高中數(shù)學方法講解之反證法Word版

1、反證法從否定命題的結(jié)論入手，并把對命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明的證明方法叫反證法。它是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得。反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。反證

2、法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必為假。再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的。反證法的證題模式可以簡要的概括我為“否定推理否定”。即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確無誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，達到新的否定，可以認為反證法的基本思想就是“否定之否定”。應(yīng)用反證法證明的主要三步是：否定結(jié)論 推導(dǎo)出矛盾 結(jié)論成立。實施的具體步驟是：第一步

3、，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；第三步，結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。在應(yīng)用反證法證題時，一定要用到“反設(shè)”進行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法”。在數(shù)學解題中經(jīng)常使用反證法，牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學家最精當?shù)奈淦髦弧?。一般來講，反證法常用來證明的題型有：命題的結(jié)論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、

4、“無限”形式出現(xiàn)的命題；或者否定結(jié)論更明顯。具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結(jié)論入手進行反面思考，問題可能解決得十分干脆。例1.05.北京設(shè)是定義在上的函數(shù)，若存在使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則稱為上的單峰函數(shù)，為峰點，包含峰點的區(qū)間為含峰區(qū)間。對任意的上單峰函數(shù)，下面研究縮短其含峰區(qū)間長度的方法。求證：對任意的若，則為含峰區(qū)間；若則為含峰區(qū)間；【巧證】：設(shè)為的峰點，則由單峰函數(shù)定義可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。當時，假設(shè)，則從而這與矛盾，所以，即是含峰區(qū)間。當時，假設(shè)，則，從而這與矛盾，所以，即是含峰區(qū)間。例2. 求證：函數(shù)f(x)=sinx的最小正周期

5、是2【巧證】：由誘導(dǎo)公式知，對任意xR，有sin(x2)=sinx，即2是函數(shù)sinx的一個周期下面再用反證法證明2是sinx的最小正周期，假設(shè)還有一個正數(shù)T也是sinx的周期，且0T2，則對任意xR都有sin(xT)=sinx特別地，對x=0，有sinT=sin0=0，而在(0，2)中，只有T=才使sinT=0，但不是sinx的周期，故sinx的最小正周期是2注：若直接證明比較困難，因適合0T2的正數(shù)有無窮多個，我們無法直接驗證當“反設(shè)”中斷言某些性質(zhì)對于變量的一切值都成立時，顯然對變量的一些特殊值也成立，故常賦予特殊值，便可得到一些等式或不等式，從而推得矛盾，反證原命題1x2y，且1y2x

6、兩式相加，得2(xy)2(xy)，即2xy，這與已知矛盾，故注：“集合M中至少有一個元素m不具有性質(zhì)a”的否定是“集合M中所有元素都具有性質(zhì)a”反之亦對因為“集合M中至少有一個元素不具有性質(zhì)a”，它包含了“M中有一個元素不具有性質(zhì)a、兩個元素不具有性質(zhì)a所有元素都不具有性質(zhì)a”等各種情形因此它的否定是“M中所有元素都具有性質(zhì)a”如“三角形中至少有一個內(nèi)角大于或等于60°”的否定是“三角形中所有內(nèi)角都小于60°”注意“都不是”的否定不是“都是”，而是“不都是”，也即“至少有一個是”如“a、b都不是零”的否定是“a，b中至少有一個是零”CBA60°ABC180

7、6;，這不可能例5. 88.全國理給定實數(shù)a，a0且a1，設(shè)函數(shù)y (其中xR且x)，證明：.經(jīng)過這個函數(shù)圖像上任意兩個不同點的直線不平行于x軸； .這個函數(shù)的圖像關(guān)于直線yx成軸對稱圖像。【分析】“不平行”的否定是“平行”，假設(shè)“平行”后得出矛盾從而推翻假設(shè)?！厩勺C】： 設(shè)M(x,y)、M(x,y)是函數(shù)圖像上任意兩個不同的點，則xx,假設(shè)直線MM平行于x軸，則必有yy，即，整理得a(xx)xxxx a1， 這與已知“a1”矛盾， 因此假設(shè)不對，即直線MM不平行于x軸。 由y得axyyx1,即(ay1)xy1,所以x，即原函數(shù)y的反函數(shù)為y，圖像一致。由互為反函數(shù)的兩個圖像關(guān)于直線yx對稱可

