點集拓撲學第5章

1、第一與第二可數(shù)性公理第一與第二可數(shù)性公理 可分空間可分空間Lindelff空間空間5.1 第一與第二可數(shù)性公理第一與第二可數(shù)性公理可可 數(shù)數(shù) 基基可數(shù)鄰域基可數(shù)鄰域基 拓撲空間在某一點處拓撲空間在某一點處的一個鄰域基是一個可數(shù)族，則的一個鄰域基是一個可數(shù)族，則稱它是可數(shù)鄰域基稱它是可數(shù)鄰域基. 拓撲空間的一個基拓撲空間的一個基,如果是一個可數(shù)族如果是一個可數(shù)族,則稱這個基是則稱這個基是一個可數(shù)基一個可數(shù)基. 定義定義5.1.1 一個拓撲空間如一個拓撲空間如果有一個可數(shù)基，則稱這個拓撲果有一個可數(shù)基，則稱這個拓撲空間是一個滿足第二可數(shù)性公理空間是一個滿足第二可數(shù)性公理的空間，或簡稱為的空間，或簡

2、稱為A2空間空間 定義定義5.1.2 一個拓撲空間一個拓撲空間如果在它的每一點處有一個可如果在它的每一點處有一個可數(shù)鄰域基，則稱這個拓撲空間數(shù)鄰域基，則稱這個拓撲空間是一個滿足第一可數(shù)性公理的是一個滿足第一可數(shù)性公理的空間或簡稱為空間或簡稱為A1空間空間不滿足第一可數(shù)性公理的空間的例子 設設X是包含著不可數(shù)多個點是包含著不可數(shù)多個點的可數(shù)補空間的可數(shù)補空間,則則X在它的任何一在它的任何一點處都沒有可數(shù)鄰域基點處都沒有可數(shù)鄰域基 定理定理5.1.3 每一個滿足第每一個滿足第二可數(shù)性公理的空間都滿足第二可數(shù)性公理的空間都滿足第一可數(shù)性公理反之不成立一可數(shù)性公理反之不成立. 定理定理5.1.4 設設

3、 X 和和Y是兩個是兩個拓撲空間，拓撲空間， 是一個滿的是一個滿的連續(xù)開映射連續(xù)開映射.如果如果X滿足第二可滿足第二可數(shù)性公理數(shù)性公理(滿足第一可數(shù)性公理滿足第一可數(shù)性公理)，則則Y也滿足第二可數(shù)性公理也滿足第二可數(shù)性公理(滿足滿足第一可數(shù)性公理第一可數(shù)性公理):fXY繼續(xù)可遺傳性質可遺傳性質 如果一個拓撲空間具有這個如果一個拓撲空間具有這個性質那么它的任何一個子空間也性質那么它的任何一個子空間也都具有這個性質都具有這個性質對開對開閉閉子空間可遺傳性質子空間可遺傳性質 例例: 局部連通空間的任何局部連通空間的任何一個開集作為子空間都是一個一個開集作為子空間都是一個局部連通空間局部連通空間證明：

4、設證明：設X是一個局部連通空是一個局部連通空間，間，U是是X的一個開集，則對的一個開集，則對任意任意xU和和x在子空間在子空間U中的中的任意一個鄰域任意一個鄰域V，V也是也是x在在X中的一個鄰域中的一個鄰域,由于由于X是一個局部連通空間，是一個局部連通空間，從而從而 x有一個連通的鄰域有一個連通的鄰域W,使得使得 , 從而從而U是一個局部連通空間是一個局部連通空間.WV 定理定理5.1.5 滿足第二可數(shù)性公滿足第二可數(shù)性公理理(滿足第一可數(shù)性公理滿足第一可數(shù)性公理)的空間的空間的任何一個子空間是滿足第二可的任何一個子空間是滿足第二可數(shù)性公理數(shù)性公理(滿足第一可數(shù)性公理滿足第一可數(shù)性公理)的空間

