圖與網(wǎng)絡(luò)分析ppt課件

1、F1.圖的根本概念圖的根本概念F2.樹(shù)樹(shù)F3.最短路最短路F4.最大流問(wèn)題最大流問(wèn)題F5.最小費(fèi)用最大流最小費(fèi)用最大流F6.中國(guó)郵遞員問(wèn)題中國(guó)郵遞員問(wèn)題運(yùn)籌學(xué)F問(wèn)題提出問(wèn)題提出F運(yùn)用：消費(fèi)組織，郵遞員問(wèn)題，通訊網(wǎng)運(yùn)用：消費(fèi)組織，郵遞員問(wèn)題，通訊網(wǎng)絡(luò)等。絡(luò)等。F哥尼斯堡七橋問(wèn)題哥尼斯堡七橋問(wèn)題運(yùn)籌學(xué)ABCDF哥尼斯堡七橋問(wèn)題哥尼斯堡七橋問(wèn)題F在圖中找一條經(jīng)過(guò)每邊一次且僅一次的在圖中找一條經(jīng)過(guò)每邊一次且僅一次的路路歐拉回路。歐拉回路。ADBC由點(diǎn)和邊組成運(yùn)籌學(xué)F“環(huán)球游覽問(wèn)題環(huán)球游覽問(wèn)題F在圖中找一條經(jīng)過(guò)每個(gè)點(diǎn)一次且僅一次在圖中找一條經(jīng)過(guò)每個(gè)點(diǎn)一次且僅一次的路的路哈密爾頓回路。哈密爾頓回路。F“中

2、國(guó)郵路問(wèn)題中國(guó)郵路問(wèn)題F在圖中找一條經(jīng)過(guò)每邊的最短路在圖中找一條經(jīng)過(guò)每邊的最短路類類似帶權(quán)的歐拉回路。似帶權(quán)的歐拉回路。F“貨郎擔(dān)問(wèn)題貨郎擔(dān)問(wèn)題F在圖中找一條經(jīng)過(guò)每個(gè)點(diǎn)一次且僅一次的最在圖中找一條經(jīng)過(guò)每個(gè)點(diǎn)一次且僅一次的最短路短路帶權(quán)的哈密爾頓回路。帶權(quán)的哈密爾頓回路。運(yùn)籌學(xué) 例例 1: 鐵路交通圖鐵路交通圖 例例 2: 球隊(duì)競(jìng)賽圖球隊(duì)競(jìng)賽圖點(diǎn)點(diǎn): 表示研討對(duì)象表示研討對(duì)象.連線：表示兩個(gè)對(duì)象之間的某種特定關(guān)系連線：表示兩個(gè)對(duì)象之間的某種特定關(guān)系。關(guān)系的對(duì)稱性：兩對(duì)象之間的關(guān)系可互換關(guān)系的對(duì)稱性：兩對(duì)象之間的關(guān)系可互換。運(yùn)籌學(xué)F邊：不帶箭頭的聯(lián)線，表示對(duì)稱關(guān)系。邊：不帶箭頭的聯(lián)線，表示對(duì)稱關(guān)系

3、。F弧：帶箭頭的聯(lián)線，表示不對(duì)稱關(guān)系。?。簬Ъ^的聯(lián)線，表示不對(duì)稱關(guān)系。F無(wú)向圖：簡(jiǎn)稱圖，有點(diǎn)和邊組成。無(wú)向圖：簡(jiǎn)稱圖，有點(diǎn)和邊組成。F 表示為：表示為： G=V，EF V-點(diǎn)集合點(diǎn)集合 E-邊集合邊集合F例：右圖例：右圖V=v1，v2，v3，v4 E=e1，e2，,e7e1=v1,v2e2=v1,v2, ,e7=v4,v41v2v3v4v1e2e3e4e5e6e7e運(yùn)籌學(xué)F 有向圖：由點(diǎn)和弧組成。表示為：有向圖：由點(diǎn)和弧組成。表示為：F D=V，AF V-點(diǎn)集合點(diǎn)集合 A-弧集合弧集合F點(diǎn)數(shù)點(diǎn)數(shù): p(G) 或或 p(D)F邊數(shù)邊數(shù): q(G)F弧數(shù)弧數(shù):q(D)v1v2v3v4v5例：右圖

4、V=v1，v2,v5A=a1，a2,a7a1=v1,v5,a2=v5,v4,a7=v1,v4運(yùn)籌學(xué)F端點(diǎn)端點(diǎn): e=u,vE, : e=u,vE, 那么那么u,vu,v是是e e的端點(diǎn)的端點(diǎn), , 稱稱u,vu,v相鄰相鄰. .F關(guān)聯(lián)邊關(guān)聯(lián)邊: e: e是點(diǎn)是點(diǎn)u,vu,v的關(guān)聯(lián)邊的關(guān)聯(lián)邊. .F環(huán)環(huán): : 假設(shè)假設(shè)u=v, eu=v, e是環(huán)是環(huán). .F多重邊多重邊: : 兩點(diǎn)之間多于一條邊兩點(diǎn)之間多于一條邊. .F簡(jiǎn)單圖簡(jiǎn)單圖: : 無(wú)環(huán)無(wú)環(huán), ,無(wú)多重邊的圖無(wú)多重邊的圖. .F多重圖多重圖: : 無(wú)環(huán)無(wú)環(huán), ,允許有多重邊的圖允許有多重邊的圖. .運(yùn)籌學(xué)1v2v3v4v1e2e3e4e5

