《分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理》

1、1.1.1分類計(jì)數(shù)原理分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理 問題剖析問題剖析 問題問題1兩類兩類能能 用用一個(gè)一個(gè)大寫的英文字母大寫的英文字母或或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字（字（ ）給教室里的座位編號，總共能夠編出）給教室里的座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？多少種不同的號碼？用用一個(gè)一個(gè)大寫的英文字母大寫的英文字母或或一個(gè)一個(gè)阿拉伯阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號數(shù)字給教室里的座位編號09 種種 種種261 0種種26 1036完成這個(gè)事情有完成這個(gè)事情有幾類幾類方案方案要完成什么事情要完成什么事情每類每類方案能否獨(dú)立完方案能否獨(dú)立完成這件事情成這件事情每類每類方案中分別有幾方案中分別有

2、幾種不同的方法種不同的方法完成這件事情共有多完成這件事情共有多少種不同的方法少種不同的方法問題問題1.1. 從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車。從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車。一天中，火車有一天中，火車有4 4 班班, , 汽車有汽車有2 2班。那么一天中班。那么一天中, ,乘坐乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法? ? 問題剖析問題剖析 問題問題1兩類兩類能能從甲地到乙地從甲地到乙地 種種 種種42種種4 26 完成這個(gè)事情有完成這個(gè)事情有幾類幾類方案方案要完成什么事情要完成什么事情每類每類方案能否獨(dú)立完方案能否獨(dú)立完成這件

3、事情成這件事情每類每類方案中分別有幾方案中分別有幾種不同的方法種不同的方法完成這件事情共有多完成這件事情共有多少種不同的方法少種不同的方法變式：變式： 從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船還可以乘輪船。一天中，火車有。一天中，火車有4 4 班班, , 汽車有汽車有2 2班班，輪船有輪船有3 3班班。那么一天中乘坐這些交通工具從甲地。那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法到乙地共有多少種不同的走法? ? 問題剖析問題剖析 問題問題13類類能能從甲地到乙地從甲地到乙地 種種 種種 42種種4 2 39 完成這個(gè)事情有完成這個(gè)

4、事情有幾類幾類方案方案要完成什么事情要完成什么事情每類每類方案能否獨(dú)立完方案能否獨(dú)立完成這件事情成這件事情每類每類方案中分別有幾方案中分別有幾種不同的方法種不同的方法完成這件事情共有多完成這件事情共有多少種不同的方法少種不同的方法3種種變式：變式： 從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船，還可以乘輪船，也可以坐飛機(jī)也可以坐飛機(jī). .一天中，火車有一天中，火車有4 4 班班, , 汽車有汽車有2 2班，輪船有班，輪船有3 3班，班，飛機(jī)有兩班飛機(jī)有兩班. .那么一天那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同中乘坐這些交通工具從甲地到乙

5、地共有多少種不同的走法的走法? ? 問題剖析問題剖析 問題問題14類類能能從甲地到乙地從甲地到乙地 種種 種種 42種種4 2 3 2 11 完成這個(gè)事情有完成這個(gè)事情有幾類幾類方案方案要完成什么事情要完成什么事情每類每類方案能否獨(dú)立完方案能否獨(dú)立完成這件事情成這件事情每類每類方案中分別有幾方案中分別有幾種不同的方法種不同的方法完成這件事情共有多完成這件事情共有多少種不同的方法少種不同的方法3種種2種種 完成一件事，有完成一件事，有n類辦法類辦法. 在第在第1類辦法中有類辦法中有m1種不同的方法，在第種不同的方法，在第2類方法中有類方法中有m2種不同的種不同的方法，方法，在第，在第n類方法中有

