導數(shù)的實際應用題典型例題(1)

1、2019與數(shù)的實際應用示例內(nèi)容要求ABC導數(shù)在實際生活中的應用V1、能用導數(shù)方法求解有關利潤最大等與最值有關的問題2、感受導數(shù)在解決實際問題中的作用。五年高考情況分析年份2015 年2016 年2018 年考查知識點函數(shù)的實際應 用，利用導數(shù)研 究函數(shù)的最值。函數(shù)的實際應用，利 用導數(shù)研究函數(shù)的 最值。與立體幾何結 合。函數(shù)的實際應用，利用導數(shù) 研究函數(shù)的最值。匕二角函 數(shù)結合利用導數(shù)研究函數(shù)的最值是函數(shù)模型的一個重要模塊，導數(shù)是求函數(shù)的一種重要工具，對函數(shù)的解析式?jīng)]有特殊的要求，無論解析式是復雜或者簡單，與三角函數(shù)還是與其他模塊的結合都 可以運用導數(shù)求解，?？嫉闹R點可以與立體幾何、三角函數(shù)

2、、解析幾何等模塊結合，這是近 幾年江蘇高考命題的趨勢。在高考復習中要注意以下幾點：1、導數(shù)的實際應用關鍵是構建函數(shù)模型。第一步：弄清問題，選取自變量，確立函數(shù)的取值范圍；第二步：構建函數(shù)，將實際問題轉化為數(shù)學問題；第三步：解決構建數(shù)學問題；第四步: 將解出的結果回歸實際問題，對結果進行取舍。2、在建立函數(shù)模型時，要注意函數(shù)的定義域，要積累常見函數(shù)模型如分式函數(shù)、三次函數(shù)、 三角函數(shù)等知識點模塊的結合。五年高考真題1、某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條 連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為11, 12,山區(qū)邊界曲線為C,計劃修建的

3、公路為1,如圖所示，M, N為C的兩個端點，測得點 M至山1, 12的距離分別為5km和40km,點N到1i, 12的距離分別為20km和2.5km,以12, li所在的直線分別為x, y a軸，建立平面直角坐標系xOy,假設曲線C符合函數(shù)y=x2ab(其中a, b為常數(shù))模型.(1)求a, b的值；(2)設公路1與曲線C相切于點P, P的橫坐標為t.請寫出公路1長度的函數(shù)解析式f(t),并寫出.其定義域；當t為何值時，公路1的長度最 短？求出最短長度.X2、現(xiàn)需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐 P-ABC。一下部 分的形狀是正四棱柱 ABCD-ABC1D1 （如圖所

4、示），并要求正四棱柱的高 OO1是正四棱錐的高 PQ的4倍.（1）若AB =6mPO 12n 則倉庫的容積是多少？ （2）若正四棱錐的側棱長為6m, 則當PQ為多少時，倉庫的容積最大？3、某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓 。的一段圓弧MPN （P為此圓弧的中點）和線 段:構成.已知圓。的半徑為40米，點P到MN的距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個溫 室大棚，大棚I內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD,大棚】工內(nèi)的地塊形狀為CDP,要求均在線段YN上, CQ均在圓弧上.設OC與所成的角為匕（1）用日分別表示矩形ABCD和ACDP的面積，并確定號端的取值范圍；（2）若大棚內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚11

5、內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值 之比為求當電為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.三年模擬試題題型一與函數(shù)有關的最值問題OA的長為1百米.為E-F,且 CD, DE, EF1百米參觀線路的費用1、如圖，半圓AOB是某愛國主義教育基地一景點的平面示意圖，半徑 了保護景點，基地管理部門從道路l上選取一點C,修建參觀線路C-D 均與半圓相切，四邊形 CDEF是等腰梯形.設DE = t百米，記修建每5,0 <t< 1,為f(t)萬元，經(jīng)測算f(t)=438 -1, - <t <2.t 3(1)用t表示線段EF的長；(2)求修建該參觀線路的最低費用.(第題

