-二元一次方程組講義全

1、二元一次方程組講義一、二元一次方程的概念：1、二元一次方程的 定義：含有兩個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)為1,系數(shù)不為零的整式方程;注：滿足4個條件： 含有兩個未知數(shù), 未知數(shù)的最高次數(shù)為1;未知數(shù)的系數(shù)不為零 整式方程分母中不含字母2、一般形式：ax+by+c=0a °,b 0例1、1a 2x by1a 1 5是關(guān)于x, y的二元一次方程,那么a= b=I m 2n 1 2m 3n 12假設(shè)x y =1是關(guān)于x,y的二元一次方程,那么m=_； n=3假設(shè)2x2網(wǎng)5 a 3 y 1是二元一次方程,求a的值.元一次方程組:1、定義：由幾個一次方程組成,并且共含有 2個未知數(shù)的方程注：方

2、程組中有且僅有2個未知數(shù),每個方程必須為整式方程分母中不含字母不要求每個方程都要含有2個未知數(shù)；不要求必須由2個方程組成；例1、以下方程組中,二元一次方程組的個數(shù)是 .(1)(3)xy(5)1 x -yx y2y 1. z 2 'x y 411 c；9x yxy 1(9)例2、假設(shè)方程組Xa 2c 33 xy3是關(guān)于x, y的二元一次方程組,那么代數(shù)式 a b c的值是a 2 b 3x y 42、二元一次方程組的解1、假設(shè)2 2是二元一次方程ax by 3的一個解,那么a b 12、方程組2x y3x yaxaxby 4同解,求a、b的值.3、x 2是二元一次方程組mx nyy 1nx

3、 my4、y2是二元一次方程組ax by8的解,那么2m n的算術(shù)平方根為17的解,那么a b的值為1三：多元一次方程組的解法方法：代入消元法；加減消元法,整體思想整體代入法；整體加減法；換元法.1代入消元法：由二元一次方程組中一個方程,將一個未知數(shù)用含另一未知數(shù)的式子表示出來,再代入另一方程,元,進(jìn)而求得這個二元一次方程組的解 .這種方法叫做代入消元法,簡稱代入法.解以下方程組實(shí)現(xiàn)消(1)x=2y 3x 3y 2(2)x y=9x = 4y 32x+4y=24 (4)J* 1,5x 0,5y 1 2x 3y 52)加減消元法:當(dāng)兩個二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時,將兩個方程的兩邊

4、分別相加或相減,就能消去這個未知數(shù),得到一個一元一次方程,這種方法叫做加減消元法,簡稱加減法.例題用加減法解方程組3x 4y 165x 6y 33想一想：此題如果用加減法消去 x該怎么辦把X,X 即可.5x 2y 7,(1) y ,2x y 1;(2) 2y 3z45y 6z耀x 2y 22x y 73x y 15x 4y 24a 5b19,(5 3a 2b 3.3)整體思想：例1、解以下方程組：(6)3x 2y 5x 22(3x 2y) 2x 8 7x 3y 55x 6y 6；2x 1 x y 35811200 x 110%y 400例2、解以下方程組:19x 18y (117x 16y(2

5、)2021x 2021y 60312021x 2021y 60294換元法:5m 4n 8例1方程組 1 廣的解是m n 525x3 4 y 2m 4 ,求方程組1n 3x 3 y 228的解.5例2、方程組:2a 3b3a 5b30.9的解是:a雄那么方程組:2x 23 y 13x 2 5 y 130.9的解是43x 2y53x 2y32x 5y22x 5y101題型四：模糊以及抄錯題問題例1、小華不小心將墨水濺在同桌小麗的作業(yè)本上, 51結(jié)果二元一次方程組1口"2戶-2中第一個方程y的系數(shù)和第二個方程x的系數(shù)看不到了,現(xiàn)在小麗的結(jié)果是x 1你能由此求出原來的方程組嗎?y 2例2、

