精講精練第講函數(shù)概念與表示

1、1 第 1 講函數(shù)概念與表示 一、 要點(diǎn)精講 1 函數(shù)的概念： 設(shè) A、B 是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f，使對(duì)于集合 A 中的任意一個(gè)數(shù) X,在集合 B 中都有唯一確定的數(shù) f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱 f： ATB 為從集合 A 到集合 B 的一個(gè)函數(shù)。記作：y=f(x), x A。其中，x 叫做自變量，x 的取值范圍 A 叫做函數(shù)的定義域；與 x 的值相對(duì)應(yīng)的 y 值叫做函數(shù)值，函數(shù) 值的集合f(x)| x A 叫做函數(shù)的值域。 2. 構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域 (1) 解決一切函數(shù)問題必須認(rèn)真確定該函數(shù)的定義域， 定義域含三種：自然型：限制型： 實(shí)際型： (2

2、) 求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學(xué)問題，中學(xué)數(shù)學(xué)要求能用初等方法求一些簡單函數(shù)的值域問題。 配方法(將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù))；判別式法(將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程) ；不等式法(運(yùn)用不等 式的各種性質(zhì))：函數(shù)法(運(yùn)用基本函數(shù)性質(zhì)，或抓住函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖象等) 。 3. 兩個(gè)函數(shù)的相等：4.區(qū)間 5.映射的概念 6常用的函數(shù)表示法：(1)解析法：；(2)列表法：；(3)圖象法：。 7.分段函數(shù) &復(fù)合函數(shù)：若 y=f(u), u=g(x),x (a, b), u (m,n)，那么 y=fg(x)稱為復(fù)合函數(shù)，u稱為中間變量，它的 取值范圍是 g(x)的值域。 【課前練習(xí)】 1.若函數(shù)y二f(x)的定義

3、域是0,2，則函數(shù)g(xf2x)的定義域是 x -1 A. 0,1 B . 0,1) C . 0,1)U(1,4 D . (0,1) 1 x2, x W 1, 1 f (x)= 則f 的值為( ) x2 +x -2, x A1, if (2) J 27 8 “ B. C. D. 18 16 9 R 上的函數(shù) f (x)滿足 f (x + y) = f (x)+ f(y) + 2xy ( x,瀘 R ), fX 2=，貝 U f(2)等于 ( )A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 Jx -2 -1 4. 函數(shù)f(x)= - 的定義域?yàn)?log2(x-1) 二、 典例解析 題型 1 ：函數(shù)概念

4、 儀3 (x100) 例 1. (1)設(shè)函數(shù)f (x)=丿 ,求f (89). f(x+5) (x I 3 題型四：函數(shù)值域問題 例 6 .求下列函數(shù)的值域: 12v aw 0 C. 12v a v 0 (1) 二 3x2x 2 (2) y = . -x26x5 ； (3) y 3x 1 ； ; x -2 (4) 二 x 41x ； (5) y = x 1 -x2 ； (6) y =|-1| | x 4| ； (7) 2 2x -x 2 ; x2 x 1 (8) 2 2x -x 1 / 1 1 -sin x y (x ) ； (9) y = 2x T 2 2cosx 題型五：函數(shù)解析式 1 f

5、(x ) X 2 f( 1) x 已知 已知 (3) 已知 f(x)是 二 3 Tg x, 次函數(shù), 求 f(x)； 且滿足 3f (x 1)-2f (x-1) =2x 17，求 f (x)； (4) 已知 4 1 f(x)滿足 2f(x) f( ) =3x，求 f (x)。 x5 題型六：函數(shù)的綜合題 例 8.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,1 ,且同時(shí)滿足： 對(duì)任意x 10,1 ,總有f(x)_2 ； (2)f(1) = 3 若 Xi _0,X2 _0且 x1 x2 _1，則有 f (xi X2) _ f(xi) f(X2) - 2. (I) 求f (0)的值； (II) 求f (x)的最

