高數(shù)上期末試題及標(biāo)準(zhǔn)答案

1、1、2、3、4、5、高等數(shù)學(xué)期末及答案、填空題(每小題 3分，本題共2lim(1 3x)7時(shí)，f(x)15分)曲線yln若 f(x)dx二、單項(xiàng)選擇題1、若函數(shù)f (x)A、0xe2x在x 0處連續(xù).0 dxx,則 dyx在點(diǎn)(0, 1)處的切線方程是sin 2x(每小題B、C, C為常數(shù)，則f (x)3分，本題共15分)limx 0f(x)(C、1D、不存在2、下列變量中，是無(wú)窮小量的為, 1 ,c、A. ln (x0 )B.xx 2 ,-27(x 2)x 4ln x(x1) C.cosx (x0)D.3、滿(mǎn)足方程f (x) 0的x是函數(shù)y f(x)的(極小值點(diǎn).間斷點(diǎn)4、下列無(wú)窮積分收斂的

2、是(A、 ° sin xdxB、02x ,dxC、-dx xD、05、設(shè)空間三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為M (1,1,1)、A (2,2,1)、 B (2,1,2)。則AMB =25A、B、C、三、計(jì)算題(每小題7分，本題共56分)D、1、求極限2、求極限lim 4X2x 0 sin 2x11lim(-二Mx 0 x ex 1cosxe t dt3、求極限lim 12 x 0 x24、設(shè) y e5 ln(x V1 x2),求 yx ln(1 t2) /d2y5、設(shè)f y(x)由已知 '),求y arctant dx，、1 . ,2 ,6、求不te積分一2sin( 3)dxx x7、求不定

3、積分ex cosxdx1x x 01ax28、設(shè) f(x) 1 e，求 °f(x 1)dxx 01 x四、應(yīng)用題(本題7分)2 2求曲線y x與x y所圍成圖形的面積 A以及A饒y軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積。五、證明題(本題7分)1、， 一若f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)f(1) 0, f (-)1,證明:在(0,1)內(nèi)至少有一點(diǎn)，使f ( )1。填空題（每小題 3分，本題共15分)1、e62、k =1 .3、4、二.單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共1、 D 2、 B 3、 C4、B5、.計(jì)算題（本題共 56分，每小題1.解:lim、4 x 2sin 2x2.解

4、lim(1x 0 x3、解:limcosxe14、解:5、解:dydx參考答案y 1 5、f(x) 2 cos2x15分)7分)sin 2x(, 4Ilim2x2)sin 2x( 42)x(ex 1)limex 1ex 1 xexlim x 0 exx exet2dtlxm02cos xsin xe2x12e11 t22t.1(12t2d2y dx212t22t t21 t24t36、解：-sin(-3)dx7、 解:2212csin(- 3)d(- 3) - cos(- 3) C7分1x xe 24分.7分(4分)(7分)(7分)excosxdxcosxdexxe cosxexsinxdxe

5、x cosxsin xdexxxxe cosx e sin x e cosxdx ex(sin x cosx) C01f (x)dx f (x)dx1o218、解：f (x 1)dx f (x)dx010 dx1 dx11 ex01 xx 01 ln(1 e ) 1 In 21 ln( 1 e 1) ln(1 e)0ex11(1 rv)dx ln(1 x)0四. 應(yīng)用題（本題7分）解：曲線y x2與x y2的交點(diǎn)為（1,1）,于是曲線yy2所圍成圖形的面積 A為x2)dx -x31212 ,12-x 03A繞y軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積為:五、證明題（本題證明：設(shè)F（x）4 .y dy7分)f

6、(x) x,5 y53101 1顯然F(x)在,1上連續(xù)，在(一 ,1)內(nèi)可導(dǎo)，2 2r_11八且F(一)0,F(1) 1 0.221 一零點(diǎn)定理知存在 X1 1,1,使F（x1） 0.由F（0） 0 ,在0,x/上應(yīng)用羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)(0,Xi)(0,1)使 F ( ) f ( ) 1 0,即 f ( ) 1 7 分2006-2007第一學(xué)期高數(shù)試題、填空題（共5小題，每小題3分，共15分）1）函數(shù)f x M x 1arcsin-1的定義域?yàn)?2 x 4或x 0。,31 cos3 x2) lim2 一x 0v23)設(shè) y x xe，則 y x lnexe1 0x.4)設(shè) y 2 a