6、)2、下圖(I)是一斜拉橋的航拍圖，為了分析大橋的承重情況，研究小組將其抽象成圖( II)所示的數(shù)學用K型.索塔AB, CD與橋面AC均垂直，通過測量知兩索塔的高度均為60m,橋面AC上一點P到索塔AB , CD距離之比為21: 4 ,且P對兩塔頂?shù)囊暯菫?35 .(1)求兩索塔之間橋面AC的長度；(2)研究表明索塔對橋面上某處的 垂重強度”與多種因素有關，可簡單抽象為：某索塔對橋面上某處的 筮重強度”與索塔的高度成正比(比例系數(shù)為正數(shù)a),且與該處到 索塔的 距離的平方成反比(比例系數(shù)為正數(shù) b ).問兩索塔對橋面何處的 垂重強度”之和最?。坎⑶蟪鲎钚≈?c第r題圖(r)(第V題圖(H &#

7、187;3、某經(jīng)銷商計劃銷售一款新型的空氣凈化器，經(jīng)市場調研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：當每臺凈化器的利潤為x(單位：元，x>0)時，銷售量q(x)(單位：百臺)與x的關系滿足：若x不超過20,則q(x)=1261；若x大于或等于180, 則銷售量為零；當 20<x018時，q(x) = ag/X(a, b為實 x十1常數(shù)).(1)求函數(shù)q(x)的表達式；(2)當x為多少時，總利潤(單位：元)取得最大值，并求出該最大值.4、經(jīng)市場調查，某商品每噸的價格為x（1<x<14）百元時，該商品的月供給量為 yi噸，yi7 2121= ax+ 2a -a（a>0）；月需求重為y2萬噸，y

8、2= -224x -2x+1,當該冏品的需求重大于供給量時，銷售量等于供給量;當該商品的需求量不大于供給量時，銷售量等于需求量，該商品的月銷售額等于月銷售量與價格的乘積.（1）若a=J問商品的價格為多少時，該商品的月銷售額最大？ （2）記需求量與供給量相等時的價格為均衡價格，若該商品的均衡價格不低于 每噸6百元，求實數(shù)a的取值范圍.題型二與平面或空間幾何體有關的最值問題1、有一矩形硬紙板材料（厚度忽略不計），一邊AB長為6分米，另一邊足夠長.現(xiàn)從中截取矩 形ABCD（如圖甲所示），再剪去圖中陰影部分，用剩下的部分恰割 能折卷成一個底面是弓形的柱體包裝盒（如圖乙所示，重疊部分忽略不計），其中OE

9、MF是以。為圓心、/ EOF= 120°的扇形，且弧EF, GH分別與邊BC, AD相切于點M, N.（1）當BE長為1分米時，求折卷成的包 裝盒的容積；（2）當BE的長是多少分米時，折卷成的包裝盒的容積最大？2、在一張足夠大的紙板上截取一個面積為 3 600平方厘米的矩形紙板ABCD ,然后在矩 形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的長方 體紙盒(如圖).設小正方形邊長為x厘米，矩形紙板的兩邊AB, BC的長分別為a厘米和b厘 米，其中a> b.(1)當a= 90時，求紙盒側面積的最大值;(2)試確定a, b, x的值，使得紙盒的體積最大

10、，并求出最大值.題型三 與三角函數(shù)有關的問題1、17.如圖，是一個扇形花園，已知該扇形的半徑長為 400米，冗,且半徑0c平分AOB 二2/AOB ,現(xiàn)擬在0C上選取一'點P，修建二條路po , pa , pb供游人行走觀賞，設/PAO=a -(1)將三條路PO , PA, PB的總長表示為a的函數(shù)1(a),并寫出此函數(shù)一的定義域；(2)試確定口的值，使得l(ot)最小.第17題圖2、如圖，已知A, B兩鎮(zhèn)分別位于東西湖岸 MN的A處和湖中小島的B處，點C在A的正一、,.,.3. 兀 西萬向1 km處，tan/BAN =4, / BCN =彳.現(xiàn)計劃鋪設一條電纜連通 A, B兩鎮(zhèn)，有兩