5、e6e5vF次次: : 以點(diǎn)以點(diǎn)v v為端點(diǎn)的邊的個(gè)數(shù)稱為為端點(diǎn)的邊的個(gè)數(shù)稱為v v的次的次. . 表示為表示為: d(v): d(v)F懸掛點(diǎn)懸掛點(diǎn): : 次為次為1 1的點(diǎn)的點(diǎn). .F懸掛邊懸掛邊: : 懸掛點(diǎn)的關(guān)聯(lián)邊懸掛點(diǎn)的關(guān)聯(lián)邊. .F孤立點(diǎn)孤立點(diǎn): : 次為次為0 0的點(diǎn)的點(diǎn). .F奇點(diǎn)奇點(diǎn): : 次為奇數(shù)的點(diǎn)次為奇數(shù)的點(diǎn). .F偶點(diǎn)偶點(diǎn): : 次為偶數(shù)的點(diǎn)次為偶數(shù)的點(diǎn). .孤立點(diǎn)懸掛邊3)(, 4)(21vdvd運(yùn)籌學(xué)F定理1: 圖G=(V,E)中,一切點(diǎn)的次之和是邊數(shù)的兩倍, 即:F定理2: 恣意一圖中, 奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)為偶數(shù).F 證明:設(shè) V1-奇點(diǎn)的集合,F V2-偶點(diǎn)的集合qv

6、dVv2)(qvdvdvdVvVvVv2)()()(21偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)運(yùn)籌學(xué)F鏈：點(diǎn)邊交錯(cuò)系列，鏈：點(diǎn)邊交錯(cuò)系列， 記為：記為：F圈：圈： 的鏈。的鏈。 F初等鏈：點(diǎn)初等鏈：點(diǎn) 均不一樣。均不一樣。F初等圈：點(diǎn)初等圈：點(diǎn) 均不一樣。均不一樣。F簡(jiǎn)單鏈：鏈中邊均不一樣。簡(jiǎn)單鏈：鏈中邊均不一樣。F簡(jiǎn)單圈：圈中邊均不一樣。簡(jiǎn)單圈：圈中邊均不一樣。F例：右圖例：右圖 ),.,(1211kkkiiiiiivevvevkiivv1kiiivvv,.,21121,.,kiiivvv1v2v3v4v1e2e3e4e5e6e7e無(wú)反復(fù)點(diǎn),無(wú)反復(fù)邊有反復(fù)點(diǎn),無(wú)反復(fù)邊運(yùn)籌學(xué)F連通圖：恣意兩點(diǎn)之間至少有一條鏈。連通圖：

7、恣意兩點(diǎn)之間至少有一條鏈。F不連通圖：不連通圖：F連通分圖：對(duì)不連通圖，每一連通的部連通分圖：對(duì)不連通圖，每一連通的部分稱為一個(gè)連通分圖。分稱為一個(gè)連通分圖。F支撐子圖：對(duì)支撐子圖：對(duì)G=V，E，假設(shè)，假設(shè)G=(V,E), 使使V=V, E E, 那么那么G是是G的一個(gè)支撐子圖生成子圖的一個(gè)支撐子圖生成子圖.FG-v: 圖圖G去掉點(diǎn)去掉點(diǎn)v及及v的關(guān)聯(lián)邊的圖的關(guān)聯(lián)邊的圖.運(yùn)籌學(xué)F根底圖根底圖: 對(duì)對(duì)D=(V, A), 去掉圖上的箭頭去掉圖上的箭頭.F始點(diǎn)和終點(diǎn)始點(diǎn)和終點(diǎn): 對(duì)弧對(duì)弧a=(u,v), u為為a的始點(diǎn)的始點(diǎn), v為為a的終點(diǎn)的終點(diǎn).F鏈鏈: 點(diǎn)弧交錯(cuò)序列點(diǎn)弧交錯(cuò)序列, 假設(shè)在其根底

8、圖中對(duì)假設(shè)在其根底圖中對(duì)應(yīng)一條鏈應(yīng)一條鏈, 那么稱為那么稱為 D的一條鏈的一條鏈.F圈圈, 初等鏈初等鏈,初等圈初等圈: 類似定義類似定義.方向可以不同運(yùn)籌學(xué)F道路道路:假設(shè)假設(shè) 是是D中的一條鏈，且中的一條鏈，且 ，t=1,2,k-1,稱之為從稱之為從 到到 的一條道路。的一條道路。F回路回路: 的路的路.F初等路初等路: 道路中點(diǎn)不一樣道路中點(diǎn)不一樣.F初等回路初等回路: 回路中點(diǎn)不一樣回路中點(diǎn)不一樣.F簡(jiǎn)單有向圖簡(jiǎn)單有向圖: 無(wú)自環(huán)無(wú)自環(huán), 無(wú)多重弧無(wú)多重弧.F多重有向圖多重有向圖: 有多重弧有多重弧.),.,1112211kkkiiiiiiivavavav（kiivv1),(1ttti

