三角函數(shù)基本公式

1、精品資料歡迎下載1兩角和差公式。sin（x 亠）二 sin cos ,亠 cos ： sin -,（卅三 R, I ：= R）（S-. ）cos（用亠 I-）二 cos： cos - - si n ： sin ：,（x 三 R, I ：= R）tan （爲(wèi)心）凹 tan ,C,L卞 k ,k Z）（T）1 -ta nata nB2千二倍角公式的推導(dǎo)在公式（SJ , （C：）, （T.J中，當(dāng)- :-時，得到相應(yīng)的一組公式:sin 2： = 2sin ： cos： ； （S.）2 2cos2 二 cos -sin :- ； （C2-.）tan2：2ta n:1 - tan2 :精品資料歡迎下載精

2、品資料歡迎下載因為sin2. cos2，-1，所以公式（C2-.）可以變形為cos2： =2 cos -1 或 co 2： =12s in 二（C2.）公式（S2：J，（C2：.），（C2：.），（T2：.）統(tǒng)稱為二倍角的三角函數(shù)公式，簡稱為 二倍角 公式.探究：（1）二倍角公式的作用在于用單角的三角函數(shù)來表達(dá)二倍角的三角函數(shù)，它 適用于二倍角與單角的三角函數(shù)之間的互化問題.a a（2）二倍角公式為僅限于 2 是的二倍的形式，其它如4是2的兩倍，一是一2 43otq a的兩倍，3是 的兩倍，一是一的兩倍等，所有這些都可以應(yīng)用二倍角公式因此，要236理解“二倍角”的含義，即當(dāng)=2時，就是1的二倍

3、角.凡是符合二倍角關(guān)系的就可以應(yīng)用二倍角公式尤其是“倍角”的意義是相對的（3）二倍角公式是從兩角和的三角函數(shù)公式中，取兩角相等時推導(dǎo)出，記憶時可聯(lián) 想相應(yīng)角的公式.（4） 公式（：.） , （C2：J , （C2）,仃2：.）成立的條件是：公式仃2：）成立的條件JIJI是二二R,鳥-k,kZ .其他二三R.24（5）熟悉“倍角”與“二次”的關(guān)系（升角一降次，降角一升次）（6）特別注意公式的三角表達(dá)形式，且要善于變形：21 cos2 工21 - cos2 工cos, sin這兩個形式今后常用2 半角公式-COS J.2a cos=1 cos . 2二 sin、；一1 - cos.tan21 co

4、s： sin :-2證：1 在 cos2： -1 -2sin2 ：cos： = 1 -2 s in -222 在 cos2: = 2cos 二-12 口cos： =2cos123以上結(jié)果相除得：tan2 2Ci中，以弋2，代二即得:2.2 a 1 -cosa sin2 2中，以：代2:，丄代即得:22 口 1 + COSG - cos -2 21 - cos：1 cost4 1 - cos：2 a1 一(1 2sin2 q)asin23萬能公式sin :-sin :1 cos：a2ta n 22 a1 ta n 心Cosa2 COSH1aa2 sin cos22a a2sin cos2 22

5、a1 2cos- -12cos：二acos2asin2acos-22 a1 - ta n 21 tanaa2 sin cos22.22 -sin cos 一2 22 . 2 ： cos sin 一2 2sin2cos2 二2 2a=tan 2a二 ta n2tan：a2ta n 22 a1 - ta n 22ta n 22 a1 ta n 2 a1 - tan2 22 a1 tan2 cos：aa2sincos222 . 2 ： cos sin 2 2a2ta n22 a1ta n 2【典型例題】例1化簡下列各式:精品資料歡迎下載aaot1. 4 sincos 2 sin4422.tan 40

6、2 廠丄ta n801 -ta n1 2402精品資料歡迎下載精品資料歡迎下載3.22sin 157+5 - 1 = -COS315兀.5兀.兀n1. 兀14. sin sin sin cossin 121212122645. cos20 cos40 cos80 = sin 20 cos20 cos40 cos80 sin 20 1 1 1sin40 cos40 cos80 sin 80 cos80 sin160 二 2 二 4 二 8 二 1sin 20 -sin 20 -sin 208例 2 求證：sin 力+sin 力+cos 右+cos 力x sin 屮-sin v)+cos v(1

7、-cosr) = sin2 v證：左邊 =(sin T+sin4t+cost+cos2v)x (sin :-sin2 t+cos :-cos2 r)=(sin t+ cost+1) x (sin ?+cos v -1)2=(sin t+ cos r) -1 = 2sin 兀osr = sin2 r = 右邊原式得證關(guān)于“升幕” “降次”的應(yīng)用：在二倍角公式中，“升次”“降次”與角的變化是相對的在解題中應(yīng)視題目的具體情況靈活掌握應(yīng)用+例3求函數(shù) y = cos2 x - cosxsin x的值域.解: “SVsinZx-2 2 si n(2x _)124降次精品資料歡迎下載精品資料歡迎下載t -

8、1 空 sin(2x)乞 142JT2 兀例4求證：sin黒亠cos ： cos( ) - sin ()的值 是與：無關(guān) 的定值證：3 61 1J原式(1-cos2-：1-cos(2-：“ c o s c o s( 11 二)一降次2 2331cos( 2：)-cos2： cos： (coscos：si n sin：)23331 123(coscos2： sin sin2： -cos2二)coscosgn：)13cos2 sin 2 二一sin2：)=丄43322精品資料歡迎下載精品資料歡迎下載化簡:Z)2噲“)的值與止關(guān)1 cos - sin v 1 - cost - sin v解:原式求證

9、:證:sin2 爲(wèi)小cos :1 - cos v - si nr 1 cosv - sin 二2日日日2cos2sin cos2222 e日日2sin2sin cos-222eee2cos(cossin )2222sin 二(sin 二-cosg_-1+cos 1cos=-(c ot t an)= -()=22 si 巾 si n1 sin4)-cos4r 1 sin4r cos4r升幕2 0日日2sin 2si n cos+ 2222 e日日2cos 2sin cos2226 e 62si n (sincos)2 2 2_0 -sin )22 2c s c si n+002cos (cos2

10、22tan1 - ta n2 二原式等價于：1 sin4-cos2tan =21 sin4) cos4 J 1 - tan升幕精品資料歡迎下載coslO= 2cos40 沁0coslO泌L=1coslO.sin4日+ (1cos的2sin2Tcos2日+ 2sin22日左邊2sin 4日十(1 +cos4日)2sin 2日cos2日 + 2 cos2 2日_ 2sin2日(cos2日+sin2日)_ta門2甘2cos2v(sin 2 cos2 R右邊=瓷訂仏訃左邊=右邊原式得證例7利用三角公式化簡：sin 50 (1. 3tg10 )分析：化正切為正弦、余弦，便于探索解題思路.-.3 sin10解：sin50 (1.3tg10 ) =s