6、大值； 三、課外作業(yè) 1.函數(shù) f(x) =1 n( .X2 -3x 2 , -x2 _3x 4)的定義域?yàn)?x A.(：，-42, B. (_4,0)U(01) C. -4,0)U(0,1 D. _4,0)U(0,1) 2.設(shè)定義在R上的函數(shù)f x滿足f x f x 2 =13，若f 1 =2，則f 99 =() (A) 13 (B) 2 (C) 13 (D) 2 2 13 3.若函數(shù) y = f (x)的值域是 丄,3， 則函數(shù) F(x) = 1 二f(x) 的值域是( )A 2 f(x) 10 B. 2, C . I5,10 D .3,10 3 2 3 3 4.若函數(shù) 2 f xl2X

7、皿- 1的定義域?yàn)?R, 則實(shí)數(shù) a的取值范圍 。 5.( 1)設(shè) f (x) =x4 +ax3 +bx2 +cx+d，其中 a、b、c、d 是常數(shù)。 如果 f(1) =10, f (2) =20, f(3) =30,求 f(10) f(-6)的值； 2 (2)若不等式2x -1 - m(x “)對(duì)滿足- 2乞m乞2的所有 m 都成立，求 x的取值范圍。 【課前預(yù)習(xí)】 1. B 2. A 3. A 4 . 3,：) 四典例解析 例 1 .解：(1)這是分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)式的變換問題，需要反復(fù)進(jìn)行數(shù)值代換, f(89) = f(f(94) = f(f(f(99) = f(f(f(f(104) =

8、 f (f (f(101) =f(f (98) = f(f(f(103) = f(f(100) = f(97) = f(f (102)H f(99) =f(f (104) = f (101) =98. (2)答案不唯一，在定義域內(nèi)圖象上凸的偶函數(shù)均可，女口 2 n n n n f (x) , f(x) =cosx( 2 乞X 乞 2), f (x) =Tta nx|( ? : x ： ?)等等. 首先由知 f (X)為偶函數(shù)，由知 f (X)在定義域內(nèi)圖象上凸，然后在基本初等函數(shù)中去尋找符 合這兩點(diǎn)的模型函數(shù). 變式題解：選項(xiàng)為 C。6 例 3解：（）由于 f （x）= Jx2 =|x|, g

9、 （x） = Vx3 =x,故它們的值域及對(duì)應(yīng)法則都不相同，所以它們不 是同一函數(shù); （2）由于函數(shù) f（x）=兇 的定義域?yàn)椋ㄒ籖, x 所以它們不是同一函數(shù)； （3） 由于當(dāng) n N*時(shí)，2n 1 為奇數(shù)，二 f （x） = 2n dx2n 1 =x, g （x） = （ 2呎 x ） 2n_ 1=x, 它們的定義域、值域及對(duì)應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù)； （4） 由于函數(shù) f （ x） = 、x x 1的定義域?yàn)閤|x 0，而 g （x） =、x2 x的定義域?yàn)閤|xw 1 或 x 0, 它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù) ； （5） 函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則都相同，所以它們

10、是同一函數(shù)。 N -x2 色0 2x -1 r 0 1 3 3 例 4.解：（1）； ，解得函數(shù)定義域?yàn)椋?1） （1,） （,2. 2x-1 式 1 2 2 2 2 -2x =0 x a ka （2）丿2 2 ,（先對(duì) a 進(jìn)行分類討論，然后對(duì) k 進(jìn)行分類討論）， x a 當(dāng) a=0 （k R）時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋?, ：）; x ka 當(dāng)a 0時(shí)，得丿 x c -a 或 x a a a 0 1）當(dāng) 時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋╧a,*）, k畠1 a AO 2）當(dāng)丿 時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋╝,母）, 例 2.解: 由 f x 2 = f(x) f x 2 =f(X)， 所以 1 f(，則 f f 5 1

11、 x A 0 0)U( 0, + 8)，而 g (x) =J -的定義域?yàn)?R, -1 x0 一 3）當(dāng)丿 時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋╧a,a） J （a,+處）； ka 當(dāng)a 0時(shí)，得丿 卡 .X v a 或 x a -a a 0 1）當(dāng)丿 時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋╧a,+=c）, k蘭一1 J a cO 2）當(dāng)丿 時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋?a,+處）, 1ck 蘭1 3）當(dāng)盧0時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋╧a,a）U （a,xc）。 例 5.解：（1 ）由 0vx2 v 2,得 -旋忑且 X 護(hù) 0” 所址 X）的定義域?yàn)?広 o）U 伍3 且得 由，W kgi（2x）0 心佢 所婀求的定義域?yàn)椋?, a 式0, 變式

