概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末總結(jié)

1、第1章概率論的基本概念1.1隨機(jī)試驗(yàn)稱滿足以下三個(gè)條件的試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)：（1）在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行；（2）每次試驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確所有的可能結(jié)果；（3）進(jìn)行試驗(yàn)之前，不能確定哪個(gè)結(jié)果出現(xiàn)。1. 2樣本點(diǎn)樣本空間隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果稱為一個(gè)樣本點(diǎn)，也稱為基本事件。樣本點(diǎn)的全體所構(gòu)成的集合稱為樣本空間，也稱為必然事件。必然事件在每次試 驗(yàn)中必然發(fā)生。>隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間不一定唯一。在同一試驗(yàn)中，試驗(yàn)的目的不同時(shí)，樣本 空間往往是不同的。所以應(yīng)從試驗(yàn)的目的出發(fā)確定樣本空間。樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱事件。在每次試驗(yàn)中必不發(fā)生的事件為不可能事件。1. 3事件的

2、關(guān)系及運(yùn)算（1）包含關(guān)系 Au3,即事件A發(fā)生，導(dǎo)致事件B發(fā)生；（2）相等關(guān)系A(chǔ) = 8,即Au8且8uA;（3）和事件（也叫并事件）C =,即事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生；（4）積事件（也叫交事件）C = A8 = AcB,即事件A與事件B同時(shí)發(fā)生；（5）差事件C = A-B = A-AB,即事件A發(fā)生，同時(shí)，事件B不發(fā)生；（6）互斥事件（也叫互不相容事件）A、B滿足A8 =。，即事件A與事件B不同時(shí)發(fā)生；（7）對(duì)立事件（也叫逆事件）A =。- A,即= AA = </> o1. 4事件的運(yùn)算律 (1)交換律 = 8 = AB=BA ；(2)結(jié)合律 Au(B = C)=(A =

3、B)uC, A(BC)=(AB)C,(3)分配律 A(BC)=(AB)>(AC A(BC)= (ABA<jC)；(4)事等律 A = A = A, 44=4;(5)差化積 A-B = A-AB=AB ;(6)反演律(也叫德摩根律)aUb = ac>b = ab, aXb = ab = ab o1. 5概率的公理化定義設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，。為樣本空間，對(duì)于。中的每一個(gè)事件A,賦予一個(gè)實(shí)數(shù)P(A), 稱之為A的概率,P(A)滿足：(1) 0< P(A) < 1 ;(2) P(Q) = 1；(3)若事件/ 4,，A“,兩兩互不相容，則有P(Ai = & A <

4、>')= P(A|) + P(A2)hf P( A“)+ 。1 . 6概率的性質(zhì)(1)尸3)= 0；(2)若事件4, 4, 一，A“兩兩不互相容，則P(A4 5A.)= P(A) + P(&) + P(A”)；(3) P(A) = 1 -P(A)；(4) P(B-A) = P(B)-P(AB)O特別地，若 AuB,則 P(B-A) = P(B) - P(A), P(A) < P(B)；(5) P(A<jB) = P(A) + P(B) - P(AB) o1 /11. 7古典概型古典概率設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E滿足：(1)E的樣本空間。只有有限個(gè)樣本點(diǎn)；(2)每個(gè)樣本點(diǎn)的發(fā)

5、生是等可能的，則稱此試驗(yàn)為古典概型或等可能概型。古典概率P(A) =A所包含的樣本點(diǎn)數(shù)。( 樣本空間。中所包含的樣本點(diǎn)總數(shù)1. 8事件的獨(dú)立性伯努利概型若P(AB) = P(A)尸(8),則稱事件A與事件B相互獨(dú)立。P(AB) = P(A)P(B)P(BC) = P(B)P(C) ,則稱事件a、b、C相互獨(dú)立。若前三式成立，則稱P(AC) = P(A)P(C)P(ABC) = P(A)P(B)P(C)事件A、B、C兩兩相互獨(dú)立。若事件A與事件B相互獨(dú)立，則A與互Z與8,越應(yīng)也相互獨(dú)立。設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E滿足：(1)在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行次；(2)每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果,A發(fā)生或A不發(fā)生，且每次A發(fā)