6、類方法中有mn種不同的方法，種不同的方法，則完成這件事共有則完成這件事共有 (1(1）各類辦法之間相互獨(dú)立）各類辦法之間相互獨(dú)立, ,都能獨(dú)立的完成這件事都能獨(dú)立的完成這件事(2)(2)各類中沒有相同的方法（你中無我，我中無你）各類中沒有相同的方法（你中無我，我中無你）不重不重（3 3）完成這件事情的任何一種方法都在某一類中）完成這件事情的任何一種方法都在某一類中不漏不漏N= m1+m2+ + mn 種不同的方法種不同的方法例例1在填寫高考志愿表時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到在填寫高考志愿表時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到A、B兩兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，具體情況如下：所大學(xué)各有一些自己感興趣的

7、強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，具體情況如下：A大學(xué)大學(xué)B大學(xué)大學(xué)生物學(xué)生物學(xué)化學(xué)化學(xué)醫(yī)學(xué)醫(yī)學(xué)物理學(xué)物理學(xué)工程學(xué)工程學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)會計(jì)學(xué)會計(jì)學(xué)信息技術(shù)學(xué)信息技術(shù)學(xué)法學(xué)法學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？變式：如果數(shù)學(xué)也是變式：如果數(shù)學(xué)也是A大學(xué)的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，則大學(xué)的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，則A大學(xué)共有大學(xué)共有6個(gè)專業(yè)可個(gè)專業(yè)可以選擇，以選擇，B大學(xué)共有大學(xué)共有4個(gè)專業(yè)可以選擇，那么用分類加法計(jì)數(shù)原理個(gè)專業(yè)可以選擇，那么用分類加法計(jì)數(shù)原理，得到這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)為，得到這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)為6+4=10，這種算法對嗎？，這種算法對嗎？用前用前6 6個(gè)大

8、寫英文字母個(gè)大寫英文字母和和1 19 9九個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，九個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以以A A1 1，A A2 2，B B1 1，B B2 2，的方式給教室里的座的方式給教室里的座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？位編號，總共能編出多少種不同的號碼？ 字母字母 數(shù)字?jǐn)?shù)字 得到的號碼得到的號碼123456789A1A2A3A4A5A6A7A8A9A B C D EF樹形圖樹形圖F1F2F3F4F5F6F7F8F9D1D2D3D4D5D6D7D8D9C1C2C3C4C5C6C7C8C9E1E2E3E4E5E6E7E8E9B1B2B3B4B5B6B7B8B99種種9 9 9 9 9 9 54 6 9分分兩兩步

9、步完完成成數(shù)字?jǐn)?shù)字69第一步第一步第二步第二步=54用前用前6 6個(gè)大寫英文字母個(gè)大寫英文字母和和1 19 9九個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，九個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以以A A1 1，A A2 2，B B1 1，B B2 2，的方式給教室里的座的方式給教室里的座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？位編號，總共能編出多少種不同的號碼？ 字母字母123456789ABCDEF 暑假馬上到了，你要從暑假馬上到了，你要從大慶大慶到到北京北京去看清華園若想中去看清華園若想中途參觀途參觀南開大學(xué)南開大學(xué)，已知從大慶到天津有，已知從大慶到天津有3種乘車方式，種乘車方式，從天津到北京有從天津到北京有4種乘車方式，試問：要從大慶到北京

10、種乘車方式，試問：要從大慶到北京共有多少種不同的乘車方式？共有多少種不同的乘車方式？ 天津天津大慶大慶A3A2A1北京北京B3B4B1B2第一步第一步第二步第二步34=12 完成一件事需要完成一件事需要兩個(gè)步驟兩個(gè)步驟, ,做第做第1 1步有步有m種不同種不同的方法的方法, ,做第做第2 2步有步有n種不同的方法種不同的方法. .那么完成這件那么完成這件事共有事共有 N= =mn分步乘法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理：種不同的方法種不同的方法. . 變形：變形：暑假馬上到了，你要從暑假馬上到了，你要從大慶大慶到到北京北京去看清華去看清華園若想中途先參觀園若想中途先參觀東北師大東北師大再參觀再參觀南開

