2020春新教材高中數(shù)學第七章三角函數(shù)7.1任意角的概念與弧度制7.1.1角的推廣教案新人教B版第三冊

1、7.1.1 角的推廣新(教師獨具內(nèi)容)課程標準：了解任意角的概念、理解象限角、終邊相同的角的概念并會用集合符號表示這些角.教學重點：理解正角、負角、零角、象限角的概念，掌握終邊相同的角的表示方法.教學難點：用集合符號表示終邊相同的角.I核心概念掌握I【知識導學】知識點一角的相關(guān)概念(1) 一條射線繞其端點旋轉(zhuǎn)到另一條射線所形成的圖形稱為角.這兩條射線分別稱為角的 回始邊和口2終邊.(2)按照角的旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如下三類:名稱定義圖示正角一條射線繞其端點按照口 03逆時針方向旋轉(zhuǎn)而成的角負角按照04順時針方向旋轉(zhuǎn)而成的角零角一條射線口5沒有旋轉(zhuǎn)時形成的角口 -用用知識點二象限角(1)若角的頂點

2、與坐標原點重合，角的始邊落在口 巴x軸的正半軸上，則角的口 終邊在第幾 象限，就把這個角稱為第幾象限角.(2)若角的終邊在口生坐標軸上,則認為這個角不屬于任何象限.知識點三終邊相同的角設“表示任意角，所有與角 a終邊相同的角，包括 a本身構(gòu)成一個集合，這個集合可記為 S= 3 | 3 a + k 360° , kC Z.【新知拓展】對終邊相同的角的理解(1)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同；(2) kez,即k為整數(shù)，這一條件不可少；(3)終邊相同的角的表示不唯一.行&國頓1 .判一判(正確的打“，”，錯誤的打“X”)(1)研究終邊相同的角的前提條件是角的頂點在

3、坐標原點.()(2)銳角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是銳角.()(3)象限角與終邊落在坐標軸上的角的表示形式是唯一的.()答案 (1) X (2) V (3) X2 .做一做(1)與600°角終邊相同的角可表示為()A. 220° + k 360° ( kC Z)B. 240° + k - 360° ( kC Z)C. 60° + k 360° ( kC Z)D. 260° + k - 360° ( k C Z)(2)若角a與角3終邊相同，則 a - 3 =.答案 (1)B(2) k - 360&

4、#176; , kC Z核心素養(yǎng)形成題型一正確理解角的概念例1下列命題正確的是()A.終邊與始邊重合的角是零角B.終邊和始邊都相同的兩個角一定相等C.在90° w 3 <180。范圍內(nèi)的角 3不一定是鈍角D.小于90°的角是銳角解析終邊與始邊重合的角還可能是360° , 720° ,，A錯誤；終邊和始邊都相同的兩個角可能相差 360°的整數(shù)倍，如 30°與一330° , B錯誤；由于在90° & 3 <180°范圍 內(nèi)的角3包含90°角，所以不一定是鈍角，C正確；小于90&#

5、176;的角可以是0° ,也可以是負角，D錯誤.故選C.答案C金版點睛理解與角的概念有關(guān)問題的關(guān)鍵關(guān)鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等的概念，弄清角的始邊與 終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大小.另外需要掌握判斷結(jié)論正確與否的技巧，判斷結(jié)論正確需要證明， 而判斷結(jié)論不正確只需舉一個反例即可.跟蹤訓練1(1)經(jīng)過2個小時，鐘表上的時針旋轉(zhuǎn)了()A. 60°C. 30°B. -60°D. -30°(2)射線OA繞端點O順時針旋轉(zhuǎn)90°至ij O皿置，接著逆時針旋轉(zhuǎn)100°到OC位置，然后再順時針旋轉(zhuǎn) 240°至ij

6、Og置，求/ AOD勺大小.答案 (1)B(2)見解析360°解析(1)鐘表的時針旋轉(zhuǎn)一周是360。，其中每小時旋轉(zhuǎn)3602- = -30° ,所以經(jīng)過2個小時應旋轉(zhuǎn)60° .故選 B.ba(2)如圖，/ AOB= 90 , / BO匿 100 , / COD= 360° -240° =120 , / AOD= / BOC-Z AOB- / COD= 100° -90° +120° =130° .題型二象限角的判定例2 (1)已知角的頂點與坐標原點重合，始邊落在x軸的非負半軸上，作出下列各角,并指出它們是