11、種鋪設 方案：沿線段AB在水下鋪設；在湖岸MN上選一點P,先沿線段AP在地下鋪設，再沿 線段PB在水下鋪設，預算地下、水下的電纜鋪設費用分別為 2萬元 加、4萬元161.(1)求 A, B兩鎮(zhèn)間的距離；(2)應該如何鋪設，使總鋪設費用最低？3、如圖是一個半圓形湖面景點的平面示意圖.已知 AB為直徑，且AB=2 km, O為圓心 ,C為圓周上靠近A的一點，D為圓周上靠近B的一點，且CD/AB.現(xiàn)在準備從A經(jīng)過C 到D建造一條觀光路線，其中 A到C是圓弧 記，C至ij D是線段CD.設/ AOC=x rad,觀光 路線總長為y km.(1)求y關于x的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域;(2)求觀光

12、路線總長的最大值.o2019與數(shù)的實際應用示例內(nèi)容要求ABC導數(shù)在實際生活中的應用V3、能用導數(shù)方法求解有關利潤最大等與最值有關的問題4、感受導數(shù)在解決實際問題中的作用。五年高考情況分析年份2015 年2016 年2018 年考查知識點函數(shù)的實際應 用，利用導數(shù)研 究函數(shù)的最值。函數(shù)的實際應用，禾I 用導數(shù)研究函數(shù)的 最值。與立體幾何結 合。函數(shù)的實際應用，利用導數(shù) 研究函數(shù)的最值。匕二角函 數(shù)結合利用導數(shù)研究函數(shù)的最值是函數(shù)模型的一個重要模塊，導數(shù)是求函數(shù)的一種重要工具，對函數(shù)的解析式?jīng)]有特殊的要求，無論解析式是復雜或者簡單，與三角函數(shù)還是與其他模塊的結合都 可以運用導數(shù)求解，?？嫉闹R點可

13、以與立體幾何、三角函數(shù)、解析幾何等模塊結合，這是近 幾年江蘇高考命題的趨勢。在高考復習中要注意以下幾點:3、導數(shù)的實際應用關鍵是構建函數(shù)模型。第一步：弄清問題，選取自變量，確立函數(shù)的取值范圍；第二步：構建函數(shù)，將實際問題轉化為數(shù)學問題；第三步：解決構建數(shù)學問題；第四步: 將解出的結果回歸實際問題，對結果進行取舍。4、在建立函數(shù)模型時，要注意函數(shù)的定義域，要積累常見函數(shù)模型如分式函數(shù)、三次函數(shù)、 三角函數(shù)等知識點模塊的結合。五年高考真題1、某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條 連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為11, 12,山區(qū)邊

14、界曲線為C,計劃修建的公路為1,如圖所示，M, N為C的兩個端點，測得點 M至山1, 12的距離分別 為5km和40km,點N到1i, 12的距離分別為20km和2.5km ,以。li所在的直線分別為x,ay軸，建立平面直角坐標系xOy,假設曲線C符合函數(shù)y = X2rb(其中a, b為常數(shù))模型.(1) 求a, b的值；(2)設公路1與曲線C相切于點P, P的橫坐標為t.請寫出公路1長度的函數(shù)解析式f(t),并寫出其定義域；當t為何值時，公路1的長度最 短？求出最短長度.解析：(1)由題意知，點M, N的坐標分別為(5,40), (20,2.5).a將其分別代入y = a=1000,、b =

15、 0.25Zb=40，,得x2 -=2.5,400+ b(2)由(1)知，丫=啰°(50乂&2 0則點P的坐標為 x設在點P處的切線1交x, y軸分別于A, B兩點，2000100020003t3000因為 y = ?-，則 1 的萬程為 yi= p-(x t)，由此得 AQ，0 B_0,/,s/冏、2一,3000 2 3 I 2 4X106故 f(t)=黃 2 = 3 7/+4?-，tC5,20. o 4M0616X06 .l設 g(t) = t2+-,則 g' (t)2t .令 g' (t)0,解得 t=10/2.當tC (5,105)時,g' (