11、大學(xué)南開大學(xué)，已知從，已知從大慶到長春大慶到長春3種乘車方式，從長春到天津有種乘車方式，從長春到天津有3種乘車方種乘車方式，從天津到北京有式，從天津到北京有4種乘車方式，試問：要從大慶到種乘車方式，試問：要從大慶到北京共有多少種不同的乘車方式？北京共有多少種不同的乘車方式？ 長春長春(東師東師)大慶大慶321北京北京3412天津天津(南開南開)312 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n個(gè)步驟。做第個(gè)步驟。做第1步有步有m1種不同的方法，做第種不同的方法，做第2步有步有m2種不同的方法，種不同的方法， ，做第做第n步有步有mn種不同的方法，則完成這件事共有種不同的方法，則完成這件事共有

12、2）首先要根據(jù)具體問題的特點(diǎn)確定一個(gè)分步的標(biāo)準(zhǔn)，）首先要根據(jù)具體問題的特點(diǎn)確定一個(gè)分步的標(biāo)準(zhǔn)，然后對每步方法計(jì)數(shù)然后對每步方法計(jì)數(shù).1）各個(gè)步驟相互依存）各個(gè)步驟相互依存,只有各個(gè)步驟都完成了只有各個(gè)步驟都完成了,這件事這件事才算完成才算完成,將各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘得到完成這件事的將各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘得到完成這件事的方法總數(shù)方法總數(shù),又稱又稱乘法原理乘法原理N= m1m2 mn種不同的方法種不同的方法（2 2）從書架上的第）從書架上的第1 1、2 2、3 3層各取層各取1 1本書，有幾種不同本書，有幾種不同的取法？的取法？【例例2】書架上的第書架上的第1 1層放著層放著4 4本不同的計(jì)算機(jī)書

13、，第本不同的計(jì)算機(jī)書，第2 2層放著層放著3 3本不同的文藝書，第本不同的文藝書，第3 3層放著層放著2 2本不同的體育書。本不同的體育書。（1 1）從書架上任取）從書架上任取1 1本書，有幾種不同的取法？本書，有幾種不同的取法？從書架任取從書架任取2 2本不同學(xué)科的書本不同學(xué)科的書（3 3）從書架中任?。臅苤腥稳? 2本不同學(xué)科的書，有幾種不同的取法。本不同學(xué)科的書，有幾種不同的取法。 計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī), ,文藝文藝文藝文藝, ,體育體育計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī), ,體育體育根據(jù)分類，分步計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是：根據(jù)分類，分步計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是：128626N 種種先分三類先分三類再分步再分

14、步4 3=124 2=83 2=6解解 ：4 3 224 種4329 種 要從甲、乙、丙要從甲、乙、丙3 3幅不同的畫中選出幅不同的畫中選出2 2幅幅, ,分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置, ,問共有多問共有多少種不同的掛法少種不同的掛法? ?分分2 2步步第第1 1步：從步：從3 3幅畫中幅畫中選出選出2 2幅幅第第2 2步，將選出的步，將選出的2 2幅畫幅畫掛好掛好（“甲、乙甲、乙”，“甲、丙甲、丙”，“乙、丙乙、丙”） 3種種2種種3 2=6種根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是：解：解：【例例3】32 要從甲、乙、丙要從

15、甲、乙、丙3 3幅不同的畫中選出幅不同的畫中選出2 2幅幅, ,分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置, ,問共有多問共有多少種不同的掛法少種不同的掛法? ?=6左邊左邊右邊右邊分分2 2步步解：解：【例例3】1從甲地到乙地一天有汽車從甲地到乙地一天有汽車8班，火車班，火車3班，輪班，輪船船2班，則某人一天內(nèi)乘坐不同班次的汽車、火車班，則某人一天內(nèi)乘坐不同班次的汽車、火車或輪船到乙地時(shí)，共有不同的走法數(shù)為或輪船到乙地時(shí)，共有不同的走法數(shù)為() 25個(gè)高中畢業(yè)生報(bào)考三所重點(diǎn)院校，每人報(bào)且個(gè)高中畢業(yè)生報(bào)考三所重點(diǎn)院校，每人報(bào)且只報(bào)一所，則不同的報(bào)名方法有只報(bào)一所，則不同的