8、以得到，函數(shù)y的圖像關(guān)于直線yx成軸對稱圖像。【注】對于“不平行”的否定性結(jié)論使用反證法，在假設(shè)“平行”的情況下，容易得到一些性質(zhì)，經(jīng)過正確無誤的推理，導(dǎo)出與已知a1互相矛盾。第問中，對稱問題使用反函數(shù)對稱性進行研究，方法比較巧妙，要求對反函數(shù)求法和性質(zhì)運用熟練。例6、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求證：a, b, c > 0 【巧證】：設(shè)a < 0, abc > 0, bc < 0 又由a + b + c > 0, 則b + c = -a > 0 ab + bc + ca = a(b +

9、 c) + bc < 0 與題設(shè)矛盾 又：若a = 0，則與abc > 0矛盾， 必有a > 0 同理可證：b > 0, c > 0例7. 求證：如果一條直線與兩個平行平面中的一個相交，那么它和另一個平面也相交 【巧證】：如圖1-8-6，設(shè)平面直線AB=A，下面用反證法證明AB與相交假設(shè)AB與不相交，則必須考慮兩種情形：(1)若AB，過AB作平面，使=CD，則ABCDAB=A，A，且A，設(shè)=AB'又，AB'CD，于是在平面內(nèi)過A點有兩條直線AB與AB'分別平行于直線CD，這和平行公理矛盾AB不能平行于平面相交于過點A的一條直線，但與已知矛盾

10、，AB不在內(nèi)由(1)、(2)可知，直線AB與平面相交注：用反證法證題時，如果欲證命題的反面只有一種情況，那么只要將這種情況駁倒即可，這種反證法又叫歸謬法；如果結(jié)論的反面不僅有一種情況，就必須把所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫窮舉法巧練一：1. 已知函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則方程f(x)0 _。A.至多一個實根 B.至少一個實根 C.一個實根 D.無實根2. 已知a<0,1<b<0，那么a、ab、ab之間的大小關(guān)系是_。A. a>ab> ab B. ab>ab>a C. ab>a> ab D. ab>

11、ab>a3. 已知l，a ，b ，若a、b為異面直線，則_。A. a、b都與l相交 B. a、b中至少一條與l相交C. a、b中至多有一條與l相交 D. a、b都與l相交4. 四面體頂點和各棱的中點共10個，在其中取4個不共面的點，不同的取法有_。(97年全國理)A. 150種 B. 147種 C. 144種 D. 141種十三、反證法巧練一：【巧解】：1小題：從結(jié)論入手，假設(shè)四個選擇項逐一成立，導(dǎo)出其中三個與特例矛盾，選A；2小題：采用“特殊值法”，取a1、b0.5，選D；3小題：從逐一假設(shè)選擇項成立著手分析，選B；4小題：分析清楚結(jié)論的幾種情況，列式是：CC×436,選D。

12、巧練二：設(shè)0 < a, b, c < 1，求證：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同時大于巧練二：【巧證】：設(shè)(1 - a)b >, (1 - b)c >, (1 - c)a >,則三式相乘：ab < (1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a < 又0 < a, b, c < 1 同理：, 以上三式相乘： (1 - a)a(1 - b)b(1 - c)c 與矛盾原式成立巧練三：若下列方程：x4ax4a30， x(a1)xa0, x2ax2a0至少有一個方程有實根。試求實數(shù)a的取值范圍。巧練三：【分析】 三個方程至少有一個方程有實根的反面情況僅有一種：三個方程均沒有實根。先求出反面情況時a的范圍，再所得范圍的補集就是正面情況的答案?！厩山狻浚?設(shè)三個方程均無實根，則有：,解得,即<a<1。所以當a1或a時，三個方程至