6、生的概率相同;(3)每次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，則稱這種試驗(yàn)為伯努利概型，或稱為重伯努利試驗(yàn)。n重伯努利試驗(yàn)中A發(fā)生k次的概率為匕(攵)= C：P%i(攵=。，2,，； + q = 1)，其中 P(A) = 。1.9條件概率乘法公式全概率公式貝葉斯公式(1)條件概率尸(即力)=與孚，P(A) > 0 ; P(A)(2)乘法公式 P(AB) = P(BA)P(A), P(A) > 0 ；(3)全概率公式。(4)=鳳4同"(用)+44怛2"(52)+ -+風(fēng)婀*(線),其中P(4)>0(i = 12,)，金，當(dāng)，乩是。的一個(gè)分割；(4)貝葉斯公式 P(閔A) = 4

7、獨(dú)=-"6四”也 - (/= 1,2, -,n) P( A"尸 ZP(A|8,)P(8,)1=1第2章隨機(jī)變量及其分布2- 1隨機(jī)變量分布函數(shù)隨機(jī)變量X是樣本點(diǎn)的實(shí)值函數(shù),定義域?yàn)闃颖究臻g,值域?yàn)閷?shí)數(shù)。分布函數(shù)為尸(x) = P(X < x),其中x為任意實(shí)數(shù)。2. 2分布函數(shù)的性質(zhì)(1) 0< F(x) K 1 ,且 lim F(x) = 0 , lim F(x) = I ； KY.1 竹(2) F(x)單調(diào)不減，即若為v x2,則F(x.)< F(x2)；(3) F(x)右連續(xù)，即/(x + 0) =尸(x)。(4) 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量X的分

8、布律為P(X =)=pk (k = 1,2,3, -)。也可以用表格表示Xx2 a P(X=")PlPi Pn 也可以用矩陣表示,即x( xi x2當(dāng)1乃 P1 Pn )分布律的性質(zhì)1) ) pk > 0 (攵= 1,2,3,);2) 4幾種常見的離散型隨機(jī)變量的分布（1）（0 1）分布（也叫兩點(diǎn)分布）X8（1,P）的分布律為P（X = k）=獷 Q - p）i 伙=0,1），其中 0 v < 1 為參數(shù)。（2）二項(xiàng)分布 X8（”,p）的分布律為尸（X =攵）=C： pk （1 一 p）"改 伙=0,12, ,），其中 0 v < 1 為參數(shù)。（3）泊松分

9、布 XP（2）或X/（的分布律為P（X =k） = eA（k = 0,12,），其中2>0為參數(shù)。 k2. 5連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為b（x） = P（X Wx）=/«）,，其中/（x） NO且 J8/（X）可積，/（刈稱為X的概率密度。“X）的性質(zhì)：(1)f(x) > 0 ；(2) =(3) Pa < X <b) = f (x)dx = F(b) - F(a)；(4)尸(X= a) = 0(a為常數(shù));(o)當(dāng)/(X)在點(diǎn)x處連續(xù)時(shí)，/(x) = Fx) o(4) 幾種常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布(1)均勻分布XU(a,0)1I一 ci &l

10、t; x <bX的概率密度 /(幻=-小0 其他0, x<aX 的分布函數(shù) F(x) = < -a <x<bb-a1, x > b（2）指數(shù)分布 X-EW1/1X的概率密度二;，其中心。為常數(shù)。1一e r > 0X的分布函數(shù)“小(3)正態(tài)分布 XN(,b2)1X的概率密度f(wàn)(x)=.e 2/ (-sex V+O0)其中，b>o為常數(shù)。 J24bX的分布函數(shù)F(x) = e dt 而or (4)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布XN(O,1)I _X的概率密度例外=工”丁() J2乃I一二X的分布函數(shù)(x) = e 2dt 后Jr若XN(,，)，則y = 3二4N(O,