7、第幾象限角.一75° ; 855° ;一510° ;(2)若"是第二象限角，則 2“，氣分別是第幾象限的角?解(1)作出各角，其對應的終邊如圖所示：由圖a可知：一75。是第四象限角.由圖b可知：855°是第二象限角.由圖c可知：一510。是第三象限角.(2)“是第二象限角，90° + k 360° < a <180° + k 360° ( k Z),.180° + k - 720° <2 a <360° + k - 720° ( k Z),2

8、a是第三或第四象限的角，或角的終邊在 y軸的非正半軸上.a是第二象限角，90° + k 360° < a <180° + k 360° ( k Z),.45。+ k 180。< -2<90° + k 180。( kC Z).解法一：a.當 k=2n(nCZ)時，45° + n 3600 < -2<900 + n 360° ( n C Z),即三是第一象限角；b.當 k= 2n+1(nCZ)時，cc儀cc.一225 + n - 360 < 萬<270 + n - 360 ( n

9、Z),即2是第三象限角.故"2是第一或第三象限角.解法二：= 45° + k - 1800表示終邊為第一、三象限角平分線的角，90° + k- 180° ( kCZ)表示終邊為y軸的角，一a一一.45+ k -180 < -2-<90+ k 180 ( kCZ)表布終邊為如圖中陰影部分圖形的角.即2是第一或第三象限角.金版點睛象限角的判定方法(1)根據(jù)圖像判定.依據(jù)是終邊相同的角的概念，因為 0°360。之間的角的終邊與坐 標系中過原點的射線可建立一一對應的關(guān)系.(2)將角轉(zhuǎn)化到0°360°范圍內(nèi).在直角坐標平面

10、內(nèi)，在0°360°范圍內(nèi)沒有兩個角終邊是相同的.(3) n ”所在象限的判斷方法確定n”終邊所在的象限，先求出 na的范圍，再直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可.a . 一(4) .所在象限的判斷方法. .一 . . ”.一 . 已知角a所在象限，要確定角n所在象限，有兩種方法：用不等式表示出角 彳的范圍，然后對k的取值分情況討論：被 n整除；被n除余1； 被n除余2；被n除余n1.從而得出結(jié)論.作出各個象限的從原點出發(fā)的n等分射線，它們與坐標軸把周角分成4n個區(qū)域.從x軸非負半軸起，按逆時針方向把這4n個區(qū)域依次循環(huán)標上 1,2,3,4. ”的終邊在第幾象限，則標號為幾的區(qū)域，就

11、是巴的終邊所落在的區(qū)域.如此，巴所在的象限就可以由標號區(qū)域所nn在的象限直觀地看出.跟蹤訓練2 (1)若“為第三象限角，試判斷90。一 a的終邊所在的象限；(2)若a為第四象限角，試判斷三的終邊所在的象限.解(1)因為a為第三象限角，所以 180° + k 360° < a <270° + k 360° , kC Z,貝U180° k - 360° <90° a < 90° - k - 360° , kCZ,所以90° a的終邊在第三象限.(2)由于a為第四象限角，即 a

12、 C ( -90° + k - 360° , k - 360° )( kC Z),所以 萬 ( 45 + k - 180 , k - 180 )( kCZ).儀_.a . . .當 k=2n, nC Z時，e ( -45 + n 360 , n- 360 )( nC Z) , 2是第四象限角；. aa 一，當 k=2n+1, nC Z 時，萬C(135 + n - 360 , 180 + n - 360 )( nC Z),萬是第二象限角.a綜上，可知 了的終邊所在的象限是第二或第四象限題型三 終邊相同的角的表示例3 (1)寫出與 a =1910°終邊相同

