率（半年）有效利率如上例為如上例為 3%3%2=6% 2=6% （年）名義利率（年）名義利率（年）名義利率（年）名義利率=每一計息期的有每一計息期的有效利率效利率一年中計息期數一年中計息期數 1、離散式復利111nnnrppnrPi 例：現(xiàn)投資例：現(xiàn)投資10001000元，時間為元，時間為1010年，年利率為年，年利率為8%8%，

20、每季度計息一，每季度計息一次，求次，求1010年末的將來值。年末的將來值。 F=？1000 0 1 2 3 40 季度季度每每季度季度的有效利率為的有效利率為8%4=2%，用年實際用年實際利率求解利率求解:年有效利率年有效利率i為：為： i=（ 1+ 2%）41=8.2432% F=1000 F=1000（F/PF/P，8.2432%8.2432%，1010）=2208=2208（元）（元）用季度用季度利率求解利率求解: F=1000 F=1000（F/PF/P，2%2%，4040）=1000=10002.2080=22082.2080=2208（元）（元）解：解：F=1000(F/P,1%,

21、4F=1000(F/P,1%,43)3) =1000(F/P,1%,12) =1000(F/P,1%,12) =1127 =1127元元答案答案: C F=？1000 0 1 2 3 12 季度季度解解:例例: 已知某項目的計息期為月已知某項目的計息期為月,月利率為月利率為8 ,則項目則項目的名義利率為的名義利率為( ) 。 A. 8% B. 8 C. 9.6% D. 9.6解解:（年）名義利率（年）名義利率=每一計息期的每一計息期的有效利率有效利率一年中計息期數一年中計息期數 所以所以 r=128 =96 =9.6%答案答案: C2、連續(xù)式復利 按瞬時計息的方式稱為連續(xù)復利。在這種情況下，復

22、利可以在一按瞬時計息的方式稱為連續(xù)復利。在這種情況下，復利可以在一年中按無限多次計算，年有效利率為：年中按無限多次計算，年有效利率為：式中：式中：e e自然對數的底，其數值為自然對數的底，其數值為2.718282.71828名義利率和有效利率下表給出了名義利率為下表給出了名義利率為12%分別按不同計息期計算的實際利率：分別按不同計息期計算的實際利率： 名義利率的實質：當計息期小于一年的利率化為年利率名義利率的實質：當計息期小于一年的利率化為年利率時，忽略了時間因素，沒有計算利息的利息時，忽略了時間因素，沒有計算利息的利息 。名義利率和有效（年）利率的應用：名義利率和有效（年）利率的應用：計息期

23、與支付期相同計息期與支付期相同可直接進行換算求得可直接進行換算求得計息期短于支付期計息期短于支付期運用多種方法求得運用多種方法求得1)計息期長于支付期計息期長于支付期按財務原則進行計息，即現(xiàn)金流入額放在期初，按財務原則進行計息，即現(xiàn)金流入額放在期初，現(xiàn)金流出額放在計息期末，計息期分界點處的支付保持不變?，F(xiàn)金流出額放在計息期末，計息期分界點處的支付保持不變。3.3等值計算實例等值計算實例3.3.1計息期為一年的等值計算計息期為一年的等值計算從利息表上查到，當從利息表上查到，當n=9，1.750落在落在6%和和7%之間。之間。%41.6%1)838.1689.1750.1689.1(%6i6%的表

24、上查到的表上查到1.6897%的表上查到的表上查到1.839從從用直線內插法可得用直線內插法可得相同相同有效利率有效利率名義利率名義利率直接計算直接計算例：當利率為多大時，現(xiàn)在的例：當利率為多大時，現(xiàn)在的300300元等值于第元等值于第9 9年年末的年年末的525525元？元？解：解： F=P(F/P,i,n)525=300(F/P,i,9)(F/P,i,9)=525/300=1.750 A=F（A/F,8%,6）=10000 0.1363=1363 (元元/年年)計算表明，當利率為計算表明，當利率為8%8%時，從現(xiàn)在起連續(xù)時，從現(xiàn)在起連續(xù)6 6年年1363 1363 元的年末等額元的年末等額

25、支付與第支付與第6 6年年末的年年末的10000 10000 等值。等值。解：解：10000 0 1 2 3 4 5 6 年年 i=8% 0 1 2 3 4 5 6 年年 A=？ i=8% 3.3.2計息期短于一年的等值計算計息期短于一年的等值計算 1.計息期和支付期相同計息期和支付期相同 例：年利率為例：年利率為12%，每半年計息一次，從現(xiàn)在起，連續(xù)，每半年計息一次，從現(xiàn)在起，連續(xù)3年，每半年為年，每半年為100元的等額支付，問與其等值的第元的等額支付，問與其等值的第0年的現(xiàn)值為多大？年的現(xiàn)值為多大？ 解：每計息期的利率解：每計息期的利率 %62%12i（每半年一期）（每半年一期）n=(3年

26、年) (每年每年2期期)=6期期P=A（P/A，6%，6）=100 4.9173=491.73元元計算表明，按年利率計算表明，按年利率12%12%，每半年計息一次計算利息，從現(xiàn)在起連續(xù)，每半年計息一次計算利息，從現(xiàn)在起連續(xù)3 3年每年每半年支付半年支付100100元的等額支付與第元的等額支付與第0 0年的現(xiàn)值年的現(xiàn)值491.73491.73元的現(xiàn)值是等值的。元的現(xiàn)值是等值的。%56.1911218. 011112nnri 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 季度季度 F=？100010001000o 第一種方法：取一個循環(huán)周期，使這個周期的年末支付轉變成第一種方法：取一個

27、循環(huán)周期，使這個周期的年末支付轉變成等值的計息期末的等額支付系列，其現(xiàn)金流量見下圖：等值的計息期末的等額支付系列，其現(xiàn)金流量見下圖： 0 1 2 3 4239 239239 2390 1 2 3 410001000將年度支付轉化為計息期末支付（單位：元）將年度支付轉化為計息期末支付（單位：元） A=F （A/F，3%，4） =1000 0.2390=239元元（A/F，3%，4） 239F=？季度季度 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 經轉變后計息期與支付期重合（單位：元）經轉變后計息期與支付期重合（單位：元）F=A（F/A，3%，12）=239 14.192=3392

28、元元第二種方法：將名義利率轉化為年有效利率，以一年為基礎進行計算。將名義利率轉化為年有效利率，以一年為基礎進行計算。%55.121412. 01114nnri由此可得由此可得 FA，1255 %，3F=1000( 33923 )=3392元元通過三種方法計算表明，按年利率通過三種方法計算表明，按年利率12%，每季度計息一次，從現(xiàn)在起連續(xù)三年的每季度計息一次，從現(xiàn)在起連續(xù)三年的1000元等額年末借款與第三年年末的元等額年末借款與第三年年末的3392元等值。元等值。計息期長于支付期計息期長于支付期 通常規(guī)定存款必須存滿整個一個計息期時才計算利息，這就是說，通常規(guī)定存款必須存滿整個一個計息期時才計算利息，這就是說，在計息期間存人的款項在該期不計算利息。要到下一期才計算利息。在計息期間存人的款項在該期不計算利息。要到下一期才計算利息。因此，計算期間的存款應放在期末，而計算期間的提款應放在期初。因此，計算期間的存款應放在期末，而計算期間的提款應放在期初。 例例:假定現(xiàn)金流量是：第假定現(xiàn)金流量是：第6年年末支付年年末支付300元，第元，第9、10、11、12年末年末各支付各