全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽模擬試題

1、全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初1全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初1.全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽模擬試題一、選擇題（共8 小題，每小題5 分，滿(mǎn)分40 分）1某校學(xué)生100 人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，其中至少有女生9 人，又知參賽者中任何10人中至少有1 名男生，則參賽男生人數(shù)為（）（ A） 89（ B） 91（ C） 82（ D） 6322.記 X1212121212,則 x1 是（）48256 （A） 一個(gè)奇數(shù)（B） 一個(gè)質(zhì)數(shù)（C） 一個(gè)整數(shù)的平方（D） 一個(gè)整數(shù)的立 方3.已知y|x1|2|x|x2|,且2x1,則y的最大值與最小值的和是（）（A） 1（B） 2（0 4 （D）54.在 ABC中，AB=AC=7 BC=4 點(diǎn) M在

2、 AB上，且 BM于 E, 交CA延長(zhǎng)線(xiàn)于F,則EF的長(zhǎng)為（）（A） 55 （B）1AB,過(guò) M做 EF，AB,交 BC3533（ Q 45 （D） 6535.拋物線(xiàn) yax2 與直線(xiàn) x1, x2， y1， y2 圍成的正方形有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是（） （ A）1111a1 （B） a2 （0 al （D） a242246.如圖，直線(xiàn) 11 / 12 / 13 / 14 ,相鄰兩 條平行線(xiàn)間的距離都等于h,若正方形ABCD勺四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條直線(xiàn)上，則它 的面積等于（）（ A） 4h2（ B） 5h2（ C） 42h2（ D） 52h27一個(gè)正方體的表面涂滿(mǎn)了顏色，按如圖所示將它切

3、成27 個(gè)大小相等的小立方塊，設(shè)其中僅有i 個(gè)面（ i=1 ， 2， 3）涂有顏色的小立方塊的個(gè)數(shù)為xi 則 x1,x2,x3 之間的關(guān)系為（）（A） x1 x2+x3=1（ B） x1+x2 x3=1（ C） x1+x2 x3=2（ D） x1 x2+x3=28已知x 是無(wú)理數(shù)，且x1x3 是有理數(shù)，在上述假設(shè)下，有人提出了以下四個(gè)結(jié)論：（1） x2 是有理數(shù)；（2） x1x3 是無(wú)理數(shù)；（3） x1 是有理數(shù)；（ 4） x122 是無(wú)理數(shù)并說(shuō)它們中有且只有n 個(gè)正確的，那么n 等于（）1 A） 2（ B） 1（ C） 2（ D） 4二、填空題（共6小題，每小題5分，滿(mǎn)分30分）2 從2，1

4、， 1， 2這四個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)不同的數(shù)作為一次函數(shù)ykxb 的系數(shù)k， b，則一次函數(shù)ykxb 的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限的概率是；10 .有一張矩形紙片ABCD AD=9 AB=12將紙片折疊使 A C兩點(diǎn)重合，那么折痕長(zhǎng)是；11 .已知 xx10,則 x2x201* = ;12 .已知AB是半徑為1的圓O的直徑，CD是過(guò)OB中點(diǎn)的弦，且CDLAB 以CD為直徑的圓交AB于E , DE的延長(zhǎng)線(xiàn)交圓。于F ，連結(jié)CF ,則CF =.;232x1x2aa0且a,則413.設(shè)2的值為；22xx1xx114.已知四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)為 A（8,8）， B（4,3），C（2，5），D（ 10，2），則四邊形在

5、第一象限內(nèi)的部分的面積是。三、解答題（共4 題，分值依次為12 分、 12 分、12 分和14 分，滿(mǎn)分50 分）15 .已知：如圖，在 ABC中,D為AB邊上一點(diǎn)，/ A=36, AC=BC AO ABAD。（1）若AB=1,求AC的值；（ 2）試構(gòu)造一個(gè)等腰梯形，該梯形連同它的兩條對(duì)角線(xiàn)，得到了8 個(gè)三角形，要求構(gòu)造出的圖形中有盡可能多的等腰三角形。（標(biāo)明各角的度數(shù)）C2ADB16 已知實(shí)數(shù) x , y 滿(mǎn)足方程（x2+2x +3）（3y2+2 y+1）=24,求x+y白4Kt.17.有A、B、C、D E五位同學(xué)依次站在某圓周上，每人手上分別拿有小旗16、 8、 12、 4、 15 面，現(xiàn)