5、的空間 推論推論5.1.7 n維歐氏空間維歐氏空間 Rn的每一個子空間都滿足第的每一個子空間都滿足第二可數(shù)性公理二可數(shù)性公理作業(yè)作業(yè):2,65.2 可分空間可分空間 定義定義5.2.1 設設X是一個拓撲是一個拓撲空間，空間， 如果如果 ，則稱則稱D是是X的一個稠密子集的一個稠密子集DXDX 定理定理5.2.1 設設X是一個拓是一個拓撲空間，撲空間，D是是X中的一個稠密中的一個稠密子集子集.又設又設 都是連都是連續(xù)映射續(xù)映射,如果如果 , 則則f = g.,:f g XR|DDfgf(x)g(x)x()(V1V2fgf -1(V1)g -1(V2)UX 定義定義5.2.2 設設X是一個拓是一個拓

6、撲空間如果撲空間如果X中有一個可數(shù)中有一個可數(shù)稠密子集，則稱稠密子集，則稱X是一個可分是一個可分空間空間 定理定理5.2.2 每一個滿足第二每一個滿足第二可數(shù)性公理的空間都是可分空間可數(shù)性公理的空間都是可分空間.繼續(xù) 推論推論5.2.3 滿足第二可滿足第二可數(shù)性公理的空間的每一個子數(shù)性公理的空間的每一個子空間都是可分的空間都是可分的.定理定理5.3.2逆不成立逆不成立可分性出不具有可遺傳性可分性出不具有可遺傳性(見例見例5.2.1)繼續(xù) 定理定理5.2.4 每一個可分的度每一個可分的度 量空間都滿足第二可數(shù)性公理量空間都滿足第二可數(shù)性公理. 推論推論5.2.5 可分度量空間的可分度量空間的每一

7、個子空間都是可分空間每一個子空間都是可分空間.作業(yè)：作業(yè)：45.3 Lindelff 空間空間 定義定義5.3.1 設設A 是一個集族，是一個集族，B是一個集合如果是一個集合如果 , 則稱集則稱集族是集合族是集合B的一個覆蓋，并且當?shù)囊粋€覆蓋，并且當A是是可數(shù)族或有限族時，分別稱集族是可數(shù)族或有限族時，分別稱集族是集合集合B的的個可數(shù)覆蓋或有限覆蓋個可數(shù)覆蓋或有限覆蓋AABA 設集族設集族 A 是集合是集合B的一個的一個覆蓋如果集族覆蓋如果集族 A 的一個子族的一個子族A1也是集合也是集合B的覆蓋，則稱集族的覆蓋，則稱集族 A1 是覆蓋是覆蓋A (關于集合關于集合B)的一個的一個子覆蓋子覆蓋.

8、 設設X是一個拓撲空間如果由是一個拓撲空間如果由X中開中開(閉閉)子集構成的集族子集構成的集族 A 是是X的子集的子集B的一個覆蓋，則稱集的一個覆蓋，則稱集族族 A 是集合是集合B的一個開的一個開(閉閉)覆覆蓋蓋 定義定義5.3.2 設設X是一個拓撲空是一個拓撲空間如果間如果 X 的每一個開覆蓋都有的每一個開覆蓋都有一個可數(shù)子覆蓋，則稱拓撲空間一個可數(shù)子覆蓋，則稱拓撲空間X是一個是一個Lindelff空間空間 定理定理5.3.1 任何一個滿足第二任何一個滿足第二可數(shù)性公理的空間都是可數(shù)性公理的空間都是 Lindelff空間空間繼續(xù) 推論推論5.3.2 滿足第二可數(shù)性滿足第二可數(shù)性公理的空間的每一個子空間都是公理的空間的每一個子空間都是Lindelff空間空間 特別，特別，n歐氏空間歐氏空間Rn的每的每一個子空間都是一個子空間都是Lindelff空間空間 定理定理5.3.1和推論和推論5.3.2的逆的逆命題不成立命題不成立.(見例見例5.3.1) 定理定理5.3.3 每一個每一個Lindelff的度量空間都滿足第二可數(shù)性公的度量空間都滿足第二可數(shù)性公理理.繼續(xù) 定理定理5.3.4 Lindelff空間的每一個閉子空間都空間的每一個閉子