7、0 , dy a xdx22.a xarcsin C 。aA、f x3x2BC、f xarccosx3)下列函數(shù)中，哪一個(gè)不是2A、sin xBC 、 cos2xD24)設(shè) P ln xdx , Q1(D )、選擇題（共5小題，每小題4分，共20分）4x2 5x 11)極限 lim ( D )x 2x 3A、2 B 、2 C 、2 D 、不存在2）下列函數(shù)f x在 1,1上適合羅爾中值定理?xiàng)l件的是（ B ）、f xx2 xD 、f xCOt-x2sin 2x的原函數(shù)(C )2、 cos x22、5sin x 4cos xln2 xdx , RJ1x2dx ,則下列不等式正確的是1 1A、 P

8、Q RB5）設(shè)上連續(xù),dxx dxx dx、bf baf abf x dx、計(jì)算下列各題（共4題,a每小題dx xf x共24分）sin x1）計(jì)算極限lim x 0xcosx ex解：原式則。sin x xcosxxcosx elxm0sin x xcosx3xlimxsin x3x2x2）設(shè)參數(shù)方程ln sint . 1sin2t1 sin2t求5dx2解：dx2sintcost2；1 sin2tsint,1 sin2tcostd2y dx2cost1cost. 2sin t.1 sin2t3）計(jì)算不定積分1 x , 2xlndx1 x解：原式 x2 ln21 x1 x 12x2 xdx2

9、ln112x3dxx2 ln2x22x 2x2 lnx2 lndx1 x四、解答下列各題1）在曲線y解：設(shè)曲線2x23ln 1（共2題,dxln每小題7分，共14分）1上求一點(diǎn)M，使它到點(diǎn)M。5,0的距離最小。 21上一點(diǎn)坐標(biāo)為a , a 1 ,它到點(diǎn)M 0 5 , 0的距離的平方為-222f a a 5 a 1 ,我們只須在, 求f a得最小值_2,3_ 一，2一f a 2 a 5 4a a 1 4a 6a 10 a 1 4a 4a 10當(dāng)a 1時(shí)，f a 0,此時(shí)，f a取最小值。所求點(diǎn)為1 , 22）設(shè)由y cosx , y 0 , x 0在第一象限圍成的圖形為D ,其面積為 。又曲線y

10、 asinx a 0將D分為左右兩部分 D1D2,其面積分別為 S1 , S2,求a的值使 S：S2 2:1。解：002 cosxdx sinx021又因?yàn)?S1 S2 s0 1, S1：S2 2:1所以sS1arccot acosx0asin x dxa cos arccota aarc cotasinx acosx 0 sin arc cotaa5121 3x b x b五、（本題 8 分）設(shè) f x 有無(wú)窮間斷點(diǎn) x1 0 ,有可去間斷點(diǎn)x a x 1，因止匕a 0 , b 0 , b 1解：因?yàn)閤1 0是無(wú)窮間斷點(diǎn)，所以x 0時(shí)，f x又因?yàn)閤2 1是可去間斷點(diǎn)，而x1 時(shí)，x a x

11、 10,所以，當(dāng)x 1時(shí),六、（本題9分）設(shè)f xe2x 1x2有 1 3x b x bx 0,討論f x , f x在x 0處的連續(xù)性。x 0解：因?yàn)閘im f xx 0limx 02xe 1f 0 ,所以f x在x 0處的連續(xù)。所以（本題10分）設(shè)試證明:證明：因?yàn)檫B續(xù)。2xe2x2xe 1lim2h2hh°,又因?yàn)閘imx 0當(dāng)x x0時(shí),0處連續(xù)。在a , b內(nèi)連續(xù),可導(dǎo)且f x0x xfx0b內(nèi)也單調(diào)增。f x f x0 limx 0 xx0xX02 x0lhm0lxm0 f2he12h2limh2h 0單調(diào)增,x0x02xe2x limx 0x0x0 ,所以x02e2h

12、22h2xe 12 x在以x , x0為端點(diǎn)的閉區(qū)間上對(duì)函數(shù)之間的一點(diǎn)使得f-x一f-x0-x運(yùn)用拉格朗日中值定理，至少存在f x0x0x。時(shí)，xx x0f x fa , x0時(shí),0;當(dāng)x處連續(xù)。所以x0x在x x,b 時(shí)，f xa , b內(nèi)也單調(diào)增。0,又因?yàn)閤0、填空題（本題共5小題，每小題4分，共20分）.(1)1x2lim (cosx)xx 0(2)曲線xlnx上與直線x y 10平行的切線方程為(3)已知(ex) xex,且 f(1) 0,則 f(x)2 xf(x)y x 11 (ln x)22曲線3x1的斜漸近線方程為1 y -x3(5)y微分方程臺(tái)（x 1a的通解為y 3(x71