16、t)<0g是減函數(shù);當te(i042, 20)時，g'(t)>0 g是增函數(shù).從而，當t=10也時，函數(shù)g有極小值，也是最小值，所以 g(t)min=300,此時f(t)min = 15 3.答：當t=1072時，公路l的長度最短，最短長度為15V3 km.2、現(xiàn)需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐P-ABC。一下部分的形狀是正四棱柱 ABCD-ABGD(如圖所示)，并要求正四棱柱的高 OQ是正四棱錐的高 PQ的4倍.(1)若AB=6m,PO =2m,則倉庫的容積是多少？(2)若正四棱錐的側棱長為6m,則當PQ為多少時，倉庫的容積最大？解析：(1)由

17、 POi = 2 知 OiO = 4POi = 8.因為 AiBi=AB=6,所以正四棱錐PA1B1C1D1的體積一 121 -23V 錐=& A1B1 POi = & >6 >2 = 24(m ); 33正四棱柱ABCDA1B1C1D1的體積V 柱=人82 OQ=62>8 = 288(m3).所以倉庫的容積 V = V錐+ V柱= 24 + 288=312(m3).(2)設 A1B1 = a(m), PO = h(m),則 0<h<6, OO = 4h.連結 O1B1.因為在 RtPQB1 中，OiB2+PO2=PB2,所以12a 2+ h2 =

18、 36,即 a2= 2(36 h2),于是倉庫的容積V = V 柱+V 錐=a 4h+1a2 h = 13a2h = 26(36h h3), 0<h<6, 3332622從而 V =§(36 3h2) = 26(12h2).令 V'=0,得 h=25或 h= 273(舍).當0<h<2小時，V' >0 V是單調增函數(shù)；當2t3<h<6時，V' <0 V是單調減函數(shù).故h=243時，V取得極大值，也是最大值.因此，當POi = 2«3 m時，倉庫的容積最大.3、某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓 。

19、的一段圓弧MPN (P為此圓弧的中點)和線 段構成.已知圓。的半徑為40米，點P到YN的距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個溫 室大棚，大棚I內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD,大棚】工內(nèi)的地塊形狀為ACDP,要求均在線段MN上, CQ均在圓弧上.設OC與NfN所成的角為匕(1)用日分別表示矩形ABCD和 3P的面積，并確定sin6的取值范圍；(2)若大棚內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值 之比為4：3.求當。為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.【解析】分析：(1)先根據(jù)條件求矩形長與寬，三角形的底與高，再根據(jù)矩形面積公式以及三 角形面積公式得結果，最后根據(jù)

20、實際意義確定 所日的取值范圍；(2)根據(jù)條件列函數(shù)關系式, 利用導數(shù)求極值點，再根據(jù)單調性確定函數(shù)最值取法 .詳解：解：(1)連結PO并延長交MN于H,則PHXMN ,所以OH=10.過。作 OELBC 于 E, WJ OE/ MN ,所以/ COE=,故 OE=40cos9, EC=40sin8,則矩形 ABCD 的面積為 2X40cos&40sin 0 +10=800 (4sin 0 cos 0 +c0$8 CDP 的面積為;x 2X 40cos(40 - 40sin) 0=1600 (cos 0 - sin 0 cos 0過N作GN，MN ,分別交圓弧和 OE的延長線于G和K,則

21、GK=KN=10 .人， .1一一 M令/ GOK = 0,貝 sin 0=Gb ( 0,-).46兀當ee 0,-)時，才能作出滿足條件的矩形 abcd,所以sin珀勺取值范圍是；,1).4答：矩形ABCD的面積為800 (4sin 9 cos 9 +cos方米， CDP的面積為1600 (cos 0 - sin 0)cosin 的取值范圍是, 1).(2)因為甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4 : 3,設甲的單位面積的年產(chǎn)值為 4k,乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k (k>0),則年總產(chǎn)值為 4k>800 (4sin 0 cos 0 +cos+3kX1600 (cos 0 - s