9、iivva1ivkiv方向一樣運(yùn)籌學(xué)F2.1 樹(shù)及其性質(zhì)樹(shù)及其性質(zhì)F2.2 圖的支撐樹(shù)生成樹(shù)圖的支撐樹(shù)生成樹(shù)F2.3最小支撐樹(shù)問(wèn)題最小支撐樹(shù)問(wèn)題F2.4 根樹(shù)及其運(yùn)用根樹(shù)及其運(yùn)用運(yùn)籌學(xué)例例: 線架設(shè)、競(jìng)賽程序、組織構(gòu)造等。線架設(shè)、競(jìng)賽程序、組織構(gòu)造等。 樹(shù)樹(shù):連通的無(wú)圈的無(wú)向圖稱為樹(shù)。連通的無(wú)圈的無(wú)向圖稱為樹(shù)。運(yùn)籌學(xué) 圖圖G=G=V V，E E，p p個(gè)點(diǎn)、個(gè)點(diǎn)、q q條邊以下說(shuō)法是等價(jià)的條邊以下說(shuō)法是等價(jià)的1 1G G是一個(gè)樹(shù)是一個(gè)樹(shù)2 2G G連通，且恰有連通，且恰有p-1p-1條邊。條邊。3 3G G無(wú)圈，且恰有無(wú)圈，且恰有p-1p-1條邊。條邊。4 4G G連通，但每舍去一邊就不連通。

10、連通，但每舍去一邊就不連通。5 5G G無(wú)圈，但每添加一邊即得獨(dú)一一個(gè)圈。無(wú)圈，但每添加一邊即得獨(dú)一一個(gè)圈。 6 6G G中恣意兩點(diǎn)之間恰有一條鏈中恣意兩點(diǎn)之間恰有一條鏈( (簡(jiǎn)單鏈簡(jiǎn)單鏈) )。運(yùn)籌學(xué)F定義定義: :設(shè)圖設(shè)圖T=(VT=(V，E) E) 是圖是圖G=(V,E)G=(V,E)的支的支撐子圖撐子圖, ,假設(shè)假設(shè)T T是一個(gè)樹(shù)是一個(gè)樹(shù), , 那么稱那么稱T T是是G G的的一個(gè)支撐樹(shù)。一個(gè)支撐樹(shù)。F定理定理5 5：圖：圖G=G=V V，E E有支撐樹(shù)的充分必有支撐樹(shù)的充分必要條件是要條件是G G是連通的。是連通的。運(yùn)籌學(xué)F求支撐樹(shù)的破圈法求支撐樹(shù)的破圈法運(yùn)籌學(xué)F求支撐樹(shù)的避圈法求支

11、撐樹(shù)的避圈法深探法廣探法運(yùn)籌學(xué)F賦權(quán)圖賦權(quán)圖( (網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò): : 給圖給圖G=(V,E), G=(V,E), 對(duì)對(duì)G G中的中的每一條邊每一條邊vi,vj, vi,vj, 相應(yīng)地有一個(gè)數(shù)相應(yīng)地有一個(gè)數(shù)wij, wij, 那么稱這樣的圖為賦權(quán)圖那么稱這樣的圖為賦權(quán)圖, wij , wij 稱為邊稱為邊vi,vjvi,vj上的權(quán)上的權(quán). .F支撐樹(shù)的權(quán)支撐樹(shù)的權(quán): :假設(shè)假設(shè)T=(V,E) T=(V,E) 是是G G的一個(gè)支的一個(gè)支撐樹(shù)撐樹(shù), E, E中的一切邊的權(quán)之和稱為支撐中的一切邊的權(quán)之和稱為支撐樹(shù)的權(quán)樹(shù)的權(quán), , 記為記為w(T):w(T):TvvijjiwTw,)(運(yùn)籌學(xué)F定義定義: :

12、 最小支撐樹(shù)最小支撐樹(shù)( (最小樹(shù)最小樹(shù))T)T* *: :F求最小樹(shù)的求最小樹(shù)的 避圈法避圈法: : 例例: : 圖圖8-278-27F求最小樹(shù)的求最小樹(shù)的 破圈法破圈法: : 例例: : 圖圖8-28 8-28 )()(min*TwTwT運(yùn)籌學(xué)有向樹(shù)中根樹(shù)有向樹(shù)中根樹(shù)在計(jì)算機(jī)科學(xué)、決策論的運(yùn)用在計(jì)算機(jī)科學(xué)、決策論的運(yùn)用F有向樹(shù)：有向樹(shù)：F根樹(shù)：有向樹(shù)根樹(shù)：有向樹(shù)T，恰有一個(gè)結(jié)，恰有一個(gè)結(jié)點(diǎn)入次為點(diǎn)入次為0，其他各點(diǎn)入次為，其他各點(diǎn)入次為1，那么稱，那么稱T為根樹(shù)。為根樹(shù)。FM叉樹(shù)：叉樹(shù)：F二叉樹(shù)：二叉樹(shù)：根葉分點(diǎn)枝第一層第三層第二層三叉樹(shù)運(yùn)籌學(xué)F帶權(quán)的二叉樹(shù)帶權(quán)的二叉樹(shù)T：有：有s個(gè)葉子，

13、權(quán)分別為個(gè)葉子，權(quán)分別為pi，F(xiàn)根到各葉子的間隔層次為根到各葉子的間隔層次為F二叉樹(shù)的總權(quán)數(shù)二叉樹(shù)的總權(quán)數(shù)F最優(yōu)二叉樹(shù)最優(yōu)二叉樹(shù) Huffman樹(shù)：總權(quán)數(shù)最小的二叉樹(shù)樹(shù)：總權(quán)數(shù)最小的二叉樹(shù)F算法步驟：算法步驟：Huffman算法算法F將將s個(gè)葉子按權(quán)由小到大陳列，個(gè)葉子按權(quán)由小到大陳列，F(xiàn)將兩個(gè)最小的葉子合并為一個(gè)分枝點(diǎn)，其權(quán)為兩者將兩個(gè)最小的葉子合并為一個(gè)分枝點(diǎn)，其權(quán)為兩者之和，將新的分枝點(diǎn)作為一個(gè)葉子，轉(zhuǎn)上一步，直之和，將新的分枝點(diǎn)作為一個(gè)葉子，轉(zhuǎn)上一步，直到終了。到終了。), 2 , 1( ,silisiiilpTm1)(運(yùn)籌學(xué)F例例1、s=6，其權(quán)分別為，其權(quán)分別為4，3，2，2，1，