13、心 C(x 1)2.二、選擇題（本題共5小題，每小題4分，共20分）.（1）下列積分結(jié)果正確的是（ D ）(A)1 1 -dx 01 x(C)(2)函數(shù)1 -4 dx1 xf(x)在a,b內(nèi)有定義，其導(dǎo)數(shù)1 1 Fdx 2(B)1x工dx(D)1 , xf'(x)的圖形如圖1-1所示，則(D )(3)(5)(A)(B)(C)(D)”?2都是極值點(diǎn).x1, f(x1) , x2, f (x2)都是拐點(diǎn).X是極值點(diǎn).，x2, f(x2)是拐點(diǎn).x1, f (x1)是拐點(diǎn)，x2是極值點(diǎn).函數(shù)yC1exC2e2x xxe滿(mǎn)足的一個(gè)微分方程是(A)2y2y3xex.x3xe .設(shè)f(x)在x0處

14、可導(dǎo)，則(A) f xf Xo(B) fXo卜列等式中正確的結(jié)果是(B) y(D) y f x h(C) 0.2y2y3ex.x3e .(D)不存在.(f (x)dx) f (x).(A)d f(x)dx f (x).(C)(B)(D)三、計(jì)算題(本題共4小題，每小題6分，共24分)df(x) f (x).f (x)dx f (x).x lim (1.求極限 1 x1 lnx).解lxm1(六六)ln xxln x lim x 1 (x 1)ln xln xlimx 1 x 1 , ln xx2分11m1x ln xx 1 xln xx ln sin tlimx 11 ln x1 ln x 1

15、dy d2y2.方程y 8st tsint確定y為x的函數(shù)，求dx與dx2.dy y (t) tsint, 解 dx x(3分)2d y (tsint)2sinttant tsint.dx x(t) (6 分)arctan x , dx3. 4.計(jì)算不定積分Jx(1 x).解：手jdx 2吧喈42分-x(1 x)(1 x)=2 arctan Vxd arctan &2分(arctan x2 C30,4.計(jì)算定積分3 x解01門(mén)分）1 -Jxdx30(1.1 x)dx(33 3(13x)2(6分)四、解答題（本題共 4小題，共29分）1.（本題6分）解微分方程 yLc2x5y 6y xe

16、解：特征方程r2-5r 6 01分特征解r1 2, r2 3.1分次方程的通解Y =C1e2x C2e3x.1分八*2x八令 yx(b0x b1)e1 分代入解得b0L句 1.2所以 y* x( - x 1)e2x1 分2所以所求通解 y C1e2x C2e3x x(1x 1)e2x.22.（本題7分）一個(gè)橫放著的圓柱形水桶（如圖4-1 ）,桶內(nèi)盛有半桶水，設(shè)桶的底半徑為 R ,水的比重為 ，計(jì)算桶的一端面上所受的壓力.解：建立坐標(biāo)系如圖P 0 2 gx. R2 x2dx2,叱(R2-R33xj 32Rb 20 f (x)dx 13.(本題8分)b設(shè)f(x)在a,b上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，f(a)f(

17、b)xf(x)f (x)dx試求ab解：xf (x) f (x)dxaxf (x)df (x)一 2xdf (x)=xf2(x)】a=0 21212f 2(x)dx2 分1n x的切線，該切線與曲線y 1nx及x軸圍成平i分4.(本題8分)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線 面圖形D.(1) (3)求D的面積A;、, y所以該切線的方程為一 x. eA平面圖形D的面積10(ey、，1,ey)dy - e 1.1，八 yXJ一，LLE ,A -八、，(2)切線 e與X軸及直線x e所圍成的三角形繞直線x e旋轉(zhuǎn)所得的圓錐體積為曲線y 1nx與X軸及直線Xe所圍成的圖形繞直線Xe旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積為1.V20 (

18、e ey) dy-1分因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為11V V1V2 - e (e ey) dy30五、證明題(本題共 1小題，共7分).X1.證明對(duì)于任意的實(shí)數(shù) X, e 1 X.(5e2612e 3).1 分eX 1 x X2 1 x解法一：2X解法二：設(shè)f(x) e x 1.則f因?yàn)?f (x) ex 1當(dāng)x 0時(shí)，f (x) 0. f(x)單調(diào)增加,當(dāng)x 0時(shí)，f (x) 0. f(x)單調(diào)增加,0.1分1分f(x) f(0) 0f(x) f(0) 0.所以對(duì)于任意的實(shí)數(shù) X, f(x) 0.即ex 1 X1解法三：由微分中值定理得，XX 0e 1 e e e (x 0)X當(dāng) x 0時(shí)，e 1