22、in 0 cos 0=8000k (sin 0 cos 0 +cos 配0,，. L兀設 f (切=sin 0 cos 0 +q os (BE 0,-),貝U 式日)=M?白-sm2e -sine= - Qsmi七 +- 1)=-(裔in。- l)(sin0 十 I).令F=0,得心， o 兀當院(凱-)時，m,所以f( 8)為增函數(shù)； 兀 兀當修(及5)時，'"，所以f (0)為減函數(shù)，因此，當8?時，f ( 9)取到最大值.答：當81時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大. 6題型一與函數(shù)有關的最值問題1、如圖，半圓AOB是某愛國主義教育基地一景點的平面示意圖，半徑 OA的

23、長為1百米.為 了保護景點，基地管理部門從道路l上選取一點C,修建參觀線路C-D-E-F,且CD, DE, EF 均與半圓相切，四邊形 CDEF是等腰梯形.設DE = t百米，記修建每1百米參觀線路的費用5,0<t< 1,為f(t)萬元，經(jīng)測算f(t)=<3l8v 3”.(1)用t表示線段EF的長；(2)求修建該參觀線路的最低費用解答 設DE與半圓相切于點Q,則由四邊形CDEF是等腰梯形知OQ_Ll , DQ = QE,以OF 所在直線為x軸，OQ所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系 xOy.點E的坐標為(2,1),設直線 EF 的方程為 y_1=k(xJ (k<

24、;0),即 kx y 十 1gtk=0 .因為直線EF與半圓相切，1|1 - 1tk|所以圓心O到直線EF的距離為 2_1解得k=4 .kt4代入 y-1 =k(x：)可得 y -1 =4(x-i),2t242點F的坐標為(4 +1,0). 4 t所以 EF = J(L +1 _子 +1 =± +1 ,即 EF = t +1 (0<t<2). 4 t 24 t4 t方法二：設EF切圓。于G ,連結OG ,則OG _L EF過點E作EH _LAB ,垂足為H .因為 EH =OG , NOFG =NEFH ,所以 RtAEHFRtAOGF,1 1因為 EG = DE =t

25、,所以 HF =FG =EF -t .2 22由 EF2 =EH 2 +HF 2 =1 十(EF -1t)2,所以 EF =；+；(0 <t <2 ).(2)設修建該參觀線路的費用為y萬元.當。<3，y=5卜(4+：)+t=5(2t+2),由y'=5(3 -2) <0 ,則y在(。，1 上單調遞減.2 t3所以當t=1時，y取最小值為32.5； 3當 1Mte2 時,y =(8 -1) 2(a +；) +t=12t 峙 -3 -用，3 t14 t t 2 t_ 2-所以y2_f +?=蝴一號十&-1),因為 1 <t <2 ,所以 3t2 +

26、3t -1 >0 , 3且當 tw（1,1）時，y'<0；當 tw（1,2）時，yr>0, 3所以y在（1,i）上單調遞減；在（1,2）上單調遞增. 3所以當t =1時，y取最小值為24.5 .由知，y取最小值為24.5.答：（1） EF的長為（十1）百米； 4 t（2）修建該參觀線路的最低費用為24.5萬元.【解后反思】應用題建模是關鍵，選擇什么知識作為解題工具，是平幾、解幾還是三角，與拋 物線、橢圓、雙曲線等曲線有關的平面圖形為背景的應用題，一般要通過建立平面直角坐標系 運用解幾知識來建立模型，對于圓的問題有時不建系反而簡單，如這里的方法二，故不能絕對 化.2、下