14、求最優(yōu)二叉樹(shù)。求最優(yōu)二叉樹(shù)。123243365運(yùn)籌學(xué)F例例1、s=6，其權(quán)分別為，其權(quán)分別為4，3，2，2，1，求最優(yōu)二叉樹(shù)。求最優(yōu)二叉樹(shù)。123243396515123243396515運(yùn)籌學(xué)F例例2、最優(yōu)檢索問(wèn)題。、最優(yōu)檢索問(wèn)題。F 運(yùn)用計(jì)算機(jī)進(jìn)展圖書(shū)分運(yùn)用計(jì)算機(jī)進(jìn)展圖書(shū)分 類?，F(xiàn)有五類類。現(xiàn)有五類圖書(shū)共圖書(shū)共100萬(wàn)冊(cè)，其中有萬(wàn)冊(cè)，其中有A類類50萬(wàn)冊(cè)，有萬(wàn)冊(cè)，有B類類20萬(wàn)冊(cè)，萬(wàn)冊(cè)，C類類5萬(wàn)冊(cè)，萬(wàn)冊(cè)，D類類10萬(wàn)冊(cè)，萬(wàn)冊(cè)，E類類15萬(wàn)冊(cè)，問(wèn)如何安排分檢過(guò)程，可使總?cè)f冊(cè)，問(wèn)如何安排分檢過(guò)程，可使總的運(yùn)算比較次數(shù)最??？的運(yùn)算比較次數(shù)最?。窟\(yùn)籌學(xué)F例例3：P235、例、例110.050.4

15、50.050.080.120.25一等品一等品五等品五等品四等品四等品三等品三等品二等品二等品等外品等外品0.100.300.180.551.0測(cè)試順序運(yùn)籌學(xué)3.1 引例引例單行線交通網(wǎng)：?jiǎn)涡芯€交通網(wǎng)：v1到到v8使總費(fèi)用最小的游覽使總費(fèi)用最小的游覽道路。道路。最短路問(wèn)題的普通描畫(huà)：最短路問(wèn)題的普通描畫(huà)： 對(duì)對(duì)D=V，A， a=vi，vj，wa=wij，P是是vs到到vt的路，定義路的路，定義路P的權(quán)的權(quán)是是P中一切弧的權(quán)的和，記為中一切弧的權(quán)的和，記為wP運(yùn)籌學(xué)F路路P0的權(quán)稱為從的權(quán)稱為從vs到到vt的間隔，記為：的間隔，記為：Fd vs，vt F3.2最短路算法最短路算法FDijkstr

16、a算法算法 ：有向圖：有向圖 ，wij0F普通結(jié)論普通結(jié)論)()(min0PwPwP 的最短路到的最短路到isjsvvisvvjisvvvvv,.,.,.,那么最短路問(wèn)題為：那么最短路問(wèn)題為：運(yùn)籌學(xué)Dijkstra算法根本思想P標(biāo)號(hào)：已確定出最短路的節(jié)點(diǎn)。T標(biāo)號(hào)：為確定出最短路的節(jié)點(diǎn)，但表示其間隔的上限。Si：P標(biāo)號(hào)節(jié)點(diǎn)的集合。(v)：最短路中前一個(gè)節(jié)點(diǎn)的編號(hào)。初始值： 0)( )( )(sssvvvMvvvvT運(yùn)籌學(xué)例:MvvTMvvTMvvTvvPkvSi)( )( . . )( )( )( )( 0)( 0)(1 09933221110運(yùn)籌學(xué) 4 1)( , 1 )()(),(),( )

17、,(),(),(),(),(min1)( 3)( )(110)(: ),( 1)( 3)( )(330)(: ),( 1)( 6)( )(660)(: ),(4411498765432444141413331313122212121kvPvvSivTvTvTvTvTvTvTvTvTvvTvTwvPvvvvTvTwvPvvvvTvTwvPvv運(yùn)籌學(xué) 3 3)( , 2 )()(),( ),(),(),(),(),( min4)( 11)( )(11101)(: ),(334123987653266646464kvPvvvSivTvTvTvTvTvTvTvTvvTvTwvPvv運(yùn)籌學(xué) 2 5)(

18、, 3 )()(),(),( ),(),(),( min3)( 5)( 6)(523)(: ),(223413298765222232323kvPvvvvSivTvTvTvTvTvTvTvvTvTwvPvv運(yùn)籌學(xué) 5 6)( , 4 )()(),(),( ),(),( min2)( 6)( )(615)(: ),(552341429876555525252kvPvvvvvSivTvTvTvTvTvTvvTvTwvPvv運(yùn)籌學(xué) 7 9)( , 5 )()(),(),( ),(min5)( 12)( )(1266)(: ),( 5)( 9)( )(936)(: ),( 5)( 10)( )(104

19、6)(: ),(77523415798768845858577757575610656565kvPvvvvvvSivTvTvTvTvTvvTvTwvPvvvvTvTwvPvvvvTvTwvPvv運(yùn)籌學(xué) 6 10)( , 6 )()(),(),( min )( )( 12)(1349)(: ),(667523416698658878787kvPvvvvvvvSivTvTvTvTvvTvTwvPvv不變運(yùn)籌學(xué) . )( )(min,8 12)( , 7 )()(),( min,9968886752341789866算法終止轉(zhuǎn)向的點(diǎn)無(wú)指向不屬于轉(zhuǎn)向的點(diǎn)無(wú)指向不屬于vTvTSvkvPvvvvvvvvS