19、, e 1X當(dāng) x 0時(shí)，e 1, e 1e x,其中位于0到x之間。X。2X。 2所以對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x, ex1 x1分期末高數(shù)期末考試-、單項(xiàng)選擇題(本大題有4小題，每小題4分,1 設(shè) f ( x) cos x (x sin x ),貝U 在 x0處 有(A) f (0) 2(B) f (0) 1 (C) f (0) 0、一 1 X設(shè)(x) ，(x) 3 33/x,則當(dāng) x 1 時(shí)(2.1 x(A) (x)與(x)是同階無(wú)窮小，但不是等價(jià)無(wú)窮??；是等價(jià)無(wú)窮小；共16分).(D) f(x)不可導(dǎo).).(B) (x)與(x)(C) (x)是比(x)高階的無(wú)窮小;無(wú)窮小.(D) (x)是比(x)

20、高階的X3.若F(X) 0(2t x)fdt ,其中f (x)在區(qū)間上(1二階可導(dǎo)且 f (x) 0,則().(A)函數(shù)F(x)必在x 0處取得極大值;(B)函數(shù)F(x)必在x 0處取得極小值;(C)函數(shù)F(x)在x 0處沒(méi)有極值，但點(diǎn)(0, F(0)為曲線y F(x)的拐點(diǎn)；(D)函數(shù)F(x)在x 0處沒(méi)有極值，點(diǎn)(0,F(0)也不是曲線y F(x)的拐點(diǎn)。4 設(shè)f (x)是連續(xù)函數(shù)，且 .22xx(A) 2(B) 2f (x)2(C) x5.、填空題(本大題有4小題，每小題2lim (13 x) sin xx 012 0 f (t)dt ,則 f (x)(D) x 2.4分，共16分)7.

21、2 n 1 、 cos )n已知cosx是f(x)的一個(gè)原函數(shù)6. x22 2lim (cos - cos L n n n n8.2.x arcsin x1 1 x221 dx解答題(本大題有5小題,每小題8分，共40分)sin(xy)1確定，求y(x)以及y、1求 3 f(x)dx.9.設(shè)函數(shù)y求10. x(1設(shè) f (x)11.y(x)由方程ex7-dx.x )xxe ,V2xx2,12.設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù),g(x)1f(xt)dt lim fix) a0，且x 0 x , A為常數(shù).求19的解.g (x)并討論g(x)在x 0處的連續(xù)性.- y13 .求微分方程xy 2y xlnx滿(mǎn)足四

22、、解答題(本大題10分)14 .已知上半平面內(nèi)一曲線 y y(x) (x 0),過(guò)點(diǎn)(01),且曲線上任一點(diǎn) M(x0,y0)處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與x軸、y軸、直線x x0所圍成 面積的2倍與該點(diǎn)縱坐標(biāo)之和，求此曲線方程.五、解答題(本大題10分)15 .過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y 1nx的切線，該切線與曲線y 1nx及x軸圍成平面圖形D.(1)求D的面積A; (2)求D繞直線x = e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 V.六、證明題(本大題有2小題，每小題4分，共8分)16 .設(shè)函數(shù)f(x)在0，1上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明對(duì)任意的q 0,1, q1f (x) d x q f (x)dx00f ( x)

23、d x 0 f (x)cos x dx 017 .設(shè)函數(shù)f (x)在0，上連續(xù)，且0,0證明：在0,內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)1 , 2 ,使f ( J f( 2) 0.(提xF(x) f(x)dx示：設(shè)0)解答一、單項(xiàng)選擇題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)1、D 2、A 3、C 4、C、填空題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)1 ,cosx、26() C 一一5. e . 6. 2 x .7.2.8.3三、解答題(本大題有5小題，每小題8分，共40分)9.解：方程兩邊求導(dǎo)ex y (1 y ) cos(xy)(xyy) 0y (x)x 0, y10.解：u x7ex y y cos

24、(xy) ex y x cos(xy) 0y(0)17x6dx du盾中 1(1 u)”1J 2原式 du (- )du7 u(1 u) 7 u u 11-(ln |u | 2ln |u 1|) c1727ln | x | ln |1 x | C7711.解:f (x)dx xe xdx2x x2dx3300x 123xd( e )0 J (x 1) dxsin )xe x e xcos2 d (令x 1322e3 112.解：由 f(0) 0,知g(0) 0。g(x)1xtf (xt )dt0xu f (u)du0x(x0)g (x)xxf (x) f (u)du02x(x0)g(0)limxf (u)du02xlimf(x)xf (x) g(x)X 0 2xxf (u)du0-2 xAlA萬(wàn)，9門(mén)）在乂 0處連續(xù)。dy13.解：dx2 yx£dxxIn x3dx e xIn xdxC)1 . xln31 -y(1) ,c9Cx 2四、解答題（本大題1% y - xln310分)x14.解：由已知且