6、要使每人手中的小旗數(shù)相等. 要求相鄰的同學(xué)之間相互調(diào)整(不相鄰的不作相互調(diào)整)，設(shè)A給B有x1面(x10時(shí)即為A給B有 x1 面； x1擴(kuò)展閱讀：全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(初1)第 01 講 有理數(shù)的巧算第一講有理數(shù)的巧算有理數(shù)運(yùn)算是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運(yùn)算的基礎(chǔ)它要求同學(xué)們?cè)诶斫庥欣頂?shù)的有關(guān)概念、法則的基礎(chǔ)上，能根據(jù)法則、公式等正確、迅速地進(jìn)行運(yùn)算不僅如此，還要善于根據(jù)題目條件，將推理與計(jì)算相結(jié)合，靈活巧妙地選擇合理的簡(jiǎn)捷的算法解決問(wèn)題，從而提高運(yùn)算能力，發(fā)展思維的敏捷性與靈活性1括號(hào)的使用在代數(shù)運(yùn)算中，可以根據(jù)運(yùn)算法則和運(yùn)算律，去掉或者添上括號(hào)，以此來(lái)改變運(yùn)算的次序，使復(fù)雜的問(wèn)題變得較簡(jiǎn)單例1 計(jì)算

7、：分析中學(xué)數(shù)學(xué)中，由于負(fù)數(shù)的引入，符號(hào)“+”與“- ”具有了雙重涵義，它既是表示加法與減法的運(yùn)算符號(hào)，也是表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的性質(zhì)符號(hào)因此進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算時(shí)，一定要正確運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算法則，尤其是要注意去括號(hào)時(shí)符號(hào)的變化注意在本例中的乘除運(yùn)算中，常常把小數(shù)變成分?jǐn)?shù)，把帶分?jǐn)?shù)變成假分?jǐn)?shù)，這樣便于計(jì)算例2 計(jì)算下式的值：211X 555+445X 789+555X 789+211X 445.分析直接計(jì)算很麻煩，根據(jù)運(yùn)算規(guī)則，添加括號(hào)改變運(yùn)算次序，可使計(jì)算簡(jiǎn)單本題可將第一、第四項(xiàng)和第二、第三項(xiàng)分別結(jié)合起來(lái)計(jì)算解原式二(211 義 555+211X 445)+(445 義 789+555X 789)=211

8、 義(555+445)+(445+555)義 789=2 11X1000+100OX 789=1000X (211+789)=1000000.說(shuō)明加括號(hào)的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數(shù)巧算中的常用技巧例 3 計(jì)算： S=1-2+3-4+(-1)n+1n 分析不難看出這個(gè)算式的規(guī)律是任何相鄰兩項(xiàng)之和或?yàn)椤?”或?yàn)椤? 1”如果按照將第一、第二項(xiàng)，第三、第四項(xiàng)，分別配對(duì)的方式計(jì)算，就能得到一系列的“ - 1”，于是一改“去括號(hào)”的習(xí)慣，而取“添括號(hào)”之法解S=(1-2)+(3-4)+(-1)n+1n.下面需對(duì)n的奇偶性進(jìn)行討論：當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，上式是n 2 個(gè) (-1) 的和，所以有當(dāng)

9、n 為奇數(shù)時(shí)，上式是(n-1) 2 個(gè) (-1) 的和，再加上最后一項(xiàng)(-1)n+1n=n ，所以有例 4 在數(shù)1， 2， 3，1998 前添符號(hào)“+”和“- ”，并依次運(yùn)算，所得可能的最小非負(fù)數(shù)是多少？分析與解因?yàn)槿舾蓚€(gè)整數(shù)和的奇偶性，只與奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)，所以在1， 2，3，1998之前任意添加符號(hào)“+”或“- ”，不會(huì)改變和的奇偶性在1， 2，3, , 1998中有1998+2個(gè)奇數(shù)，即有999個(gè)奇數(shù)，所以任意添加符號(hào)“ +”或“-”之后，所得的代數(shù)和總為奇數(shù)，故最小非負(fù)數(shù)不小于 1現(xiàn)考慮在自然數(shù)n, n+1, n+2, n+3之間添加符號(hào)“ +”或“-，顯然n-(n+1)-(n+2)+(

10、n+3)=0 這啟發(fā)我們將1， 2， 3，1998 每連續(xù)四個(gè)數(shù)分為一組，再按上述規(guī)則添加符號(hào)，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1 所以，所求最小非負(fù)數(shù)是1說(shuō)明本例中，添括號(hào)是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計(jì)算大大簡(jiǎn)化2用字母表示數(shù)我們先來(lái)計(jì)算(100+2) x(100-2)的值：(100+2) X (100 - 2)=100 X 100-2X100+2X 100-4=1002-22這是一個(gè)對(duì)具體數(shù)的運(yùn)算，若用字母a 代換100，用字母b 代換2，上述運(yùn)算過(guò)程變?yōu)?a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-

