代數(shù)式的變形競賽題

1、代數(shù)式的變形(整式與分式)在化簡、求值、證明恒等式(不等式)、解方程(不等式)的過程中，常需將代數(shù)式變形，現(xiàn)結合實例對代數(shù)式的基本變形，如配方、因式分解、換元、設參、拆項與逐步合并等 方法作初步介紹.1.配方在實數(shù)范圍內(nèi)，配方的目的就是為了發(fā)現(xiàn)題中的隱含條件，以便利用實數(shù)的性質(zhì)來解題例1設a、b、c、d都是整數(shù)，且 m=02+b2,n=c 2+d2,mn也可以表示成兩個整數(shù)的平方和， 其形式是.解 mn=(a2+b2)(c 2+d2)=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd=(ac+bd) 2+(ad-bc) 2=(ac-bd) 2+(ad+bc) 2,所以，mn的形式

2、為(ac+bd) 2+(ad-bc) 2 或(ac-bd ) 2+(ad+bc) 2.例 2 設 x、y、z 為實數(shù)，且(y-z) 2+(x-y) 2+(z-x) 2=(y+z-2x) 2+(z+x-2y) 2+(x+y-2z) 2.0+1)3 +1)(孫+ 1)求1一 + lXy:+D(，+D 的值.解將條件化簡成2x2+2y2+2z2-2xy-2x 2-2yz=0(x-y) 2+(x-z) 2+(y-z) 2=0x=y=z,，原式=1.2.因式分解前面已介紹過因式分解的各種典型方法,下面再舉幾個應用方面的例子例3 如果a是x2-3x+1=0的根,試求解-.1a 為 x2-3x+1=0 的根

3、,a"十1的值.3aa 2-3a+1=0,且 s'+1=1.(a2 3a +1)(21 +M + 3a)一 3a說明：這里只對所求式分子進行因式分解，避免了解方程和復雜的計算3.換元換元使復雜的問題變得簡潔明了.例4設a+b+c=3m,求證：(m-a) 3+(m-b)3+(m-c) 3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.證明令 p=m-a,q=m-b,r=m-c 貝Up+q+r=0.P3+q3+r 3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0p3+q3+r3-3pqr=0即(m-a) 3+(m-b) 3+(m-c) 3-3(m-a)(m-b)(m

4、-c)=0-56-34.”56徵。1235例 5 若 6%9012M456729012347,試比較 A、B 的大小.解設 r則 "2工 _ E =-W + 2) -5 + 1) = 2走丁 二二,一,一廣丁 二：.-2x> y ，2x-y >0,又 y>0,可知尸 y2.-.a> B.4 .設參當已知條件以連比的形式出現(xiàn)時，可引進一個比例系數(shù)來表示這個連比牙 _"_ 若例6 若值一辦 b-c 亡一色求x+y+z的值.則有 x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k, x+y+z=(a -b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.例7已知a

5、、b、c為非負實數(shù)，且 a2+b2+c2=1,求a+b+c的值.解設 a+b+c=k貝U a+b=k-c , b+c=k-a,a+c=k-b.a 2k-a 3+b2k-b 3+c2k-c 3=-3abc,(a 2+b2+c2)k+3abc=a 3+b3+c3.,.a2+b2+c2=1,k=a3+b3+c3-3abc=(a+b) 3-3a 2b-3ab 2+c3-3abc=(a+b+c)(a+b) 2+c2-(a+b)c-3ab(a+b+c),=(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab-bc-ca),k=k(a 2+b2+c2-ab-bc-ac),k(a 2+b2+c2-ab-bc-ca-1)=