27、圖（I）是一斜拉橋的航拍圖，為了分析大橋的承重情況，研究小組將其抽象成圖（ II） 所示的數(shù)學用K型.索塔AB, CD與橋面AC均垂直，通過測量知兩索塔的高度均為60m,橋面 AC上一點P到索塔AB , CD距離之比為21: 4 ,且P對兩塔頂?shù)囊暯菫?35 . （1）求兩索塔 之間橋面AC的長度；（2）研究表明索塔對橋面上某處的 筮重強度”與多種因素有關，可簡單 抽象為：某索塔對橋面上某處的 筮重強度”與索塔的高度成正比（比例系數(shù)為正數(shù) a）,且與 該處到索塔的距離的平方成反比（比例系數(shù)為正數(shù)b） .問兩索塔對橋面何處的筮重強度”之和最小？并求出最小值.解答 (1)設 AP=21t, BP=

28、4t, (t A0),記上APB=a, NCPD=P ,則x 6 02 0-6 01 5tan =-=， t a n =一, 2 174 t20 15tan -tan!：- 7t T /由 tan(a + P) =tan453 = -;-n =-=1 ，1 - tan 二 tan -1 300127t2化簡得 7t2 一 125t 一300 =0 ,解得 t =20 或 t =一15 (舍去)，所以, AC =AP +PC =25x20 =500 .答：兩索塔之間的距離 AC=500米.(2)設AP=x，點P處的承重強度之和為L(x).則 L(x) =60ab + ab 2,且 xw(0,50

29、0), x2(500 -x)211即 L(x) =60ab。1_2, x (0,500) x2(500 -x)2(注：不寫定義域扣1分)1122記 l(x) =+r,x = (0,500),貝U1'(x)=f+3 ,x2(500 -x)2x3(500 - x)3令 l (x) =0 ,解得 x =250 ,當 xW (0,250) , l(x)<0, l(x)單調遞減;當 XW (250,500) , l'(x)A0, l(x)單調遞增;所以x=250時，l(x)取到最小值，L(x)也取到最小值§也3125答：兩索塔對橋面AC中點處的 筮重強度”之和最小，且最小

30、值為-6ab31253、某經(jīng)銷商計劃銷售一款新型的空氣凈化器，經(jīng)市場調研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：當每臺凈化器的利潤為x(單位：元，x>0)時，銷售量q(x)(單位：百臺)與x的關系滿足：若x不超過20,則1260q(x)=x260；若x大于或等于180,則銷售量為零;當20< x018時，q(x) = a-bVx(a, b為實 常數(shù)).(1)求函數(shù)q(x)的表達式；(2)當x為多少時，總利潤(單位：元)取得最大值，并求出該最大值.解答(1)當 20<X0180,由 4a b V20= 60,；”a b 180 00<x< 2020<x< 180x>180.

31、1 260 x+1 ' 故附=：90-3倔,L 0,(2)設總利潤 f(x)=xq(x),Off W 20,20<丸近 180,x > 180,1 260 x+1 '90-3 反, 由得f(x)=>126 000x126 000 .當 0<x<20時，f(x) = x+ 1一 = 126 000 x+ 1 , f(x)在(0,20上單調遞增,所以當x = 20時，f(x)有最大值120 000. (8分)當 20<x0 180寸，f(x)=9 000x-300/5 x/x, f' (x)9 000 45075 /x,令 f'

32、(x)0,得 x=80.當 20<x<80 時，f' (x)>0 f(x)單調遞增,當 80<x0 180寸，f' (x)<0f(x)單調遞減，所以當x = 80時，f(x)有最大值240 000.當 x>180 時，f(x)=0.答：當x為80時，總利潤取得最大值240 000元.易錯警示 本題易錯在忽視了題目中所給單位百臺”導致14分全部扣完.應用題的數(shù)據(jù)上要注意兩個方面：一題目所給單位是什么？如百臺，千件；二是數(shù)據(jù)的值比較大，計算要 謹慎，而這兩類問題多出自函數(shù)應用題.4、經(jīng)市場調查，某商品每噸的價格為 x(1<x<14)百

