趣味數(shù)學(xué)114：不可思議的“雪花曲線”(共4頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上如果說(shuō)有一種平面圖形，它的面積是有限的而周長(zhǎng)卻是無(wú)限的，你相信嗎？“雪花曲線”就是這樣。那么，什么是“雪花曲線”呢？“雪花曲線”是從一個(gè)等邊三角形(如圖)開(kāi)始，一步一步作出來(lái)的。第一步：把等邊三角形的各邊三等分，從每條邊三等分后的中段，向外作小等邊三角形，再去掉與原來(lái)等邊三角形重疊的邊(如圖)。為了便于敘述，以后把這個(gè)過(guò)程簡(jiǎn)稱為“變化”。第二步：對(duì)上一步得到的小等邊三角形，重復(fù)上面的變化(如圖)。第三步：再對(duì)上一步得到的小等邊三角形，重復(fù)上面的變化(如圖)。第四步：再對(duì)上一步得到的小等邊三角形，重復(fù)上面的變化(如圖)。第五步、第六步照這樣一直進(jìn)行下去，就得到“雪花曲線

2、”?，F(xiàn)在來(lái)計(jì)算“雪花曲線”(所圍成的圖形)的面積和周長(zhǎng)。從以上過(guò)程可以看出，“雪花曲線”是一個(gè)邊長(zhǎng)、邊數(shù)不斷變化，同一圖形邊長(zhǎng)相等的對(duì)稱圖形。所以，必須首先研究一下圖形的邊數(shù)、邊長(zhǎng)和面積的變化規(guī)律。觀察發(fā)現(xiàn)：規(guī)律一：每次變化后，原來(lái)等邊三角形的一條邊，所形成的折線包括4條線段，所以，新圖形的邊數(shù)是原圖形的4倍，而邊長(zhǎng)是原圖形的1/3；規(guī)律二：每次變化后，原來(lái)等邊三角形的一條邊上，所作的小等邊三角形的面積，是原來(lái)等邊三角形面積的1/9(參看下圖)。一、“雪花曲線”的面積：為了便于計(jì)算，設(shè)原來(lái)等邊三角形的面積為“1”。第一步以后，因?yàn)樵瓉?lái)的邊數(shù)是3，向外作了3個(gè)小等邊三角形；每個(gè)小等邊三角形的面積

3、是1/9，增加的面積是3×1/9。第二步以后，邊數(shù)變成3×4，向外作了3×4個(gè)小等邊三角形；每個(gè)小等邊三角形的面積是(1/9)2，增加的面積是3×4×(1/9)2。第三步以后，邊數(shù)變成3×42，向外作了3×42個(gè)小等邊三角形；每個(gè)小等邊三角形的面積是(1/9)3，增加的面積是3×42×(1/9)3。第四步以后，邊數(shù)變成3×43，向外作了3×43個(gè)小等邊三角形；每個(gè)小等邊三角形的面積是(1/9)4，增加的面積是3×43×(1/9)4。依次類推，第n步以后，邊數(shù)變成3&

4、#215;4n-1，向外作了3×4n-1個(gè)小等邊三角形；每個(gè)小等邊三角形的面積是(1/9)n，增加的面積是3×4n-1×(1/9)n。于是，“雪花曲線”的面積S雪13×1/93×4×(1/9)23×42×(1/9)33×43×(1/9)43×4n-1×(1/9)n化簡(jiǎn)，由第3項(xiàng)開(kāi)始，從每項(xiàng)的最后一個(gè)因數(shù)中，拿出1個(gè)1/9，與前面的3乘在一起，于是：S雪13×1/9(3×1/9)×(4×1/9)(3×1/9)×(4&#

5、215;1/9)2(3×1/9)×(4×1/9)3(3×1/9)×(4×1/9)n-111/31/3×4/91/3×(4/9)21/3×(4/9)31/3×(4/9)n-111/314/9(4/9)2(4/9)3(4/9)n-1中括號(hào)里面是一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為4/9的無(wú)窮等比數(shù)列。根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，首項(xiàng)為a，公比為q時(shí)，等比數(shù)列前n項(xiàng)的和Sna(1qn)/(1q)。對(duì)于q1的無(wú)窮等比數(shù)列來(lái)說(shuō)，qn趨于0，Sa/(1q)。這里，a1，q4/91，所以，中括號(hào)里面的和等于1/(14/9)9/5。于是，“雪花曲線”的面積是S雪11/3×9/513/58/5。即，“雪花曲線”的面積是原來(lái)等邊三角形的8/5倍。二、“雪花曲線”的周長(zhǎng)：因?yàn)?，周長(zhǎng)邊長(zhǎng)×邊數(shù)，而每次變化后，邊長(zhǎng)是原來(lái)的1/3，邊數(shù)是原來(lái)的4倍，所以，周長(zhǎng)是原來(lái)的1/3×44/3。也就是說(shuō)，每次變化后，邊長(zhǎng)都比原