6、甲、乙兩位同學(xué)一起解方程組ax by 2'甲正確地解得cx 3y2.乙僅因抄錯了題中的 c,解得y 1.y 6求原方程組中b, c的值.題型五：由實(shí)際問題抽象由二元一次方程組的問題例1、2021?某班為獎勵在校運(yùn)會上取得較好成績的運(yùn)發(fā)動,花了400元錢購置甲.乙兩種獎品共 30件,其中甲種獎品每件16元,乙種獎品每件12元,求甲乙兩種各買多少件該問題中,假設(shè)設(shè)購置甲種獎品x件,乙種獎品y件,那么可列方程x y 30x y 3012x 16y 3016x 12y 30A 12x 16y 400 B 16x 12y 400 C x y 400D x y 400例2、2021?某校春季運(yùn)動會

7、比賽中, 八年級1班、5班的競技實(shí)力相當(dāng), 關(guān)于比賽結(jié)果,甲同學(xué)說：1 班與5班得分比為6: 5;乙同學(xué)說：1班得分比5班得分的2倍少40分.假設(shè)設(shè)1班得x分,5 班得y分,根據(jù)題意所列的方程組應(yīng)為 .6x 5y6x 5y5x 6y5x 6ya、x 2y 40 B、x 2y 40 C、x 2y 40D、x 2y 40例6、2021?端午節(jié)時,王老師用72元錢買了荷包和五彩繩共 20個,其中荷包每個4元,五彩繩每個3元.設(shè) 王老師購置荷包x個,五彩繩y個,根據(jù)題意,下面列出的方程組正確的選項(xiàng)是 .A x y 20B x y 20C x y 72 D x y 723x 4y 724x 3y 72C

8、、 4x 3y 203x 4y 20例7、2021?巴廣高速公路在 5月10日正式通車,從到全長約為126km. 一輛小汽車,一輛貨車同時從,兩地相向開出,經(jīng)過45分鐘相遇,相遇時小汽車比貨車多行 6km,設(shè)小汽車和貨車白速度分別為x km/h , y km/h ,那么以下方程組正確的選項(xiàng)是 .45 x y 12645 x y 6B、3 x y 1264x y 6C 3 x y 126C、445 x y 6x y 126D 3x y 6例8、2021?株洲“雞兔同籠是我國民間流傳的詩歌形式的數(shù)學(xué)題:“雞兔同籠不知數(shù),三十六頭籠中露,看來腳有100只,幾多雞兒幾多兔解決此問題,設(shè)雞為x只,兔為y

9、只,那么所列方程組正確的選項(xiàng)是x y 36x 2y 100x y 364x 2y 100x y 36x y 362x 4y 100 D、2x 2y 100例9、2021? 5.12震后,災(zāi)區(qū)急需帳篷.某企業(yè)急災(zāi)區(qū)所急,準(zhǔn)備捐助甲、乙兩種型號的帳篷共2000頂,其中甲種帳篷每頂安置 6人,乙種帳篷每頂安置 4人,共安置9000人,設(shè)該企業(yè)捐助甲種帳篷 x頂、乙種帳篷y頂,那么下面列出的方程組中正確的選項(xiàng)是 x 4y 20004x y 9000x 4y 2000x 4y 20006x y 9000、4x 6y 9000x 4y 2000 6x 4y 9000例10、“甲、乙兩數(shù)之和為16,甲數(shù)的3

10、倍等于乙數(shù)的5倍,假設(shè)設(shè)甲數(shù)為x,乙數(shù)為y ,那么列出方程組:16yx(1)xyJ6；(2) xy.16 ;(3) 16x yc；(4)x y 中,其中正確的有3x5y5y 3x ' 5y3x 053A、1組B、2組C、3組D、4組例12、現(xiàn)用190鐵皮做盒子,每鐵皮做8個盒身或做22個盒底,而一個盒身與兩個盒底配成一個盒子,設(shè)用x鐵皮做盒身,y鐵皮做盒底,那么可列方程組為 .題型七：方程及方程組的應(yīng)用問題1工作量問題1的工程問題.2,思、路導(dǎo)航：工程問題.一般分為兩類,一類是一般的工程問題,一類是工作總量為根本等量關(guān)系為：工作量=工作效率X工作時間;例1、某工廠第一季度生產(chǎn)甲、乙兩種