16、報(bào)名方法有()AA5A.3種種3B.5種種D.5 3種種C.5 4 3 種種A.13種種B.16種種D.48種種C.24種種4由數(shù)字由數(shù)字2,3,4,52,3,4,5可組成可組成_個(gè)可重復(fù)數(shù)字的個(gè)可重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)三位數(shù)5.某校會議室有五個(gè)出入門，若從一個(gè)門進(jìn)，另一個(gè)門出，不同的走法有_種3.一個(gè)科技小組有一個(gè)科技小組有3名男同學(xué)、名男同學(xué)、5名女同學(xué)，從中任名女同學(xué)，從中任選一名同學(xué)參加科技競賽，共有選一名同學(xué)參加科技競賽，共有_種不同種不同的選派方法的選派方法答案：答案：538種種答案：答案：5 420種種答案：答案：34種種數(shù)字組數(shù)字組字母組字母組交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，

17、交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每一個(gè)汽車牌照都必須有每一個(gè)汽車牌照都必須有3 3個(gè)個(gè)不重復(fù)不重復(fù)的英文字的英文字母和母和3 3個(gè)個(gè)不重復(fù)不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字的阿拉伯?dāng)?shù)字( )( )，并且，并且3 3個(gè)字母必須合成一組出現(xiàn)，個(gè)字母必須合成一組出現(xiàn)，3 3個(gè)數(shù)字也必須合個(gè)數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)，那么這種辦法共能給多少輛汽車成一組出現(xiàn)，那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照上牌照? ?0 9分兩類分兩類某市交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦某市交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每一個(gè)汽車牌照都必須有個(gè)法，每一個(gè)汽車牌照都必須有個(gè)不重復(fù)不重復(fù)的英的英文字母和個(gè)文字母和個(gè)不重復(fù)不重復(fù)的阿拉伯

18、數(shù)字，并且個(gè)的阿拉伯?dāng)?shù)字，并且個(gè)字母必須合成一組出現(xiàn)，個(gè)數(shù)字也必須合成字母必須合成一組出現(xiàn)，個(gè)數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)，那么這種辦法共能給多少輛汽車上一組出現(xiàn)，那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照牌照? ?先分兩類先分兩類再分步再分步字母組字母組262524數(shù)字組數(shù)字組1098數(shù)字組數(shù)字組1098左：字母組左：字母組 右：數(shù)字組右：數(shù)字組左：數(shù)字組左：數(shù)字組右：字母組右：字母組六步六步字母組字母組262524根據(jù)分類，分步計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是：根據(jù)分類，分步計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是：22625241098N 種種22464000 2.如圖如圖,該電該電路路,從從A到到B共共有多少條不有多少

19、條不同的線路可同的線路可通電？通電？AB解解: 從總體上看由從總體上看由A到到B的通電線路可分三類的通電線路可分三類, 第一類第一類, m1 = 3 條條 第二類第二類, m2 = 1 條條 第三類第三類, m3 = 22 = 4, 條條 所以所以, 根據(jù)分類原理根據(jù)分類原理, 從從A到到B共有共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 條不同的線路可通電。條不同的線路可通電。在解題有時(shí)既要分類又要分步。在解題有時(shí)既要分類又要分步。 加法原理加法原理 乘法原理乘法原理聯(lián)系聯(lián)系區(qū)別一區(qū)別一完成一件事情共有完成一件事情共有n類類辦法，關(guān)鍵詞是辦法，關(guān)鍵詞是“分類分類”完成一件事情完成一件事情,共分共分n個(gè)個(gè)步驟，關(guān)鍵詞是步驟，關(guān)鍵詞是“分步分步”區(qū)別二區(qū)別二每類辦法都能每類辦法都能獨(dú)立完成獨(dú)立完成這件事情。這件事情。每一步得到的只是中間結(jié)果，每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都任何一步都不能能獨(dú)立完成不能能獨(dú)立完成這件事情這件事情，缺少任何一步也，缺少任何一步也不能完成這件事情，只有每不能完成這件事情，只有每個(gè)步驟