11、1),且有計(jì)算公式 (7P(a<X <b) = F(b) 一 F(a)=(叱上)-。bO,2.7隨機(jī)變量的函數(shù)的分布(1)離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布已知X的分布律為P(X =xk) = pk(k = 1,2,3,)，Y = g(X)的分布律有以下兩種情形：當(dāng)九=g(Q)的值互不相等時(shí)，則p(y = &)= p(X3)= H(攵=1,2,)當(dāng)先=g(xj)的值有相等時(shí)，則應(yīng)把那些相等的值分別合并，同時(shí)將它們所對(duì) 應(yīng)的概率相加，即得出丫 = g(x)的分布律。(2)連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布已知X的概率密度為fx(X)，且y = g(x)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),求y = g(X)的概率

12、密 度，通常使用以下兩種方法：分布函數(shù)法：先求丫的分布函數(shù)4(y) = P(y") = P(g(X)<)，)= J fx (a)6/a-,再對(duì)y求導(dǎo)數(shù), g(x)<y可得丫的概率密度/；，() = F；(y)o公式法：如果),=冢制嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)(y)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則Y = g(X)也是連續(xù)型隨機(jī)變量，且其概率密度為力“修網(wǎng)即劃a <y< P0, 其他其中 a = nin g(7), g(+ s), P = max g(y>), g(+ )(此時(shí) f (x)在 一8 < x < +co 上不為 0 );或 a = min g(a), (/

13、?), P = max g(a), g®(此時(shí) f(x)在a,“之外全 為0.)第3章多維隨機(jī)變量及其分布3.1 二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)x、丫是兩個(gè)隨機(jī)變量，稱有序數(shù)組(x,y)為二維隨機(jī)變量。聯(lián)合分布函數(shù)為尸(x,y) = P(X«x,y«y),其中x,)，為任意實(shí)數(shù)。3. 2聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)(1) 0 < T73,y) K 1,且 F(ao,y) = F(x,s) = F(oo,co) = 0, /(+s,+s) = 1。(2) E(蒼y)對(duì)每一個(gè)變量單調(diào)不減，即對(duì)任意固定的y,當(dāng)匹 <七時(shí),尸(國(guó),y) < F(x2, y)；對(duì)任意固

14、定的x,當(dāng)y v當(dāng)時(shí)，尸(蒼y ) 尸(x,y2)。(3) E(x,y)關(guān)于x右連續(xù)，關(guān)于)，也右連續(xù)。(4)對(duì)任意的xl<x2eR, y, < y2 e R f 有產(chǎn)區(qū)，)2)一尸(不，)2)一產(chǎn)區(qū)，為)+尸(為，M)2°。3. 3邊緣分布函數(shù)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)Fx (x)=/(工,+8)= lim F(a y)；關(guān)于y的邊緣分布函數(shù)Fy(y) =/(+8,y)= lim b(x,y)。 X>+®3. 4二維離散型隨機(jī)變量(1)二維離散型隨機(jī)變量(x,y)的聯(lián)合分布律為PX =xf,r =力)=p* (i, j = 1,2,3,)(2)(x,y)關(guān)于x

15、的邊緣分布律為P(X =Xj) = fp(X =巧,丫 =)=£/, A Pi. (i = l,2,) J-lJ-I -(x.y)關(guān)于y的邊緣分布律為XX尸(y = x)=ZP(x=xr，y = %)=zu 2 p.j( j=i2) r-lr-1(3)聯(lián)合分布律為應(yīng)滿足：% >O(/J = 1,2,- )；oc oc ZZp,J = 1 °/=1 j=l3. 5二維連續(xù)型隨機(jī)變量(1)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為尸(尤) =, 其中稱/(x,y)zo為(x,y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)。(X,丫)關(guān)于x的邊緣概率密度為fx (x)=竹*)=匚f*, y)dy

16、 ；(X,y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為fY(y) = F；()，)=匚/(X, yydx。(3)聯(lián)合密度函數(shù)/*,)，)的性質(zhì)：/",)，»0; L L y)dxdy = 1 ;尸(X,y)£。 = Jj7(x,)，MMv,其中D為XOY平面上的區(qū)域；1 /1當(dāng)f(x, y)在點(diǎn)(x, y)處連續(xù)時(shí)，/(xy)= °一"V)o oxoy3.6二維隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量X與y相互獨(dú)立=F(x,y) =尸x(x)耳(y)。離散型隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立="% X,(i, j = 1,2,)。連續(xù)型X與y相互獨(dú)立。/(x,y) = AW/r(