11、機(jī)器共 480臺.改良生產(chǎn)技術(shù)后,方案第二季度生產(chǎn)這兩種機(jī)器共554臺,其中甲種機(jī)器產(chǎn)量要比第一季度增產(chǎn)10%,乙種機(jī)器產(chǎn)量要比第一季度增產(chǎn)20% .該廠第一季度生產(chǎn)甲、乙兩種機(jī)器各多少臺例2、一批機(jī)器零件共 840個,如果甲先做4天,乙參加合做,那么再做 8天才能完成；如果乙先做 4天,甲參加合做,那么再做 9天才能完成,問兩人每天各做多少個機(jī)器零件例3、市政府打算把一塊荒地建成公園,動用了一臺甲型挖土機(jī),4天挖完了這塊地的一半. 后又加一臺乙型挖土機(jī),兩臺挖土機(jī)一起挖,結(jié)果 1天就挖完了這塊地的另一半.乙型挖土機(jī)單獨(dú)挖這塊地需要幾天行程問題思路導(dǎo)航：行程問題.包括追及問題和相遇問題,根本等

12、量關(guān)系為：路程=速度X時間；例1、某學(xué)校組織學(xué)生到100千米以外的夏令營去,汽車只能坐一半人,另一半人步行 .先坐車的人在途中某處 下車步行,汽車那么立即回去接先步行的一半人 .步行每小時走 4千米,汽車每小時走 20千米不計上下車 的時間,要使大家下午5點(diǎn)同時到達(dá),問需何時出發(fā).例2、通訊員要在規(guī)定時間到達(dá)某地,他每小時走15千米,那么可提前24分鐘到達(dá)某地；如果每小時走12千米,那么要遲到15分鐘.求通訊員到達(dá)某地的路程是多少千米和原定的時間為多少小時例3.某人要在規(guī)定的時間由甲地趕往乙地,如果他以每小時50千米的速度行駛,就會遲到 24分鐘；如果他以每小時75千米的高速行駛,那么可提前

13、24分鐘到達(dá)乙地,求他以每小時多少千米的速度行駛可準(zhǔn)時到達(dá)3分配問題思路導(dǎo)航：這類問題要搞清資源的變化情況例1、現(xiàn)有190鐵皮做盒子,每鐵皮可以做 8個盒身或做22個盒底,一個盒身與兩個盒底可以配成一個完整的盒子,問：用多少鐵皮制盒身,多少鐵皮制盒底,可以恰好制成一批完整的盒子?33例2、某家具廠生廠一種萬桌,設(shè)計時 1m的木材可做50個桌面或做300條桌腿.現(xiàn)有10 m3的木材,求怎樣分配生產(chǎn)桌面和桌腿使用的木材,可使生產(chǎn)的桌面、桌腿剛好配套,并指出生產(chǎn)多少方桌1方桌有一個桌面,4條桌腿.通訊員要在規(guī)定時間到達(dá)某地,他每小時走15千米,那么可提前24分鐘到達(dá)某地；如果每小時走12千米,那么要

14、遲到15分鐘.求通訊員到達(dá)某地的路程是多少千米和原定的時間為多少小時例3、某服裝廠要生產(chǎn)一批服裝,3米長的某種布料可做上衣 2件或褲子3條,一件上衣和一條褲子為一套,方案用600米長的這種布料生產(chǎn)這一批服裝,應(yīng)分別用多少布料生產(chǎn)上衣和褲子才能恰好配套共能 生產(chǎn)多少套4利率問題,思、想導(dǎo)航：儲蓄問題中根本量之間的關(guān)系：本息和 本金 利息 本金1利率 期數(shù),利息=本金利率期數(shù),利率=罷本金例1、小明的媽媽為了準(zhǔn)備小明一年后上高中的費(fèi)用,現(xiàn)在以兩種方式在銀行共存了2000元錢,一種是年利率為2.25 %的教育儲蓄,另一種是年利率為2.25 %的一年定期存款,一年后可取出2042.75元,問這兩種儲蓄

