勾股定理全章復(fù)習(xí)與鞏固(提高)知識(shí)講解

1、勾股定理全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法;2. 理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；3. 能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實(shí)際問題 【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、勾股定理1. 勾股定理：直角三角形兩直角邊 a、b的平方和等于斜邊 c的平方（即：a2 bc2）2. 勾股定理的應(yīng)用勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；（2）利用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問題；（3）求作長度為 jl.的線段.要點(diǎn)二、勾股定理的逆定理1. 原命題與逆命題如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分

2、別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.2. 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長 a、b、c,滿足a2 b2二c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的基本步驟：（1） 首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長為c ;（2） 驗(yàn)證c2與a2 b2是否具有相等關(guān)系，若 a2 b c2，則 ABC是以/ C為直 角的直角三角形，反之，則不是直角三角形3. 勾股數(shù)滿足不定方程x2 y2 =z2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)）,顯然，以x、y、z為三邊長的三角形一

3、定是直角三角形常見的勾股數(shù)：3、4、5;5、12、13; 8、15、17 : 7、24、25;9、40、41.如果（a、b c）是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，以at、bt、ct為三角形的三邊長，此三 角形必為直角三角形.觀察上面的、四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：1. 較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；2. 較長的直角邊與對(duì)應(yīng)斜邊相差1.3. 假設(shè)三個(gè)數(shù)分別為 a、b、c,且a : b c，那么存在a2 = b c成立.（例如中存在 72 = 24 + 25、92 = 40 + 41 等） 要點(diǎn)三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與

4、其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).【典型例題】類型一、勾股定理及逆定理的應(yīng)用1、如圖所示，直角梯形 ABCD中，AD/ BC, / B= 90°, AD 35 ,AB= 10、. 5 ,B 5 ,E是AB上一點(diǎn)，且 AE= 4,5，求點(diǎn)E到CD的距離EF.【思路點(diǎn)撥】 連接DE CE將EF轉(zhuǎn)化為 DCE一邊CD上的高，根據(jù)題目所給的條件，容易 求出 CDE的面積，所以利用面積法只需求出CD的長度，即可求出EF的長度，過點(diǎn)D作DH丄BC于H,在Rt DCH中利用勾股定理即可求出 DC【答案與解析】解：過點(diǎn) D作 DH1 BC于 H,連接 DE CE,貝U

5、 AD= BH AB= DHCH = BC BH=-"35 = 55 DH = AB= 10 /5 ,在 Rt CDH中，CD2 = DH 2 CH 2 二（10、5）2 （5、5）2 二 625 ,CD = 25,CDE = S梯形 ABCD - S ADE - BCE11 1（AD BC）LAB AD_AE BCBE22_ 2（3、5 8、5） 10'5-丄4、5-丄 8 5 6 5=1252 2 2又& CDE=1dclef ,1 25LEF =125 , EF = 10.【總結(jié)升華】（1）多邊形的面積可通過輔助線轉(zhuǎn)化為多個(gè)三角形的面積，利用面積法求三角形一邊上

6、的高是一種常用的簡易方法.（2）利用勾股定理求邊長、面積時(shí)要注意邊長、 面積 之間的轉(zhuǎn)換.舉一反三：【變式】如圖所示，在 ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)，已知 AB= 13, AD= 12, AC= 15, BD= 5, 求DC的長.【答案】解：在 ABD中，由1225132可知:2 2 2AD BD =AB ,又由勾股定理的逆定理知/ ADB= 90在 Rt ADC中, DC 二 AC2 AD2 二 152 一122 =9 .類型二、勾股定理與其他知識(shí)結(jié)合應(yīng)用2、如圖所示，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC= 400 米,BD= 200米，CD= 800米，牧童從A處把牛牽

7、到河邊飲水后再回家.試問在何處飲水，所走路程最短？最短路程是多少?CA 【思路點(diǎn)撥】 作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)G,連接GB，交CD于點(diǎn)E,利用“兩點(diǎn)之間 線段最短”可知應(yīng)在E處飲水，再根據(jù)對(duì)稱性知 GB的長為所走的最短路程， 然后構(gòu)造直角 三角形，利用勾股定理可解決.【答案與解析】解：作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)G,連接GB交CD于點(diǎn)E,由“兩點(diǎn)之間線段最短”可以知 道在E點(diǎn)處飲水，所走路程最短說明如下：在直線CD上任意取一異于點(diǎn) E的點(diǎn)I，連接AI、AE、BE、BI、GI、GE/ 點(diǎn)G A關(guān)于直線CD對(duì)稱， AI = GI, AE= GE由“兩點(diǎn)之間線段最短”或“三角形中兩邊之和大于第三邊”

8、可得GI + BI >GB= AE+BE于是得證.最短路程為GB的長，自點(diǎn)B作CD的垂線，自點(diǎn) G作BD的垂線交于點(diǎn)H,在直角三角 形 GHB中,/ GH = CD= 800, BH= BD DH= BD GC= BD AC= 200+ 400 = 600,由勾股定理得 GB2 =GH 2 BH 2 =80026002 =1000000 . GB = 1000，即最短路程為1000米.【總結(jié)升華】 這是一道有關(guān)極值的典型題目.解決這類題目，一方面要考慮“兩點(diǎn)之間線段最短”；另一方面，證明最值，常常另選一個(gè)量，通過與求證的那個(gè)“最大”“最小”的量進(jìn)行比較來證明，如本題中的 I點(diǎn)本題體現(xiàn)了勾