13、的角的集合，并把集合中適合不等式一 720° < 3 <360°的元素 3寫出來;(2)分別寫出終邊在下列各圖所示的直線上的角的集合.D解(1)與角a = 1910°終邊相同的角的集合為313= 1910° +k-360°, keZ.720° < 3 <360° ,. . 720° & 1910° + k 360° <360° , 3"w k<6”. 3636故 k= 4,5,6 ,當 k=4 時，3= 1910° +4X

14、360° = 470° ,當 k=5 時，3 = 1910° +5X360° =110° ,當 k=6時，3= 1910° +6X360° =250°(2) 3 | 3 = k- 180° , ke Z. 3 | 3 =135° + k 180° , ke Z.變式探究在與角1030°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角.(1)最小的正角;(2)最大的負角.解 1030° +360° =2310° , 所以 1030° =310°

15、; +2X360° , 所以與角 1030° 終 邊相同的角的集合為a|a=310° +k-360°, kCZ.(1)所求的最小正角為 310° .(2)取k= - 1得所求的最大負角為一50° .金版點睛在0°360°范圍內(nèi)找與給定角終邊相同的角的方法 把任意角化為 a + k 360° ( kC Z且0°< “<360。)的形式，關(guān)鍵是確定 k.可以用觀察法(a的絕對值較小)，也可用除法.(2)要求適合某種條件且與已知角終邊相同的角,其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，

16、再依條件構(gòu)建不等式求出k的值.a與120°角的終邊相同，則a跟蹤訓練3已知 990° < a <-630°答案-960°解析a與120°角終邊相同，故有a =120° + k - 360° , ke 乙 又一990° <120°+ k - 360°<630° ,即一1110° < k - 360°-11,<-750 ,解得3<k<-2,又 ke Z,故 k=-3,a =120° +(3)X360°

17、= 960° .題型四 區(qū)域角的表示寫出終邊落在陰影部分的角的集合.解設終邊落在陰影部分的角為a ,角a的集合由兩部分組成. a|30 ° + k 360° < a <105°|210。+ k 360° < a <285 角a的集合應當是集合與的并集: a |30 ° + k 360° & a <105° + k - 360° , k Z U a |210。+ k 360° & a <285+ k 360° , kCZ = a |30

18、 ° + 2k T80° < a <105° + 2k - 180° , ke Z U a |30 ° +(2 k+ 1) 180° < a <105° + (2 k+ 1) 180° , k C Z = a |30 ° + 2k 180° < a <105°2k 180° 或 30° + (2k + 1) - 180° < a <105° + (2k + 1) - 180° , kCZ

19、= a |30 °k - 180° & a <105° + k - 180° , ke Z.條件探究將本例改為下圖，寫出角的終邊在圖中陰影區(qū)域的角的集合(包括邊界).解 (1) a |45k - 360° & a <270° +Z.(2)先寫出邊界角,+ k - 360° & a <90°k - 360° , k Z = a |45再按逆時針順序?qū)懗鰠^(qū)域角,U a |225 ° 十+ k 180° & a <90°得 a

20、 | -150° + k - 360° < a <150°+ k 360° , kCZ.金版點睛區(qū)域角的寫法可分三步(1)按逆時針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界;(2)由小到大分別標出起始、終止邊界對應的一個角a , 3 ,寫出所有與a , 3終邊相同的角;(3)用不等式表示區(qū)域內(nèi)的角，組成集合.跟蹤訓練4寫出終邊落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)(不包括邊界)的角的集合.解(1)先寫出邊界角，再按逆時針順序?qū)懗鰠^(qū)域角，得 a |135。+ k 360。< a <300° + k 360° , kCZ.(2) a|60°

21、;+ k - 360° < a <45°+ k 360°, k Z U a |120 ° 十k - 360° < a <225 + k - 360° , k Z = a | -60° + k 180° < a <45° + k 180° , kCZ.隨堂水平達標1 . 215° 是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案 B解析 一215° =145° + (360° ),而145°是第二象限角，一2150是第二象限 角，故選B.2 .下列說法正確的是()A.終邊相同的角一定相等B.鈍角一定是第二象限角C.第一象限角一定不是負角D.小于90°的角都是銳角答案 B解析 因3