17、y)(在連續(xù)點(diǎn)處)。3. 7二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布二維離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量(X,y)的聯(lián)合密度函數(shù)z = g(x,y), Z是一維隨機(jī) 變量，z 的分布函數(shù)為Fz(z) = p(zwz)= pg(x,y)4z= JjV(x,，WMv,Z的密度函數(shù)為/z=/%=，U y)dxdy o3.8常用的二維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布(1)z = x+y的分布%=尸(Z < z) = P(X + Y <z)= JJ f(x,y)dxdy =。L /*，dy x+y)<z1/z =4%(z) =/(z - y, ydy 或 fz =

18、，F(xiàn)z (z)="/(X，Z - x)dx dz dz -特別地，當(dāng)x、丫相互獨(dú)立時(shí)，/z(z) =fx(z-y)fY(y)dy=r°fx(xfYz-xdx. J00J8(2) M =max(X,y)&N = min(X,y)的分布Ew (z) = Fx (z)Fy(z) F* =1 - 1 - Fx (z)l - Fr(z)第4章隨機(jī)變量的數(shù)字特征4. 1隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望X離散型 E(X) = yjxkpk 上-】連續(xù)型 E(X) = xjx)dx J-w4. 2隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望(1)設(shè)y = g(x)是x的函數(shù)，其中g(shù)“)為連續(xù)函數(shù)。離散型E(y)=

19、fg(z)p氏連續(xù)型 E(y)= J：g(x)/(x)dx(2)設(shè)Z = g(X,y)是X , y的函數(shù)，其中g(shù)(x,y)為連續(xù)函數(shù)。離散型 E(Z) = Sfg(Xi, yj)Pij 1-1 J-l連續(xù)型 E(Z) =)，)/« y)dxdyJX J84. 3數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1)E(C) = C,(。為常數(shù))(2) E(CX) = CE(X), (C 為常數(shù))推廣：E(aX +b) = aE(X) + b (。、Z?是常數(shù))(3) E(X+Y) = E(X) + E(Y)推廣:E(Xi+X2+ - + X) = E(Xi) + E(X2)4- - + E(Xb)(4)設(shè)x與y相互獨(dú)

20、立，則E(xy)= E(x)E(y)推廣:若 X”X?,，X”相互獨(dú)立，則 E(X X 2 X .) = E(X JE(X 2)E(X n)(4) 方差方差的性質(zhì)方差 D(X) =E(X)= E(X2)-F(X)2方差的性質(zhì)(1)D(C) = 0 , (C為常數(shù))(2) D(CX) = C2D(X)9 (C 為常數(shù))（3）設(shè)x與y相互獨(dú)立，則。（X土y）= o（x）+ o（y）推廣:若X|, X2,X”相互獨(dú)立，則D(X1+X2+. - + XJ = Z)(XI) + D(X2)+ - +D(X/r)(4) D(X) = OoPX =E(X)=1(5) D(X)<E(X-C)2,(。為常

21、數(shù))4.5幾種常見的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差(1)(0-1)分布XB(l,p)E(X) = p, D(X) = p(l )（2）二項(xiàng)分布（3）泊松分布XB(n, /?)E(X) = np , D(X) = p(l - p)XP(/l)或X亞E(X) = Af D(X) = A(4)均勻分布XU(a/)E(X) = "L D(X)=6一：)212(5)指數(shù)分布X4刃E(X) =，D(X) = 42 元(6)正態(tài)分布XN(小 1)E(X) = , O(X) =， 4. 6協(xié)方差相關(guān)系數(shù)X 與 y 的協(xié)方差 cov(X, 丫) = £x 一 E(X)Y 一 £(/) =

