知識講解復(fù)數(shù)基礎(chǔ)

1、高考總復(fù)習(xí)：復(fù)數(shù)【考綱要求】1 .理解復(fù)數(shù)的根本概念,理解復(fù)數(shù)相等的充要條件；2 .了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示形式及其幾何意義；能將代數(shù)形式的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上用點(diǎn)或向量表示,并能將 復(fù)平面上的點(diǎn)或向量所對的復(fù)數(shù)用代數(shù)形式表示.3 .會進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四那么運(yùn)算,了解兩個(gè)具體相加、相減的幾何意義【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1.虛數(shù)單位i:(1)它的平方等于 1,即i21 ；(2) i與一1的關(guān)系：i就是一1的一個(gè)平方根,即方程 x21的一個(gè)根,方程x21的另一個(gè)根是i;(3)實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四那么運(yùn)算,進(jìn)行四那么運(yùn)算時(shí),原有加、乘運(yùn)算律仍然成立；(4) i 的周期性：i4n 1 , i

2、4n 1 i , i4n 21 , i4n 3 i ( n N*).2.概念形如a bi (a,b R)的數(shù)叫復(fù)數(shù),a叫復(fù)數(shù)的實(shí)部,b叫復(fù)數(shù)的虛部.說明：這里a,b R容易無視但卻是列方程求復(fù)數(shù)的重要依據(jù).3 .復(fù)數(shù)集N= Z= Q= R= C全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集,用字母C表示；復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系:4 .復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛、0的關(guān)系:對于復(fù)數(shù)z a bi (a,b R),當(dāng)且僅當(dāng)b 0時(shí),復(fù)數(shù)z a bi a是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)b 0時(shí),復(fù)數(shù)z a bi叫做虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a 0且b 0時(shí),復(fù)數(shù)z a bi bi叫做純虛數(shù);當(dāng)且僅當(dāng)a b 0時(shí),復(fù)數(shù)z a bi 0就是實(shí)數(shù)0.所

3、以復(fù)數(shù)的分類如下：z a bi ( a,b R)實(shí)數(shù)(b 0);虛數(shù)(b 0) 當(dāng)a 0且b 0時(shí)為純虛數(shù)5 .復(fù)數(shù)相等的充要條件兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛局部別相等,那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.即:如果 a,b, c,d R,那么 a bi c di a cH b d.特別地：a bi 0 a b 0.應(yīng)當(dāng)理解：(1) 一個(gè)復(fù)數(shù)一旦實(shí)部、虛部確定,那么這個(gè)復(fù)數(shù)就唯一確定；反之一樣(2)復(fù)數(shù)相等的充要條件是將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)解決問題的根底一般地,兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說相等或不相等,而不能比擬大小.如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù),就可以比擬大??； 也只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)時(shí)才能比擬大小.6.共軻復(fù)數(shù)

4、：兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等,而且虛部相反,那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做共軻復(fù)數(shù).即：復(fù)數(shù)z a bi和z a bi a bi ( a,b R)互為共軻復(fù)數(shù).考點(diǎn)二：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其四那么運(yùn)算1 .復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：復(fù)數(shù)通常用字母z表示,即a bi (a,b R),把復(fù)數(shù)表示成a bi的形式,叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.2 .四那么運(yùn)算(a bi) (c di) (a c) (b d)i ；(a bi )(c di) (ac bd) (bc ad )i ；復(fù)數(shù)除法通常上下同乘分母的共軻復(fù)數(shù):a bi (a bi )(c di) c di (c di )(c di)ac bd-272 c dbc ad .c2 d2 1

5、 °考點(diǎn)三：復(fù)數(shù)的幾何意義1 .復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a ,縱坐標(biāo)是b ,復(fù)數(shù)z a bia,b R)可用點(diǎn)Z(a,b)表示,這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,也叫高斯平面,x軸叫做實(shí)軸,y軸叫做虛軸.z 0 0i 0表示是實(shí)數(shù).故除了復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn),有唯一的一實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù).對于虛軸上的點(diǎn)原點(diǎn)對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為(0,0),它所確定的復(fù)數(shù)是原點(diǎn)外,虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對應(yīng)關(guān)系,即復(fù)數(shù)z a bi一對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)這是由于,每一個(gè)復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對應(yīng)；反過來, 個(gè)復(fù)數(shù)和它對應(yīng),這