9、股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用.舉一反三：【變式】如圖所示，正方形 ABCD的AB邊上有一點(diǎn)E, AE= 3, EB= 1,在AC上有一點(diǎn)P,使 EP+ BP最短.求 EP+ BP的最小值.解：根據(jù)正方形的對(duì)稱性可知：BP= DP,連接DE交AC于P, ED= EP+ DP= EP+ BP,即最短距離EP+ BP也就是ED.ADBCAE = 3, EB= 1 , AB = AE+ EB= 4,AD = 4,根據(jù)勾股定理得： ED AE2 AD32 425 .ED >0,. ED = 5,. 最短距離 EP+ BP= 5.C3、等腰直角厶ABC中，/ ACB= 90°, E、F為AB上

10、兩點(diǎn)（E左F右），且/ ECF= 45 如圖所示：問AE、EF、BF之間有何關(guān)系？并說明理由.【思路點(diǎn)撥】：由于/ ACB= 90°,/ ECF= 45°,所以/ ACEZ BCF= 45 °，若將/ ACE和 / BCF合在一起則為一特殊角 45°，于是想到將 ACE旋轉(zhuǎn)到 BCF的右外側(cè)合并，或?qū)?BCF繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到厶ACE的左外側(cè)合并，旋轉(zhuǎn)后的BF邊與AE邊組成一個(gè)直角，聯(lián)想勾股定理而可得到 AE、EF、BF之間的關(guān)系.【答案與解析】解： AE2 BF EF2，理由如下:將厶BCF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得 ACF，使 BCF的BC與 AC邊重合,即厶 ACFB

11、CF，/ 在厶ABC中，Z ACB= 90°，AC= BC,/ CAF =/ B= 45°,./ EAF'= 90/ ECF= 45°,./ ACEZ BCF= 45°/ACF =Z BCF, Z ECF = 45°. 在厶ECF和 ECF中：CE =CE奩ECF QNECF =45°CF =CF ' ECFA ECF (SAS), EF = EF'在 Rt AEF 中，AE2 FA2 二 F E2,2 2 2AE BF 二 EF .【總結(jié)升華】 若一個(gè)角的內(nèi)部含有同頂點(diǎn)的半角，（如平角內(nèi)含直角，90°

12、;角內(nèi)含45°角，120°角內(nèi)含60°角），則常常利用旋轉(zhuǎn)法將剩下的部分拼接在一起組成又一個(gè)半角，然后 利用角平分線、全等三角形等知識(shí)解決問題.【高清課堂勾股定理全章復(fù)習(xí)例9】4、已知：如圖， ABC中，Z CAB= 120° , AB= 4, AC= 2, AD丄 BC, D是垂足，求 AD【答案與解析】解：作 CEL AB于 E,則/ CAE= 180° 120°= 60°, 在 Rt ACE中，/ CEA= 90°,/ AC= 2，/ ACE= 30°由勾股定理可得 AE =1, CE =、3BE=

13、 AB+ AE= 4+ 1 = 5在 Rt ACE中，BC=、5?、' 3 $ =2 7由三角形面積公式:丄 AB CEBC AD2 2 AD = AB空BC【總結(jié)升華】勾股定理要在直角三角形中才能應(yīng)用，沒有直角三角形要構(gòu)造直角三角形 類型三、本章中的數(shù)學(xué)思想方法5、如圖所示， ABC是等腰直角三角形,AB= AC, D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是1.轉(zhuǎn)化的思想方法：我們?cè)谇笕切蔚倪吇蚪牵蜻M(jìn)行推理論證時(shí)， 常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決.AB AC邊上的點(diǎn)，且 DEI DF,若BE= 12 , CF= 5 .求線段 EF的長.所以EF= 13.【答案

14、與解析】解：連接 AD 因?yàn)? BAC= 90°, AB= AC 又因?yàn)锳DABC的中線，所以 AD= DC= DB AD丄 BC且/ BAD- / C= 45°.因?yàn)? EDAZ ADF= 90°.又因?yàn)? CDHZ ADF= 90° .所以Z EDA=Z CDF所以 AEDA CFD( ASA).所以 AE = FC= 5 . 同理：AF= BE= 12 .在Rt AEF中，由勾股定理得："二，丨二 jL"，【總結(jié)升華】此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)通過此題，我們可以知道：當(dāng)已知的線段和所求的線段不在同一三角形中時(shí)

15、，應(yīng)通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化把它們放在同一直角三角形中求解舉一反三：【變式】已知凸四邊形 ABCD中，/ ABC= 30°,/ ADC= 60°, AA DC,求證：二-二解：將 ABD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 ° .由于DC= AD,故點(diǎn)A轉(zhuǎn)至點(diǎn)C.點(diǎn)B轉(zhuǎn)至點(diǎn)E,連結(jié)BE/ BD= DE / BDE= 60° BDE為等邊三角形，BE= BD易證 DABA DCE / A=/ 2, CE= AB/ 四邊形 ADC沖/ ADC= 60°,/ ABC= 30° / A+/ 1 = 360°- 60° 30°= 270° / 1 + / 2 =/ 1 + / A= 270° / 3= 360 ° ( / 1 + / 2) = 90- ；、歹二肘+府二妙2.方程的思想方法的值.、如圖所示，已知 ABC中，/ C= 90°,/ A= 60°,二.j< ,求“、一【答案與解析】 解：在 Rt ABC中，/ A= 60°,/ B= 90°/ A= 30°,則':，由勾股