22、 E(XY) 一 E(X)E(Y)x與丫的相關(guān)系數(shù)夕燈=cov（x,y）四（%5內(nèi)丫）4. 7協(xié)方差的性質(zhì)(1)cov(x,y)= cov(y,x)(2) cov3X,by)= abcov(X,y),(、。為常數(shù))(3) cov(X +Y,Z) = cov(X,Z) + cov(K,Z)(4) cov(.1X +b1,a2Y + h2) = a1a2 cov(X,K) ( ax , a2, br , b2 為常數(shù))1/1(5) D(aX + bY) = a2D(X + b2D(Y) + 2Mcov(X, Y), 特別地，D(X ±Y) = D(X) + D(Y) ± 2co

23、v(X,K) （6）設(shè)x與y相互獨(dú)立，則cov（x,y）= o。4. 8相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)當(dāng)加=。時(shí)，稱x與丫不相關(guān)。日 |/ = 10丫 =，/+/?，且夕燈="11<04. 9與不相關(guān)的性質(zhì)（1）若隨機(jī)變量x和丫相互獨(dú)立，則x和丫不相關(guān);(2)x和y不相關(guān)=cov(X,r)= 0 o EXY) = E(X)E(r)<=> DX ± Y) = D(X)+ D(Y) o D(X + Y) = D(X - Y) 4. 10 矩(1)k 階原點(diǎn)矩 =E(X«) (% = 1,2,)(2) k階中心矩紇=MxE(X)(女= 1,2,)第6章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概

24、念61總體樣本在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，把研究對(duì)象的全體稱為總體,而把組成總體的各個(gè)元素稱為個(gè)體。 通常為研究總體的某個(gè)數(shù)量指標(biāo)而進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)或觀察，因此，代表總體的數(shù)量 指標(biāo)X是一個(gè)隨機(jī)變量,所以總體的分布是指隨機(jī)變量X的分布。從總體中按一 定規(guī)則抽取個(gè)個(gè)體的過(guò)程稱為抽樣,抽樣的結(jié)果稱為樣本，樣本中所含個(gè)體的 數(shù)量稱為樣本容量。若樣本中的個(gè)個(gè)體XX?，,X”相互獨(dú)立且與總體同分 布稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱樣本。樣本XX2，,X”的試驗(yàn)結(jié)果再，七，覆稱為樣本觀測(cè)值。設(shè)總體X的分布函數(shù)為尸（幻，則XX2,X”的聯(lián)合分布函數(shù)為尸（西，勺,，匕）=口廠（七） r-1若X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為/（X）,則X

25、-X，,X”的聯(lián)合概率密度為/（2,占，,/）=立/（再） /-I若X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為P（X=Xj） = j,則X-X?,X”的聯(lián)合分布律為 P（X=再,、2 =%2,X” =x“）= flP（X,=再）=立 PiJ-lJ-16. 2統(tǒng)計(jì)量設(shè)X1 ,X?，,X ”是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，g = g（X ,X2，,X”）是X,X?，,X.的函數(shù)，若g中不含任何未知參數(shù)，則稱g = g（X-X2 ,X”）是 一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量也是一個(gè)隨機(jī)變量。6. 3常用統(tǒng)計(jì)量（1）樣本均值x = iyx,（2）樣本方差 52=£（%,-%）2= yxf2-nx- - 1M一 1 （仁 ）（

26、3）樣本標(biāo)準(zhǔn)差 5 =、爐=._±（*,-又（4）樣本上階原點(diǎn)矩4（k = l,2,）（5）樣本上階中心矩4之（%-行短= 1,2,）11 /-I（6）順序統(tǒng)計(jì)量樣本中位數(shù)極差第7章參數(shù)估計(jì)7.1參數(shù)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)利用統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)總體的未知參數(shù)稱為參數(shù)估計(jì)。設(shè)X-X2，,X”是來(lái)自總體 X的樣本，為，/，,X ”是樣本的一組觀察值。是總體X的未知參數(shù)。若用一 個(gè)統(tǒng)計(jì)量6 =夕（乂乂2-,乂”）來(lái)估計(jì)6,則稱。是參數(shù)6的估計(jì)量；而稱 0（XX2 ,X"）的觀察值夕房，不，,/）為參數(shù)8的估計(jì)值。用e（X ,x?，,x"）去估計(jì)。，稱為對(duì)e作點(diǎn)估計(jì)。7. 2矩估計(jì)法所謂矩