33、元時，該商品的月供給量為 y1噸，y17 2121= ax+ 2a -a(a>0)；月需求重為y2萬噸，y2= 224x 五乂+1,當該冏品的需求量大于供給 量時，銷售量等于供給量；當該商品的需求量不大于供給量時，銷售量等于需求量，該商品 的月銷售額等于月銷售量與價格的乘積.1(1)若a= 7,問冏品的價格為多少.時，該冏品的月銷售額取大？(2)記需求量與供給量相等時的價格為均衡價格，若該商品的均衡價格不低于每噸6百元，求實數(shù)a的取值范圍.加依小 w 112117121解答(1)右 a=7,由 y2>y1，得一224x -+ 1>7x+27 ! -7.解得40<x<

34、;6 .因為 1<x<14,所以 1<x<6.設該商品的月銷售額為g(x),則 g(x)=一 一.1133當 1<x<6 時，g(x) =，3 2,<g(6)=亍.一一1 21當 6<x<14寸，g(x)=1224x H2x+1 x, 12 一一 1則 g (x) 224(3x2 + 4x224)= 224(x 8)(3x + 28),由 g' (x)>0 得 x<8 ,所以g(x)在6,8)上是增函數(shù)，在(8,14)上是減函數(shù)，36故當x = 8時，g(x)有取大值g(8) = y.(2)設 f(x) =y1一y2=2

35、24x2+ j12+ a " + 7a21a,因為a>0,所以f(x)在區(qū)間(1,14)上是增函數(shù)，若該商品的均衡價格不低于6百元，即函數(shù)f(x)在區(qū)間6,14)上有零點,所以f6尸Q f(14>0,一 2117a + 10a7&Q)即17I 薩2 + 13a>0, 2)解得0<ag.一11 -I一 答：(1)若2= 7,商品的每噸價格定為8百元時，月銷售額最大；(2)若該商品的均衡價格不低于每噸 6百元，實數(shù)a的取值范圍是,，71解后反思 本題是蘇教版高中課程標準實驗教科書高中數(shù)學必修2第94頁例3的改編題：某商品的市場需求量y1(萬件)、市場供應量

36、y2(萬件)與市場價格x(元/件)分別近似地滿足 下列關系：y1= x+70, y2=2x 20.當y1 = y2時的市場價格為市場平衡價格，此時的需求量 為平衡需求量.(1)求平衡價格和平衡需求量； (2)若要使平衡需求量增加4萬件，政府對每件商品應給予多少元的補貼? 題型二與平面或空間幾何體有關的最值問題1、有一矩形硬紙板材料（厚度忽略不計），一邊AB長為6分米，另一邊足夠長.現(xiàn)從中截取矩 形ABCD（如圖甲所示），再剪去圖中陰影部分，用剩下的部分恰好.能折卷成一個底面是弓形的柱體包裝盒（如圖乙所示，重疊部分忽略不計），其中OEMF是以。為圓心、/ EOF= 120°的扇 形，且

37、弧EF, GH分別與邊BC, AD相切于點M, N.（1）當BE長為1分米時，求折卷成的包裝盒的容積；（2）當BE的長是多少分米時，折卷成的包裝盒的容積最大?解答（1）在圖甲中，連結 MO交EF于點T.設OE = OF = OM = R,1R 一R在 RtzXOET 中，因為/ EOT=2/EOF = 60 ,所以 OT = 2,則 MT = OMOT=?Ri從而 BE = MT = 2,即 R = 2BE=2.（2 分）故所得柱體的底面積S=S扇形oef Saoef = 3 tt f -2R2sin120m.（4分）又所得柱體的高EG=4,所以V = SXEG = 2y 4/3. 3答：當B