15、各存了多少錢利息所得稅=利息金額X 20%教育儲蓄沒有利息所得稅例2、某同學(xué)的父母用甲、乙兩種形式為其存儲了一筆教育儲蓄金 10 000元,甲種形式年利率為 2.25%,乙種形式年利率為2.5%, 一年后,這名同學(xué)得到本息和共10242.5元,那么該同學(xué)的父母為其存儲的甲、乙兩種形式的教育儲蓄金各為多少元5盈虧問題例1、某服裝商販同時賣出兩套服裝,每套均賣168元,按本錢計算,一套賺了20%另一套虧了 20%.那么商販在這次買賣中盈虧了多少例2、新華書店一天銷售兩種書籍,甲種書籍共賣得1560元,為了開展農(nóng)業(yè)科技,乙種書籍送下鄉(xiāng)共賣得 1350元,按甲、乙兩種書籍的本錢分別計算,甲種書籍盈利2

16、5% ,乙種書籍虧本1000 ,試問該書店一天共盈利 虧本多少元?6數(shù)字問題例1、一個兩位數(shù)的數(shù)字之和是 7,這個兩位數(shù)減去 27,它的十位和個位上的數(shù)字就交換了位置,那么這個兩位 數(shù)是多少例2、一個兩位數(shù),十位上數(shù)字是個位上數(shù)字的兩倍,把這個兩位數(shù)個位上數(shù)字與十位上數(shù)字對調(diào)得的新兩位 數(shù)比原兩位數(shù)小 27,求原兩位數(shù).例3、甲乙兩人做加法,甲在其中一個數(shù)后面多寫了一個得和為65,你能求出原來的兩個加數(shù)嗎0,得和為2342,乙在同一個加數(shù)后面少寫了一個0,7和、差、倍、分問題思路導(dǎo)航：根本等量關(guān)系為：和+差及=大數(shù)；和-差登=小數(shù)；和倍問題：和Y倍數(shù)+1=小數(shù)小數(shù) 咻數(shù)=大數(shù)或者 和小數(shù)=大數(shù)

17、差倍問題：差Y倍數(shù)1=小數(shù)小數(shù)不數(shù)=大數(shù)或小數(shù)+差=大數(shù)例1、有兩缸金魚,如果從甲缸中取出5條放入乙缸,兩缸的金魚數(shù)相等.原來甲缸的金魚數(shù)是乙缸的例2、有兩筐蘋果,如果從第一筐拿出 一筐,那么第一筐蘋果的個數(shù)等于第二筐的又2/3倍,甲缸原有金魚多少條?12個放到第9個放到第二筐,兩筐蘋果個數(shù)相等；如果從第二筐拿出2倍.原來每筐各有幾個蘋果例3、在讀書活動中,某校將一批書按以下原那么分給各班：第一班取走100本,又取走余下的十分之一：第二班取走200本,又取走余下的十分之一 .以此類推,最后全部書被各班取走,而且各班所得的書相等,問共多 少本書,班數(shù)是多少8年齡問題例1、師傅對徒弟說“我像你這樣大時,你才4歲,將來當(dāng)你像我這樣大時,我已經(jīng)是 52歲的人了.問這位師傅與徒弟現(xiàn)在的年齡各是多少歲例2、甲乙兩人在聊天,甲對乙說："當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在歲數(shù)時,你才4歲.乙對甲說： 當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時,你將 61歲.你能算出他們兩人各幾歲嗎9幾何問題例1小明在超市幫媽媽買回一袋紙杯,他把紙杯整潔地疊放在一起,如圖請 你根據(jù)圖中的信息,假設(shè)小明把100個紙杯整潔疊放在一起時,它的高度約是A、106cm B、110cmC、114cm D、116cm例2、用6塊相同的長方形地磚拼成一個矩形,如下圖,2那么每個長方形地磚的面積是