6、就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義,也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法,即幾何表示方法.2 .復(fù)數(shù)的幾何表示(1)坐標(biāo)表示：在復(fù)平面內(nèi)以點(diǎn)Z(a,b)表示復(fù)數(shù)z a bi(a,b R)；(2)向量表示：以原點(diǎn)O為起點(diǎn),點(diǎn)Z(a,b)為終點(diǎn)的向量 OZ表示復(fù)數(shù)z a bi .向量OZ的長度叫做復(fù)數(shù)z a bi的模,記作|a bi|.即|z|OZ| J a2 b2 0.要點(diǎn)詮釋：(1)向量OZ與點(diǎn)Z(a,b)以及復(fù)數(shù)z a bi有一一對應(yīng)；(2)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)不能比擬大小,但它們的模可以比擬大小.3 .復(fù)數(shù)加法的幾何意義：uuur uuur如果復(fù)數(shù)乙、Z2分別對應(yīng)于向量OP、OP2 ,那么以O(shè)Pi、OP2為兩邊

7、作平行四邊形 OF1SP2,對角線uuuOS表示的向量OS就是Zi Z2的和所對應(yīng)的向量.4 .復(fù)數(shù)減法的幾何意義：兩個(gè)復(fù)數(shù)的差Zi Z2與連接這兩個(gè)向量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量對應(yīng).要點(diǎn)詮釋：1 .復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算一般用代數(shù)形式進(jìn)行；2 .求解計(jì)算時(shí),要充分利用i的性質(zhì)計(jì)算問題3 .在復(fù)數(shù)的求解過程中,要注意復(fù)數(shù)整體思想的把握和應(yīng)用其依據(jù)是復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和兩個(gè)復(fù)4 .復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的最根本也是最重要的思想方法,數(shù)相等的充要條件.【典型例題】類型一：復(fù)數(shù)的有關(guān)概念【例1】設(shè)復(fù)數(shù)z lg(m2 2m 2) (m2 3m 2)i ,試求實(shí)數(shù) m取何值時(shí),復(fù)數(shù)z分別滿足:(1)

8、z是純虛數(shù)；(2) z對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限.【思路點(diǎn)撥】利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念易求得.【答案】(1)當(dāng)lg(m 2m 2) 0即m 3時(shí),復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)； m2 3m 2 0lg( m2 2m 2) 0-(2)當(dāng)即1 m 1 J3或1 J3 m 3時(shí),復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二m 3m 2 0象限.【總結(jié)升華】復(fù)習(xí)中,概念一定要結(jié)合意義落實(shí)到位,對復(fù)數(shù)的分類條件要注意其充要性,對復(fù)數(shù)相等、共軻復(fù)數(shù)的概念的運(yùn)用也是這樣；對一些概念的等價(jià)表達(dá)式要熟知.比方： z a bi R b 0 z z22 一z 0( a, b R)； z a bi 是純虛數(shù)a 0且 b 0 zz0(z0) z 0；

9、舉一反三：【變式1】復(fù)數(shù)1包為純虛數(shù),那么實(shí)數(shù) 2為().A. 2B. 2C.1 D.【答案】A2a 1i ,5解析1 ai (1 ai)(2 D 2 a2 i (2 i)(2 i) 52 a由純虛數(shù)的概念知：2一a = 0, .-.a=2.5【變式2】求當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時(shí),復(fù)數(shù)z (m2 m 2) (m2 3m 2)i 分別是:(1)實(shí)數(shù);(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù).3m1或m 2時(shí),復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù);(3)當(dāng)3m1且m 2時(shí),復(fù)數(shù)z為虛數(shù);2 m2 m3m0即m 1時(shí),復(fù)數(shù)0【變式2】復(fù)數(shù)z滿足|z| 1且z21,那么復(fù)數(shù)()z 1A,必為純虛數(shù)B.是虛數(shù)但不一定是純虛數(shù)C.必為實(shí)數(shù)D.可能是實(shí)數(shù)