20、ivTvTvTSv運(yùn)籌學(xué)總結(jié): 算法步驟:MvvTvvPvvPvvPvvPvvPvvPvvPvvP)( )(5)( 12)(5)( 9)(5)( 10)(2)( 6)(1)( 1)(1)( 3)(3)( 5)(0)( 0)(998877665544332211運(yùn)籌學(xué)FDijkstra算法算法 ：無(wú)向圖求最短鏈，：無(wú)向圖求最短鏈，wij0F存在負(fù)權(quán)時(shí)求最短路問(wèn)題存在負(fù)權(quán)時(shí)求最短路問(wèn)題 ),(: ),(:jijjkjijjkvSvEvvvSvAvv的點(diǎn)且考察修改為的點(diǎn)且考察算法修改運(yùn)籌學(xué)4.1根本概念和根本定理根本概念和根本定理網(wǎng)絡(luò)與流網(wǎng)絡(luò)與流定義定義: 對(duì)有向圖對(duì)有向圖D=(V,A):vs -始

21、點(diǎn)始點(diǎn) vt - 終點(diǎn)終點(diǎn) 其他其他 - 中間點(diǎn)中間點(diǎn)c(vi,vj) - 弧弧(vi,vj)的容量的容量, 簡(jiǎn)寫(xiě)為簡(jiǎn)寫(xiě)為cijD=(V,A,C) - 網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò) fij - 弧弧(vi,vj)上的流量上的流量運(yùn)籌學(xué)F可行流與最大流可行流與最大流F可行流滿足可行流滿足:稱為可行流的流量有對(duì)有對(duì)有對(duì)平衡條件（對(duì)容量限制條件)()( :)( :0:,:)20 ),:) 1),(),(),(),(),(),(fvfvffvfvffvfftsivcfAvvAvvjtAvvtjtAvvjsAvvsjsAvvjiAvvijiijijjitjjtsjjsijji流入量=流出量流入量流出量運(yùn)籌學(xué)最大流問(wèn)題tif

22、vfftsiffsifvffAvvcffvAvvjtAvvtjAvvjiAvvijAvvjsAvvsjjiijijtjjtijjisjjs )(, 0 )( ),( 0)(max),(),(),(),(),(),(運(yùn)籌學(xué)F增廣鏈增廣鏈: F幾個(gè)概念幾個(gè)概念: 對(duì)可行流對(duì)可行流F例例:圖圖10-23其全體記為后向弧反弧的方向與鏈的方向相其全體記為前向弧致弧的方向與鏈的方向一網(wǎng)絡(luò)中的一條鏈非零流弧零流弧非飽和弧飽和弧- ),.,( 0 0 tsijijijijijijvvffcfcfijff 運(yùn)籌學(xué)增廣鏈: 設(shè)f是一可行流, 時(shí)從始點(diǎn)到終點(diǎn)的一條鏈, 假設(shè)滿足以下條件,稱其為一條增廣鏈.例: 圖1

23、0-24截集和截量設(shè) 把始點(diǎn)在S,終點(diǎn)在T中的一切弧構(gòu)成的集合, 記為(S,T).非零流弧對(duì)后向弧非飽和弧對(duì)前向弧ijijijijcfcf0:0:TSVTS,可添加流量的鏈運(yùn)籌學(xué)F定義定義: 截集截集F定義定義: 截量截量 .),(,),( _11_11_11稱為截集則把弧集且和被分為兩個(gè)非空集合若對(duì)網(wǎng)絡(luò)VVVvVvVVVCAVDts),(),(_11_11_11_11),( :),(,),( VVvvijjicVVcVVcVV即記為簡(jiǎn)稱截量集的容量為截中所有弧的容量之和稱把截集運(yùn)籌學(xué)F幾點(diǎn)結(jié)論幾點(diǎn)結(jié)論最小截集容量最大流量最大流量最小截集定理的增廣鏈不存在關(guān)于是最大流可行流 : ) 3 2),

24、()( ) 1*_11ffVVcfv運(yùn)籌學(xué)F網(wǎng)絡(luò)中的點(diǎn)分為網(wǎng)絡(luò)中的點(diǎn)分為:F標(biāo)號(hào)點(diǎn)標(biāo)號(hào)點(diǎn)F標(biāo)號(hào)未檢查點(diǎn)標(biāo)號(hào)未檢查點(diǎn)F標(biāo)號(hào)已檢查點(diǎn)標(biāo)號(hào)已檢查點(diǎn)F未標(biāo)號(hào)點(diǎn)未標(biāo)號(hào)點(diǎn)運(yùn)籌學(xué)F1) 標(biāo)號(hào)過(guò)程標(biāo)號(hào)過(guò)程., .,),(min)( :),(,( 0,),(),(min)( :),(,( ,),()(,), 0( 停止則已得到最大流沒(méi)有得到標(biāo)號(hào)若進(jìn)入調(diào)整過(guò)程已找到一條增廣鏈已標(biāo)號(hào)若其中標(biāo)號(hào)給非零流弧后向弧對(duì)其中標(biāo)號(hào)給非飽和弧若前向弧對(duì)標(biāo)號(hào)未檢查點(diǎn)對(duì)一般地標(biāo)上給ttjiijjijjiijijijijjijijijjiisvvfvlvlvlvvfvvfcvlvlvlvvcfvvvv運(yùn)籌學(xué)F 2) 調(diào)整過(guò)程調(diào)整過(guò)程:

25、 沿增廣鏈調(diào)整流量沿增廣鏈調(diào)整流量.F例例: 圖圖10-25運(yùn)籌學(xué)F定義定義: 對(duì)對(duì)D=(V,A,C), 給定一個(gè)單位流量給定一個(gè)單位流量的費(fèi)用的費(fèi)用bij0, 最小費(fèi)用最大流即最小費(fèi)用最大流即:求一最求一最大流大流f, 使使F 對(duì)增廣鏈對(duì)增廣鏈, 假設(shè)調(diào)整流量假設(shè)調(diào)整流量=1, 那么新可那么新可行流行流f的費(fèi)用比原可行流的費(fèi)用比原可行流f的費(fèi)用添加的費(fèi)用添加:Avvijijjifbfb),()(min運(yùn)籌學(xué)F此為增廣鏈此為增廣鏈的費(fèi)用的費(fèi)用.F最小費(fèi)用最大流的求解最小費(fèi)用最大流的求解F構(gòu)造賦權(quán)有向圖構(gòu)造賦權(quán)有向圖w(f), 定義定義:ijijbbfbfb)()(0 0 ijijijjiiji

26、jijijijijffbwcfcfbw運(yùn)籌學(xué)在w(f)中找最小費(fèi)用增廣鏈, 直至沒(méi)有最小費(fèi)用增廣鏈為止.假設(shè)存在最小費(fèi)用增廣鏈, 調(diào)整流量如下: ),( ),( ),( )(min),(minmin)1()1()1()1()1(jikijjikijjikijkijkijkijijvvfvvfvvffffc運(yùn)籌學(xué)初初始始網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)絡(luò)數(shù)數(shù)值值VsV1 V2 V3 Vt 運(yùn)籌學(xué)(4,10)(1, 8)(2, 4)(1, 7)(2, 5)(6, 2)(4,10)bij Cij初初始始網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)絡(luò)數(shù)數(shù)值值VsV1 V2 V3 Vt 運(yùn)籌學(xué)取初始取初始可行流可行流f (0) =0V1 V2 V3 Vs Vt 運(yùn)籌

27、學(xué)(4,0)(1, 0)(2, 0)(1, 0)(2, 0)(6, 0)(4,0)取初始取初始可行流可行流f (0) =0V1 V2 V3 Vs Vt bij fij運(yùn)籌學(xué)(4,0)(1, 0)(2, 0)(1, 0)(2, 0)(6, 0)(4,0)取初始取初始可行流可行流f (0) =0構(gòu)造賦構(gòu)造賦權(quán)圖權(quán)圖W(f (0)V1 V2 V3 Vs Vt 0 0 ijijijjiijijijijijijffbwcfcfbw運(yùn)籌學(xué)(4,0)(1, 0)(2, 0)(1, 0)(2, 0)(6, 0)(4,0)取初始取初始可行流可行流f (0) =0構(gòu)造賦構(gòu)造賦權(quán)圖權(quán)圖W(f (0)V1 V2 V3

28、 Vs Vt 運(yùn)籌學(xué)(4,0)(1, 0)(2, 0)(1, 0)(2, 0)(6, 0)(4,0)取初始取初始可行流可行流f (0) =0構(gòu)造賦構(gòu)造賦權(quán)圖權(quán)圖W(f (0)( +, 0 )V1 V2 V3 Vs Vt 運(yùn)籌學(xué)(4,0)(1, 0)(2, 0)(1, 0)(2, 0)(6, 0)(4,0)在初始在初始賦權(quán)圖賦權(quán)圖W(f (0)上求出上求出最短路最短路V1 V2 V3 Vs Vt 運(yùn)籌學(xué)(4,0)(1, 5)(2, 0)(1,5)(2, 5)(6, 0)(4,0)在最短在最短路上增路上增加流量加流量V1 V2 V3 Vs Vt ),( ),( ),( )(min),(minmin

29、)0()0()0()1()0()0(jiijjiijjiijijijijijvvfvvfvvffffc運(yùn)籌學(xué)(4,0)(2, 0)(6, 0)(4,0)在最短在最短路上增路上增加流量加流量原流量原流量如圖所如圖所示示V1 V2 V3 Vs Vt (1, 0)(1, 0)(2, 0)運(yùn)籌學(xué)(4,0)(2, 0)(6, 0)(4,0)求求增增加加的的流流量量V1 V2 V3 Vs Vt 8 - 0 5 - 0 7 - 0最小最小f (0) (1, 0)(1, 0)(2, 0)運(yùn)籌學(xué)(4,0)(1, 5)(2, 0)(1,5)(2, 5)(6, 0)(4,0)在最短在最短路上增路上增加流量加流量 =

30、 5得到新得到新的流量的流量f (1)=5V1 V2 V3 Vs Vt 運(yùn)籌學(xué)(4,0)(1, 5)(2, 0)(1,5) (2, 5)(6, 0)(4,0)根據(jù)新根據(jù)新的流量的流量構(gòu)造又構(gòu)造又一賦權(quán)一賦權(quán)圖圖W(f (1)*只對(duì)只對(duì)增廣鏈增廣鏈V1 V2 V3 Vs Vt 80 0 ijijijjiijijijijijijffbwcfcfbw運(yùn)籌學(xué)(4,0)(2, 0)(1,5) (2, 5)(6, 0)(4,0)賦賦權(quán)權(quán)圖圖W(f (1)的構(gòu)造的構(gòu)造*只對(duì)只對(duì)增廣鏈增廣鏈V1 V2 V3 Vs Vt 8(-1, 5)(1, 5)運(yùn)籌學(xué)(4,0)(2, 0)(1,5)(2, 5)(6, 0)