6、0,k( -ab-bc-ac)=0.若 K=0,就是 a+b+c=0.若-ab-bc-ac=0,即(a+b+c) 2-(a 2+b2+c2)=0,(a+b+c) 2=1,a+b+c=± 1綜上知 a+b+c=0 或 a+b+c=± 15 .“拆”、“并”和通分下面重點介紹分式的變形：(1)分離分式 為了討論某些用分式表示的數(shù)的性質(zhì)，有時要將一個分式表示為一個整式 和一個分式的代數(shù)和.21題 + 4例8證明對于任意自然數(shù)n,分數(shù)14咫+ W皆不可約.證明 如果一個假分數(shù)可以通約，化為帶分數(shù)后，它的真分數(shù)部分也必定可以通約 .21福+4 入 H 1% + 3 .19= 1 十，

7、=2 十，14比十314兩十3而7月十17惹十114 國 + 321部 + 4顯然In+1不可通約，故 7片十1不可通約，從而14同+ 3也不可通約.(2)表示成部分分式 將一個分式表示為部分分式就是將分式化為若干個真分式的代數(shù)和(3)通分 通分是分式中最基本的變形 ，例9的變形就是以通分為基礎的，下面再看一個技巧 性較強的例子.例9 已知臺仁一口口亡一3 ab-e求證：工一i二i 一.a b c = ho-a ac -b2 ab -c2一iS 4方心，-盤心4方與證明 - ：l -£-6.其他變形例10 已知x(xw0, ±1)和1兩個數(shù)，如果只許用加法、 減法和1作被除

8、數(shù)的除法三種運 算(可用括號)，經(jīng)過六步算出x2.那么計算的表達式是.解 x 2=x(x+1)-x或 x 2=x(x-1)+x例 11 設 a、b、c、d 都是正整數(shù)，且 a5=b4,c 3=d2,c-a=19,求 d-b.解 由質(zhì)因數(shù)分解的唯一性及a5=b4,c 3=d2,可設a=x4,c=y 2,故19=c-a=(y 2-x 4)=(y-x 2)(y+x 2)U, 無 解得 x=3. y=10. d -b=y3-x 5=757強化練習1 .選擇題s 23x , X + ,1 十一十(1)把 工工 #相乘，其乘積是一個多項式，該多項式的次數(shù)是(A) 2 (B) 3 (Q 6 (D) 7 (

9、E) 8(2) 已知口 占 。+5則次占的值是().(A)1 (B)0 (C)-1 (D)3(3)假定x和y是正數(shù)并且成反比，若 x增加了 p%則y減少了().P 100.1。吐(A) p% (B) 1 -' % (C) J % (D)"-'% (E) 1 ： 一 %2.填空題(1) (x-3) 5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f ,貝U a+b+c+d+e+f=, b+c+d+e= 1_1刎產(chǎn)"3秒.2、(2)若算 yky =.2 2.2一魁4帖已知 y1=2x,y 2=">'1 期5 ,則 y1y1986=3 .若(x-

10、z ) 2-4(x-y)(y-z)=0,試求 x+z 與 y 的關系.a ha h 4_4 .把白 修寫成兩個因式的積，使它們的和為8 值，求這兩個式子.X2+3y2 +守44 Q5 .若 x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0.求" + 4y 4 7？ 的值.6 .已知x,y,z為互不相等的三個數(shù)，求證112十=.7 .已知a2+c2=2b2,求證地血十力已十曰8 .設有多項式 f(x)=4x 4-4px 3+4qx2+2q(m+1)x+(m+1) 2,求證：如果f(x)的系數(shù)滿足p2-4q-4(m-1)=0,那么,f(x)恰好是一個二次三項式的平方9 .設(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dab+abc).求證:ac=bd.參考答案2.(1)-32,210 (2)3.略.(3)2a b 口十小 a -b內(nèi)口+小a -b b a廠丁丁丁而=''，兩個因式為二1,3.4. L, 一一85. 1 1 6.略，7.略.8. 1.- p 2-4q- 4(m+1)=0, -4q=p 2-4(m+1)=0, f(x)=4x4-4px 3+p 2-4(m+1)x 2+2p - (m+1)x+(m+1) 2 =4x4+p2x2+(m+1)2-4px 3-4(m+1)x 2+2p(m+1)x =2x