27、估計(jì)法，是用樣本矩（原點(diǎn)矩）去估計(jì)相應(yīng)的總體矩，用樣本矩的函數(shù)去估 計(jì)相應(yīng)總體矩的函數(shù)的一種方法。設(shè)總體X的分布形式已知，4，內(nèi)是總體分布中的未知參數(shù)，乂*2/-孑“是來(lái)自總體乂的樣本，求4 M，%的矩估計(jì)的步驟如下:（1）求總體x的前歷階矩= E（X）=,仇”）"2=E（X）=從 2電,，fm） <4EX”/幽與4）（2）解（1）中的6個(gè)方程得未知參數(shù)4 ,2,，/，即0 =4（|,2,，M"）=夕2 （1，2，） <4 =處（必，2,1 n（3）用樣本矩4代替相應(yīng)總體k階矩4,得到仇 , 4的矩估* = a（A, 4.，a） AA計(jì)量，即, 3 =%（A，&

28、amp;，A”）疝=/（4,7. 3最大似然估計(jì)設(shè)總體X的概率密度為/（x;6）（當(dāng)X為離散型隨機(jī)變量時(shí)為分布律），6為待估參數(shù)，X1 ,X2,X”時(shí)來(lái)自總體X的樣本，用，勺，,x”為其一組觀測(cè)值，稱。）= 山區(qū)；6）為似然函數(shù)。r-1若當(dāng)。=夕時(shí)，似然函數(shù)8）達(dá)到最大值,則稱6為8的最大似然估計(jì)量。求最大似然估計(jì)量的步驟如下:（I）正確寫出總體x的概率密度/（K。）（當(dāng)x為離散型隨機(jī)變量時(shí)，p（x；e）為其分布律），6為待估參數(shù),構(gòu)造似然函數(shù)n/（玉,當(dāng)x是連續(xù)型隨機(jī)變量 r-l（叼”當(dāng)因是離散型隨機(jī)變量(2)(3)對(duì)似然函數(shù)L（8）取對(duì)數(shù)得對(duì)數(shù)似然函數(shù)in e）；對(duì)對(duì)數(shù)似然函數(shù)關(guān)于。求導(dǎo)并

29、令其為零得似然方程辛=。;(4)解似然方程，就可以得到e的最大似然估計(jì)量。注：若隨機(jī)變量x的分布函數(shù)中含有多個(gè)未知參數(shù)q ,，這時(shí)只需令貴=0=12制) 解該似然方程組，就可以得到各未知參數(shù)q的最大似然估計(jì)量協(xié)o7.4點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)（1）無(wú)偏性 設(shè)6為參數(shù)e的估計(jì)量，若有28） = 6,則稱6為。的無(wú)偏估計(jì)量。（2）有效性 設(shè)仇，仇都是夕的無(wú)偏估計(jì)量,若它們的方差滿足。"）。性則稱夕較凡有效。1/1第6、7章復(fù)習(xí)題1、設(shè)(X1 ,X?,X“)是來(lái)自總體XN(必/)的樣本，其中以已知，未知，則 下列樣本函數(shù)中不是統(tǒng)計(jì)量的是()A.冷,B.蜜X&C 負(fù)號(hào)j口.滄(Xi2、設(shè)(X

30、1 ,X?,X")是來(lái)自總體X的樣本，廳是樣本均值，則對(duì)任意實(shí)數(shù)c有()i/iA.±（Xi-c）2=±Xi2+c2r-ir-1C.£（Xlc）2=£（X司r-1/-I8. t（Xf-c）2<t（X;-X）2 r-1r-1D. 1（%«）2之。（乂一酉 r-Ir-13、設(shè)總體XNg1), 和，均未知，則1之(X, -乃是()A. 的無(wú)偏估計(jì)B. /的矩估計(jì) C. /的無(wú)偏估計(jì)D.，的矩估計(jì)4、設(shè)(4, 3, 5, 5,4, 3, 4,4)是來(lái)自總體XN(,2)的一個(gè)樣本的觀測(cè)值，則的 最大似然估計(jì)值是()A. 4 B. 3 C.