31、(4,0)賦賦權(quán)權(quán)圖圖W(f (1)的構(gòu)造的構(gòu)造*只對(duì)只對(duì)增廣鏈增廣鏈V1 V2 V3 Vs Vt 8 5(-1, 5)(1, 5)0 0 ijijijjiijijijijijijffbwcfcfbw運(yùn)籌學(xué)(4,0)(2, 0)(1,5)(6, 0)(4,0)賦賦權(quán)權(quán)圖圖W(f (1)的構(gòu)造的構(gòu)造*只對(duì)只對(duì)增廣鏈增廣鏈V1 V2 V3 Vs Vt 8 5(-2, 5) 7(-1,5)(-1, 5)(1, 5)運(yùn)籌學(xué)(4,0)(2, 0)(1,5)(6, 0)(4,0)構(gòu)造的構(gòu)造的賦權(quán)賦權(quán)圖圖W(f (1)*只對(duì)只對(duì)增廣鏈增廣鏈V1 V2 V3 Vs Vt (-2, 5)(-1,5)(-1, 5

32、)(1, 5)運(yùn)籌學(xué)(4,0)(2, 0)(1,5)(6, 0)(4,0)在賦在賦權(quán)圖權(quán)圖W(f (1)上求出上求出最短路最短路V1 V2 V3 Vs Vt (-2, 5)(-1,5)(-1, 5)(1, 5)運(yùn)籌學(xué)Vs (4,0)(1, 5)(2, 0)(1,5)(2, 5)(6, 0)(4,0)在最短在最短路上增路上增加流量加流量V1 V2 V3 Vs Vt 7 - 5 = 2 10 - 0 最小最小運(yùn)籌學(xué)Vs (4,2)(1, 5)(2, 0)(1,7)(2, 5)(6, 0)(4,0) = 2得到新得到新的流量的流量f (2)=7新的流新的流量圖如量圖如圖所示圖所示V1 V2 V3 V

33、s Vt 運(yùn)籌學(xué)根據(jù)新根據(jù)新的流量的流量構(gòu)造又構(gòu)造又一賦權(quán)一賦權(quán)圖圖W(f (2)*只對(duì)只對(duì)增廣鏈增廣鏈V1 (4,0)(1, 5)(2, 0)(1,5)(6, 0)(4,0)V1 V2 V3 Vs Vt (-1, 5)(-2, 5)(-1,5)運(yùn)籌學(xué)對(duì)最短對(duì)最短路上求路上求新的權(quán)新的權(quán)值值V1 (4,2)(1, 5)(2, 0)(1,7)(6, 0)(4,0)V1 V2 V3 Vs Vt (-1, 5)(-2, 5) 100 0 ijijijjiijijijijijijffbwcfcfbw運(yùn)籌學(xué)賦賦權(quán)權(quán)圖圖的構(gòu)造的構(gòu)造W(f (2)*只對(duì)只對(duì)增廣鏈增廣鏈V1 (4,2)(1, 5)(2, 0

34、)(1,7)(6, 0)(4,0)V1 V2 V3 Vs Vt (-1, 5)(-2, 5)(-4,2)0 0 ijijijjiijijijijijijffbwcfcfbw運(yùn)籌學(xué)賦賦權(quán)權(quán)圖圖的構(gòu)造的構(gòu)造W(f (2)*只對(duì)只對(duì)增廣鏈增廣鏈V1 (4,2)(-1, 5)(2, 0)(1,7)(6, 0)(4,0)V1 V2 V3 Vs Vt (1, 5)(-2, 5) 7(-4,2)0 0 ijijijjiijijijijijijffbwcfcfbw運(yùn)籌學(xué)賦賦權(quán)權(quán)圖圖的構(gòu)造的構(gòu)造W(f (2)*只對(duì)只對(duì)增廣鏈增廣鏈V1 (4,2)(2, 0)(-1,7)(6, 0)(4,0)V1 V2 V3 V

35、s Vt (-2, 5)(-4,2)(-1, 5)(1, 5)運(yùn)籌學(xué)新新賦賦權(quán)權(quán)圖圖W(f (2)*只對(duì)只對(duì)增廣鏈增廣鏈V1 (4,2)(2, 0)(-1,7)(6, 0)(4,0)V1 V2 V3 Vs Vt (-2, 5)(-4,2)(-1, 5)(1, 5)運(yùn)籌學(xué)在賦在賦權(quán)圖權(quán)圖W(f (2)上求出上求出最短路最短路V1 (4,2)(2, 0)(-1,7)(6, 0)(4,0)V1 V2 V3 Vs Vt (-2, 5)(-4,2)(-1, 5)(1, 5)運(yùn)籌學(xué)(4,2)(1, 5)(2, 0)(1,7)(2, 5)(6, 0)(4,0)在最短在最短路上增路上增加流量加流量 = 3V1

36、 V2 V3 Vt 8 - 5 = 3 最小最小 10 - 0 4 - 0運(yùn)籌學(xué)(4,2)(1, 8)(2, 3)(1,7)(2, 5)(6, 0)(4,3)在最短在最短路上增路上增加流量加流量 = 3得到新得到新的流量的流量f (3)=10V1 V2 V3 Vt 運(yùn)籌學(xué)根據(jù)新根據(jù)新的流量的流量構(gòu)造又構(gòu)造又一賦權(quán)一賦權(quán)圖圖W(f (3)*只對(duì)只對(duì)增廣鏈增廣鏈V1 (4,2)(2, 3)(-1,7)(6, 0)(4,3)V1 V2 V3 Vs Vt (-2, 5)(-1,5)(-4,2)(1, 8) 8 10 4運(yùn)籌學(xué)賦賦權(quán)權(quán)圖圖W(f (3)的構(gòu)造的構(gòu)造*只對(duì)只對(duì)增廣鏈增廣鏈V1 (4,2)(