11、b2 于是我們得到了一個(gè)重要的計(jì)算公式(a+b)(a-b)=a2-b2 ，這個(gè)公式叫平方差公式，以后應(yīng)用這個(gè)公式計(jì)算時(shí)，不必重復(fù)公式的證明過(guò)程，可直接利用該公式計(jì)算.例 5計(jì)算3001X2999的值.解 3001X2999=(3000+1)(3000 -1)=30002-12=8999999例 6 計(jì)算 103X 97X 10009 的值.解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99999919 例 7 計(jì)算：分析與解直接計(jì)算繁仔細(xì)觀(guān)察，發(fā)現(xiàn)分母中涉及到三個(gè)連續(xù)整數(shù)：12345，12346, 12347.可設(shè)字母 n=12346

12、,那么 12345=n-1, 12347=n+1,于是分母變?yōu)?n2-(n-1)(n+1) 應(yīng)用平方差公式化簡(jiǎn)得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1 ，即原式分母的值是1，所以原式=24690例8計(jì)算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)分析式子中2， 22， 24，每一個(gè)數(shù)都是前一個(gè)數(shù)的平方，若在(2+1) 前面有一個(gè) (2-1) ，就可以連續(xù)遞進(jìn)地運(yùn)用(a+b)(a-b)=a2-b2 了解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)乂 (216+1)(232+1)=(22 -1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

13、X (232+1)=(24 - 1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=(232-1)(232+1)=264-1 例 9 計(jì)算：分析在前面的例題中，應(yīng)用過(guò)公式(a+b)(a-b)=a2-b2 這個(gè)公式也可以反著使用，即a2-b2=(a+b)(a-b) 本題就是一個(gè)例子通過(guò)以上例題可以看到，用字母表示數(shù)給我們的計(jì)算帶來(lái)很大的益處下面再看一個(gè)例題，從中可以看到用字母表示一個(gè)式子，也可使計(jì)算簡(jiǎn)化例 10計(jì)算：我們用一個(gè)字母表示它以簡(jiǎn)化計(jì)算3觀(guān)察算式找規(guī)律例 11 某班 20 名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)?nèi)缦?，?qǐng)計(jì)算他們的總分與平均分87， 91， 94， 88， 93， 91， 89，

14、 87， 92， 86， 90， 92， 88， 90， 91， 86， 89， 92， 95， 88分析與解若直接把20 個(gè)數(shù)加起來(lái)，顯然運(yùn)算量較大，粗略地估計(jì)一下，這些數(shù)均在 90 上下，所以可取90 為基準(zhǔn)數(shù)，大于90 的數(shù)取“正”，小于 90 的數(shù)取“負(fù)”，考察這 20 個(gè)數(shù)與 90 的差，這樣會(huì)大大簡(jiǎn)化運(yùn)算所以總分為90X20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799 ，平均分為 90+(- 1)+20=89.95.例 12計(jì)算1+3+5+7+1997+1999的值分析

15、觀(guān)察發(fā)現(xiàn)：首先算式中，從第二項(xiàng)開(kāi)始，后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都等于2；其次算式中首末兩項(xiàng)之和與距首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都等于201*，于是可有如下解法解用字母S 表示所求算式，即S=1+3+5+1997+1999 再將 S 各項(xiàng)倒過(guò)來(lái)寫(xiě)為S=1999+1997+1995+3+1 將，兩式左右分別相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+(1997+3)+(1999+1)=201*+201*+201*+201*(500 個(gè) 201*)=201* X 500.從而有 S=500000說(shuō)明一般地，一列數(shù)，如果從第二項(xiàng)開(kāi)始，后項(xiàng)減前項(xiàng)的差都相等( 本題3-1=5-3=7-5=1999-1997，都等于

16、2)，那么，這列數(shù)的求和問(wèn)題，都可以用上例中的“倒寫(xiě)相加”的方法解決例13 計(jì)算1+5+52+53+599+5100的值分析觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，上式從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是它前面一項(xiàng)的5 倍如果將和式各項(xiàng)都乘以5，所得新和式中除個(gè)別項(xiàng)外，其余與原和式中的項(xiàng)相同，于是兩式相減將使差易于計(jì)算解設(shè)S=1+5+52+599+5100 所以5s=5+52+53+5100+5101 得4S=5101-1，說(shuō)明如果一列數(shù)，從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比都相等( 本例中是都等于5) ，那么這列數(shù)的求和問(wèn)題，均可用上述“錯(cuò)位相減”法來(lái)解決例 14 計(jì)算：分析一般情況下，分?jǐn)?shù)計(jì)算是先通分本題通分計(jì)算將很繁，所以我們不但不 通分，反而利用如下一個(gè)關(guān)系式來(lái)把每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，然后再計(jì)算，這種方法叫做拆項(xiàng)法解由于所以說(shuō)明本例使用拆項(xiàng)法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的項(xiàng)，這種 方法在有理數(shù)巧算中很常用練習(xí)一1計(jì)算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-1997+1999 ； (2)11+12-13-14+15+16-17-18+99