31、4. 5 D. 55、矩估計(jì)必然是()A.無(wú)偏估計(jì) B.總體矩的函數(shù) C.樣本矩的函數(shù) D.最大似然函數(shù)6、設(shè)總體XNW，)，(XX?,X”)是來(lái)自總體X的樣本，則E(X)=; D(X)=o7、設(shè),X“)是來(lái)自參數(shù)為4>0的泊松分布的樣本，其樣本均值、樣本方差分別是夕，則&5)=; D(X)= ；E(S2)=樣本(X1 ,X?,X“)的聯(lián)合分布律為 ofo 1 )8、設(shè)總體X服從(0 1 )分布，即(0<pvl), (X1 ,X2,X) U-P P)是來(lái)自總體X的樣本,則P(G = 上) =( % =0,12 n9、X (沒(méi)有講)設(shè)§2是來(lái)自總體XN(q2)容量為

32、1 6的樣本方差，則D(S2)=o10、總體參數(shù)常用的點(diǎn)估計(jì)方法是 和 o11、設(shè)一個(gè)樣本觀測(cè)值為(0, 2, 0, 2, 0, 2),則總體均值的矩估計(jì)值是, 總體方差的矩估計(jì)值是。12、設(shè)X8(皿)，其中為未知參數(shù)。從總體X中隨機(jī)抽取樣本(X1 ,X,X”)，樣本均值為T ,則未知參數(shù)p的矩估計(jì)量p二 o13、設(shè)總體X服從參數(shù)為丸>0的泊松分布，(X| ,X2,X”)是來(lái)自總體X的樣 本，其樣本均值，樣本方差分別為無(wú)，S晨 如果15+(2-3四2為幾的無(wú)偏估計(jì)量，則。=O14、設(shè)總體XN(,4), (X-X?,X")是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，又為樣本均 值，試求樣本容量應(yīng)取多

33、大，才能使下式成立。£(X-/)2 <0,115、設(shè)(XX2,X")是來(lái)自總體X服從(0-1 )分布的一個(gè)樣本，X, 民二十對(duì)分別為樣本均值和樣本二階中心矩，試求反刀)，D(X),E(B2) o16、設(shè)總體X具有分布律如下表所示:X123P0226（1 - 夕）（1 郎其中e (ovdvi)為未知參數(shù)。已知取得了樣本值X =1,占=2,邑=1，試求。的矩估計(jì)值和最大似然估計(jì)值。| r > 117、設(shè)總體X的分布函數(shù)為= J,其中未知參數(shù)0x<1>1,(占，2,X”)是來(lái)自總體X的樣本。試求：(1) 的矩估計(jì)量;(2)夕的最大似然估計(jì)量。第1、2、3、

34、4章復(fù)習(xí)1、對(duì)任意兩個(gè)事件A和8, P(A-B)=()A. P(A)-P(8)B. P(A)-P(B) + P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A) + P(B) + P(AB)2、設(shè)事件A與事件8互不相容，則()A. P(AB) = 0 B. P(AB) = P(A)P(B) C. P(A) = 1-P(B)D. P(AkjB) = 13、設(shè)4、B為兩事件，且P(8)>0, P(A=1,則必有()A. P(A 2 B) > P(A) B. P(A uB)> P(B)C.尸(A 2 8)=尸(A)D. P(A uB) = P(B)4、設(shè)事件A與8相互獨(dú)立，且尸(A)

35、>0, P(8)>0,不能推出()A.尸(A 2 B) = P(A) + P(B)B. P(A|B)=尸(A)C. P(平)=P(B)D. P(AB) = P(A)P(B)5、設(shè)事件4與事件8滿足尸(43) = 0,則下列說(shuō)法正確的是()A. A與8互不相容B. AB是不可能事件C. P(A) = 0或0(B) = 0D. P(A-B) = P(A) 6、設(shè)事件A與事件B滿足條件AB = X萬(wàn)，則()A . Au B =(/> B. AkjB = Q C. A<jB = AD. A<jB = B1/17、設(shè)隨機(jī)變量X與丫相互獨(dú)立，其分布律如下表所示:X01p0.