37、2, 3)(-1,7)(6, 0)(4,3)V1 V2 V3 Vs Vt (-2, 5)(-1,5)(-4,2)(-1, 8)(-4,3)(-2, 3)運(yùn)籌學(xué)在賦權(quán)在賦權(quán)圖圖W(f (3)上求出上求出最短路最短路V1 (4,2)(2, 3)(-1,7)(6, 0)(4,3)V1 V2 V3 Vs Vt (-2, 5)(-1,5)(-4,2)(-1, 8)(-4,3)(-2, 3)運(yùn)籌學(xué)在初始在初始賦權(quán)圖賦權(quán)圖W(f (0)上求出上求出最短路最短路V1 (4,2)(2, 3)(-1,7)(6, 0)(4,3)V1 V2 V3 Vs Vt (-2, 5)(-1,5)(-4,2)(-1, 8)(-4

38、,3)(-2, 3)運(yùn)籌學(xué)(4,2)(1, 8)(2, 3)(1,7)(2, 5)(6, 0)(4,3)在最短在最短路上增路上增加流量加流量V1 V2 V3 Vt 5 最小最小 10 - 3 4 - 3 = 1 10 - 2 運(yùn)籌學(xué)(4,3)(1, 8)(2, 4)(1,7)(2, 4)(6, 0)(4,4)在最短在最短路上增路上增加流量加流量 = 1得新的得新的流量流量f (4) =11V1 V2 V3 Vt 運(yùn)籌學(xué)(4,3)(1, 8)(2, 4)(1,7)(2, 4)(6, 0)(4,4)*留意留意在負(fù)向在負(fù)向弧上減弧上減去增量去增量值值V1 V2 V3 Vt 5 - 1 運(yùn)籌學(xué)上一次上

39、一次的賦權(quán)的賦權(quán)圖圖*根據(jù)根據(jù)新新流量在流量在最最短途徑短途徑上上對(duì)此重對(duì)此重求求賦權(quán)值賦權(quán)值V1 (4,2)(2, 3)(-1,7)(6, 0)(4,3)V1 V2 V3 Vs Vt (-2, 5)(-4,2)(-1, 8)(-4,3)(-2, 3)運(yùn)籌學(xué)根據(jù)新根據(jù)新的流量的流量構(gòu)造又構(gòu)造又一賦權(quán)一賦權(quán)圖圖W(f (4)*只對(duì)只對(duì)增廣鏈增廣鏈V1 (4,3)(2, 4)(-1,7)(6, 0)(4,4)V1 V2 V3 Vs Vt (2, 4)(1, 8) 10 5 10 4 0 0 ijijijjiijijijijijijffbwcfcfbw運(yùn)籌學(xué)根據(jù)新根據(jù)新的流量的流量構(gòu)造又構(gòu)造又一賦權(quán)

40、一賦權(quán)圖圖W(f (4)*只對(duì)只對(duì)增廣鏈增廣鏈V1 (4,3)(-2, 4)(-1,7)(6, 0)(3,4)V1 V2 V3 Vs Vt (-2, 4)(-4,3)(-1, 8)(-3,4)(2, 4)運(yùn)籌學(xué)沒(méi)有最短路，沒(méi)有最短路，算法終了，算法終了，所得為最小所得為最小費(fèi)用最大流費(fèi)用最大流V1 (4,3)(-2, 4)(-1,7)(6, 0)(3,4)V1 V2 V3 Vs Vt (-2, 4)(-4,3)(-1, 8)(-3,4)(2, 4)運(yùn)籌學(xué)F6.1一筆劃問(wèn)題一筆劃問(wèn)題F歐拉鏈歐拉鏈: 圖中存在一條鏈圖中存在一條鏈, 過(guò)每邊一次且過(guò)每邊一次且僅一次僅一次.F歐拉圈歐拉圈: 圖中存在

41、一簡(jiǎn)單圈圖中存在一簡(jiǎn)單圈, 過(guò)每邊一次過(guò)每邊一次.F歐拉圖歐拉圖: 具有歐拉圈的圖具有歐拉圈的圖.運(yùn)籌學(xué)定理: 連通多重圖G是歐拉圖, 當(dāng)且僅當(dāng)G中無(wú)奇點(diǎn) .推論: 連通多重圖G有歐拉鏈, 當(dāng)且僅當(dāng)G恰有兩個(gè)奇點(diǎn).奇偶點(diǎn)作業(yè)法 假設(shè)圖中無(wú)奇點(diǎn), 問(wèn)題已處理; 否那么:第一可行方案確實(shí)定: 奇點(diǎn)配對(duì), 找奇點(diǎn)間的一條鏈.調(diào)整可行方案, 使反復(fù)邊總長(zhǎng)度下降運(yùn)籌學(xué)a)最優(yōu)方案中, 每一邊上最多有一條反復(fù)邊.b)最優(yōu)方案中, 每個(gè)圈上反復(fù)邊的總權(quán)不大于圈總權(quán)的一半. 最優(yōu)性斷定: 滿足a)和b)兩條.%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmU

42、jRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4

43、C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZo

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