10、也可能是虛數(shù)法 1設(shè) z a bi(a,bR),有 a2 b2 1, a 0.a bi2 Z2a 2abi b 1a bi2 Z2a 2abi12aR ,故應(yīng)選Cozz-2zz zz(z z)R.【例2】集合M= (a+3) + (b2-1) i,8,集合 N= 3, (a2-1) +(b+2)同時(shí)滿足MAN法 2 . z Z |z|2 1, z 1法 3 z z | z |2 1 ,z-R.z2 1 (z2 1) z z z類型二：復(fù)數(shù)相等M n N W,求整數(shù)a,b【思路點(diǎn)撥】先判斷兩集合元素的關(guān)系,再列方程組,進(jìn)而解方程組,最后檢驗(yàn)結(jié)果是否符合條件.依題意得(a 3) (b2 1)i 3

11、i或 8 (a2 1)(b 2)i或a 3 (b2 1)i a2 1 (b 2)i由得a=-3,b= ± 2,經(jīng)檢驗(yàn),a=-3,b=-2不合題息, 舍去a=-3, b=2由得 a= ± 3, b=-2.又 a=-3,b.=-2 不合題息) . . a=3,b=-2;由得2 /2a 3 a 1即 ab2 1 b 2b2a 4 0 、一 ,此方程組無整數(shù)解.b 3 0綜合得 a=-3, b=2或a=3,b=-2.【總結(jié)升華】1、a+bi=c+di(a, b, c, d R).2、利用復(fù)數(shù)相等可實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)問題的轉(zhuǎn)化.解題時(shí)要把等號兩邊的復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式.注：對于復(fù)數(shù)z

12、,如果沒有給出代數(shù)形式,可設(shè) z= a+bi(a,bCR).舉一反三：【變式】復(fù)數(shù) zi滿足(z-2)(1+i)=1-i(i為虛數(shù)單位),復(fù)數(shù)Z2的虛部為2,且zi Z2是實(shí)數(shù),求Z2.【解析】 設(shè)z2=a+2i(a R),由復(fù)數(shù)z1滿足億1-2)(1+i)=1-i,得z2-i,又z1 z2=(2-i)- (a+2i)=(2a+2 J+(4-a)i是實(shí)數(shù),那么虛部 4-a=0 ,即 a=4,那么復(fù)數(shù)z2=4+2i.類型三：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四那么運(yùn)算【例3】計(jì)算：(1 2i) (3 4i)【思路點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)除法通常上下同乘分母的共軻復(fù)數(shù).【解析】(1 2i) (3 4i) 9(1 2i)(3 旬3

13、 4i(3 4i)(3 4i)10i252.-i【總結(jié)升華】復(fù)數(shù)除法關(guān)鍵是把分母實(shí)數(shù)化,通常上下同乘分母的共軻復(fù)數(shù),利用.2 I1進(jìn)行運(yùn)算.【變式1】(2 2I )81 , 3I1 -81 3I2 25I【變式2】復(fù)數(shù)三1 2IA. 2 i B. 1 2iC. 2i D. 1 2i【解析】選C解法一:5i1 2i5i(1 2i)10 5I .i (1 2I)(1+2I)5解法二：驗(yàn)證法 驗(yàn)證每個(gè)選項(xiàng)與1-2i的積,正好等于 5i的便是答案.【例4】z1, z2為復(fù)數(shù),(3 + i)z 1為實(shí)數(shù),z2= -z,且|z 2I = 572 求 z2.【思路點(diǎn)撥】可不設(shè)代數(shù)形式利用整體代換的思想求解z

14、1=z2(2+i) , (3 + i)z 1 = z2(2 + i)(3 +i) = z2(5 + 5i) CR|z 2| = 5近 |z 2(5 +5i)| =50,【變式1】設(shè)a,bc a bi R,a bi【解析】由于11 7i1 2i(11 7i)(1 2i) 5 3i z2(5 +5i) =± 50,【總結(jié)升華】1、1復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式運(yùn)算,除法關(guān)鍵是分子分母同乘以 分母的共軻復(fù)數(shù),注意要把i的哥寫成最簡形式.2記住以下結(jié)論,可提升運(yùn)算速度：1 土 i2=± 2i ；-i;3i; a b ai；1 i 1 ii i 4n=1, i4n+1 =