36、50. 5則下列結(jié)論正確的是()Y01p0.50.5D.以上完全不正A. X=Y B. P(X =y)= lc.尸(X = 丫)= 0.58、設(shè)XlN(OJ), X2N(O,1), y = X1+X?,則()A. E(r)= 0 B. D(Y) = 2 C. 丫N(O,1)D. 丫N(0,2)9、設(shè)隨機(jī)變量XN(-1,2), yN(l,3),且X與y相互獨(dú)立，則X+2Y ()A. N(l,8) B. N(l,14) C. N(l,22) D. N(l,40)1 0、某射手向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊，每次射擊擊中目標(biāo)的概率為 (0<p<l), 則該射手第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為

37、()A. 3/?(1 - /?)' B. 6/?(1 - P)2 C. 3p2(l- p)2 D. 6/72(1 - /?)-11、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為尸(x),下列結(jié)論中不一定成立的是()A. F(+oo) = 1 B. F(-oo) = 0 C. 0<F(a)<1 D. F(x)為連續(xù)函數(shù)12、設(shè)二維隨機(jī)變量(x,y)滿足E(xy)= E(x)E(y),則()A. D(X +Y) = D(X -Y) B. D(XY) = D(X)D(Y)c. x與y相互獨(dú)立d. x與y不相互獨(dú)立13、對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)變量x和y,以下選項(xiàng)正確的是()A. D(X + Y) = D(X)

38、 + D(Y) B. E(X+ Y) = E(X) +E(Y)C. E(XY) = E(X)E(Y)D. D(XY) = D(X)D(r)14、已知隨機(jī)變量X的概率密度為GW，令Y = -2X,則丫的概率密度為( )A. 2fx (-2y) B.九(一三) C.D.15、設(shè)二維隨機(jī)變量(XI)具有以下概率密度，X與丫相互獨(dú)立，則/*,，)= ()X2 +0<x<l ,l<y<2A.43其他6x2y00<x<l ,0<y <1其他0 < x <1 , -x< y <x其他仁-e usxsz, yzuD.120其他.16、設(shè)A

39、、B、C是任意的三個(gè)隨機(jī)事件，根據(jù)概率的性質(zhì)，則：(1) P(B-A)=：(2) P(A<jB)=；(3)尸(Au8 = C) =o17、設(shè)A、B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A) = 0.4,尸(A = 8) = 0.7。(1)若A與8互不相容，則P(8)=;(2)若A與B相互獨(dú)立，則P(8)=o18、設(shè) P(A) = 0.1, P(BA) = 0.9 , P(B|A) = 0.2,則P(4怛)=。19、設(shè) P(A) = 0.6,尸(8) = 0.8, P(A|8) = 0.7，則尸(3同=20、設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P(X=Q = y,攵= 1,2,N,則常數(shù)21、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函

40、數(shù)為= <1-2x1 -C0;二其密度函數(shù)為fW，則 /'(1)=22、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x) =0,18,ax + b,LX<-1- 1cx<1x>，且 P(X=1) = L 4Ax, 1 < x < 223、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為/") = B, 2<x<3,X0, 其他產(chǎn)(1 v X v 2)=0(2 v X v 3),則 A 二24、設(shè)隨機(jī)變量XN(1.5,4),則尸(國(guó)23)二 25、設(shè)隨機(jī)變量X8(501),則P(X=3) =26、設(shè)隨機(jī)變量(XJ)的分布律如下表所示:XY0100. 4a1b0. 1已知事件(x=o)與(X + Y = 1)相互獨(dú)立，則。二,b27、設(shè)隨機(jī)變量X與丫相互獨(dú)立，方差分別為1, 4,則O(2X-5Y)28、已知 O(X) = 25,。(丫)= 1,=。4，則。(Xy)=29、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松分布,令丫 = 3X -2,則E(r)=D(Y) =30、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,且已知©(乂-1)(乂+2) = -1,則D(X)=31、設(shè)隨