12、題：解：由 a=O 或丿 可得12v a 0,答案 B。 3 = a2 -4ax（d） c0, A QQ QQ QQ 例 6 解：（1）（配方法）：y =3x2 -x - 2 =3（x -）2 - 一，二y = 3x2 - x 2 的值域?yàn)橐?，：）?6 12 12 12 改題：求函數(shù) y =3x2 - X 2 , x 1,3的值域。 解：（利用函數(shù)的單調(diào)性）函數(shù) y=3x2-x，2在x 1,3上單調(diào)增， 當(dāng)x =1時(shí)，原函數(shù)有最小值為 4 ；當(dāng)x = 3時(shí)，原函數(shù)有最大值為 26。 二函數(shù) y =3x2 -X 2，1,3的值域?yàn)?,26。 （2） 求復(fù)合函數(shù)的值域：設(shè)卩=_X2_6X-5 （

13、卩0），則原函數(shù)可化為 y-護(hù)。 又 T 卩=x2 6x5 =-（x+3）2 +4 蘭4， 0 蘭 4 蘭4，故護(hù) 0,2 ， y=J-x2-6x-5 的值域?yàn)?, 2。 （3） （法一）反函數(shù)法： 的反函數(shù)為，其定義域?yàn)閄，R|X=3， x2 x3 3x +1 原函數(shù)y 的值域?yàn)閥 R|y=3。 x -2 （法二）分離變量法： y =竺 =坐 =3 ， Z - 0， 3 3， 8 x2 x2 x2 x2 x2 3x +1 函數(shù)y 的值域?yàn)閥 R|y=3。 x2 （4）換元法（代數(shù)換元法）：設(shè)t = 、1-X 一 0,貝y X=1 -t2， 原函數(shù)可化為 y =1-t2 4t =-（t-2）2

14、 5（t-0）， y乞5，原函數(shù)值域?yàn)椋ǎ?5。9 5 ：. 、2sin( ) -1八 2, 4 原函數(shù)的值域?yàn)?1,、-2x-3 (x 玉二) (6) 數(shù)形結(jié)合法：y =| x-1|亠| x亠4 |= 5 (4 ： x ：1) , y_5，函數(shù)值域?yàn)?,訂匕彳)。 2x 3 (x _1) (7) 判別式法： x2 x 1 0恒成立，.函數(shù)的定義域?yàn)?R。 當(dāng) y - 2= 0即 y = 2時(shí)，即 3x 0=0 ,. x=0=R 當(dāng) y -2 =0即 y = 2時(shí)，：x R時(shí)方程(y -2)x2 (y 1)x y -2 = 0恒有實(shí)根, _= (y+1)2 4x(y 2)2 狂0,. 1 1)

15、,則 x = 2 , f (t) =lg -, f(x) = lg (x . 1)。 X t t1 x 1 (3) 設(shè) f (x)二 ax b(a = 0)，則 3f (x 1)2 f (x1) = 3ax 3a 3b2ax 2a2b = ax b 5a = 2x 17, a = 2 , b=7 , f(x)=2x4 7。 1 1 1 3 (4) 2f (x) f () =3x ，把中的 x 換成一，得 2f()，f(x) ， x x x x 3 1 2 一得 3f(x)=6x- , f(x)=2x- x x 例 8.解：(I)令 %沁2=0，由(3),則 f (0) _2f(0) -2,. f(0)冬 2 由對(duì)任意 x 0,11,總有 f(x)_2,. f(0)=2 (II)任意 x-i, x2 0,11且 捲：x2，則 0 ： x2 -為乞1,. f (x2 - xj _ 2 -f(X2)= f(X2 -X1 X1) f(X2 -X1) f (為)-2 f(X1)， fmax(X)二 f (1) = 3 【課外作業(yè)】 1 3DCB 4、-1,0 5、解：(1)構(gòu)造函數(shù) g(x)二 f (x) -10 x,則 g(1)=g(2)= g(3)=0,故： f (10) f( -6(10 1)(10 2)(