15、i , i 4n+2=-1 , i 4n+3=-i(n e N).2、復(fù)數(shù)的四那么運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的四那么運(yùn)算,此時(shí)含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng),不含 i的看作另一類同類項(xiàng),分別合并即可,但要注意把 i的哥寫成最簡單的形式,在運(yùn)算過程中,要熟透 i的特點(diǎn)及 熟練應(yīng)用運(yùn)算技巧.舉一反三:11 7i1 2i i為虛數(shù)單位,那么a b的值為所以 a 5,b 3ab 8【變式2】設(shè)i為虛數(shù)單位,那么復(fù)數(shù)A. 4 3i B.4 3i C. 4 3i D. 4 3i【解析】選D. 3-1(34 3i .2 i i類型三：復(fù)數(shù)的幾何意義2【例5】受數(shù)z (3m 5m 2) (m 1)i( m R),假設(shè)z

16、所對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,求m的取值范圍.【思路點(diǎn)撥】 在復(fù)平面內(nèi)以點(diǎn)Z(a,b)表示復(fù)數(shù)z a bi ( a, b R), W所對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限等價(jià)于z的實(shí)部大于零而虛部小于零.【解析】: z (3m2 5m 2) (m 1)i21.3m 5m 2(m 1) 0,m的取值范圍為m (1,).反過來,復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn),有唯一的【總結(jié)升華】每一個(gè)復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對應(yīng)； 一個(gè)復(fù)數(shù)和它對應(yīng).【變式1】假設(shè)z m2(1 i) m(4 i) 6i所對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是(A. 0,3B.C.2,0D.3,4【答案】：:z (m24m)(m2m 6)i所對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限

17、 m2 4m0 且 m2m 60,0 m 4 且 m 3或m2 m 3,4 ,應(yīng)選 D【變式2】在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù) 6+5i, -2+3i對應(yīng)的點(diǎn)分別為 A, B,假設(shè)C為線段AB的中點(diǎn),那么點(diǎn)C對應(yīng) 的復(fù)數(shù)是().A. 4+8i B. 8 + 2i C. 2+4i D. 4+i【答案】C【解析】復(fù)數(shù)6+5i對應(yīng)的點(diǎn)為A(6,5),復(fù)數(shù)一2+3i對應(yīng)的點(diǎn)為B(-2,3).利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得線段AB的中點(diǎn)C(2,4),故點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+4i.類型四：化復(fù)數(shù)問題為實(shí)數(shù)問題【例6】x, y互為共軻復(fù)數(shù),且(x y)2 3xyi 4 6i ,求x, y.【思路點(diǎn)撥】設(shè)z a bi (a,b R)代入

18、條件,把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題,易得a、b的兩個(gè)方程.【解析】設(shè)x a bi4a2 43(a2 b2)a,b R),那么 y a bi ,代入原等式得：(2a)2 3(a2 b2)i 4 6ia 1 a 1 a 1- a,斛得： 或 或 或6b 1 b 1 b 1 bx1i- x1ix或或y1i y1iy【總結(jié)升華】復(fù)數(shù)定義：“形如z a bia,b R的數(shù)叫復(fù)數(shù)就意味但凡復(fù)數(shù)都能寫成這樣,求一個(gè)復(fù)數(shù),使用一個(gè)復(fù)數(shù)都可通過這一形式將問題化虛為實(shí)；設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題來研究是解決復(fù)數(shù)問題的常用方法 .舉一反三:【變式1】復(fù)數(shù)z1 i ,求實(shí)數(shù) a, b使 az 2bz (a2z)2z 1 i, , az 2bz (a 2b) (a 2b)i- a,bR,2b2b4(a 2)4a,解得【變式2】令z C,求使方程|z| 2z3 6i成立的復(fù)數(shù)z. x2y2 2(x yi) 3 6i【答案】：令z x yi x, y R,那么原方程化為即(jx