38、E長為1分米時，折卷成的包裝盒的容積為 f6工4乖，立方分米.（6分）（2）設BE = x,則R = 2x,所以所得柱體的底面積 S= S扇形oef Saoef=（冗一;R2sin12032=42r5,X2又所得柱體的高EG=62x,所以V = S XEG=F 2點j（ x3+3x2）,其中 0<x<3.（10 分） 令f(x) = x3+3x； xC(0, 3),則由 f' (x) 3x2 +6x= 3x(x 2)=0,解得 x = 2.(12分) 列表如下：x(0, 2)2(2, 3)f' (x)十0一f(x)極大值所以當x = 2時，f(x)取得極大值,也是最

39、大值.答：當BE的長為2分米時，折卷成的包裝盒的容積最大.(14分)易錯警示1.底面積計算錯誤，或者因為扇形面積公式計算錯誤，或者是三角形面積計 算錯誤；2 .將 黑2#，x3+3x2)展開成四項的過程中出現(xiàn)失誤；3 .計算體積時，公式多乘3.32、在一張足夠大的紙板上截取一個面積為 3 600平方厘米的矩形紙板ABCD ,然后在矩 形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的長方 體紙盒(如圖).設小正方形邊長為x厘米，矩形紙板的兩邊AB, BC的長分別為a厘米和b厘 米，其中a> b.(1)當a= 90時，求紙盒側面積的最大值；(2)試確定a, b,

40、x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值.解答(1)當a=90時，b = 40,紙盒的底面矩形的長為90-2x,寬為40 2x,周長為260 一8x.所以紙盒白側面積 S(x) = (260 8x)x= 8x2 + 260x,其中 x C (0,20),故 S(x)max= Sg 4f5.答：當a=90時，紙盒側面積的最大值,為平方厘米.(2)紙盒的體積 V = (a2x)(b2x)x,其中 xC ", 2), a>1>0,且 ab= 3 600.因為(a2x)(b 2x) = ab2(a+ b)x+4x2<ab4/abx+ 4x2=4(x2 60x+900),當且

41、僅當 a= b=60時取等號，所以 V0 4(x3 60x2 + 900x), x (0,30).記 f(x) = 4(x3- 60x2 + 900x), x C (0,30),則 f' (x)12(x-10)(x-30),令f' (x)0,得x=10,列表如下:x(0,10)10(10,30)f' (x)十0一f(x)極大值由上表可知，f(x)的極大值是f(10)=16 000,也是最大值.答：當a=b=60,且x=10時，紙盒的體積最大，最大值為 16 000立方厘米.解后反思 因為a= 3-60°,所以第(2)題實際上是體積V關于兩個變量b, x的最值問

42、題.先固定x,處理變量b,再處理x.另外，對于求f(x)的最大值，學習過不等式選講的學生也可用下面的解法.因為 x(0,30),所以 f(x) =4x(30x)2=2 2x(30 x)(30 x) &衿+(30一 3)±i30x16 000,當且僅當x = 10時取等號.題型三 與三角函數(shù)有關的問題1、如圖，是一個扇形花園，已知該扇形的半徑長為400米，- n，且半徑oc平分AOB 二-2/AOB 現(xiàn)擬在OC上選取一點P，修建二條路po , PA , PB供游人行走觀賞,設/PAO=ot(1)將三條路PO,PA,PB的總長表示為口的函數(shù)1),并寫出此函數(shù)的定義域；(2)試確定

43、。的值,使得1(3)最小. J-貳 x* . K、sin(cr + )sin(cr + 7)故所求函數(shù)為f(a)="建回電,ae(0.).sin(a + )*,“,"6 分(2 )記/=x/2 +sin« 2 + V2sinff,笈sing + )喂）第17題圖、,2 sin 二：【思路分析】第2問的難點在于三角式殺處理.由于該分式的分子分母不是齊次式，又4沒有Sine（土cosqsin ctcosct ”特征，故只能采用求導法求最值.4pnpAO1L解：3 )在&4尸。中.由正弦定理，得= =-51n £AOP sin £PAO sm

44、 APOBn AP OP 400.20072 人口 400sin«.R sin ex - z 71、- z k、, 耗、sinsin(tz + )sin(£r + )sin(z + )4444bl” r, % cn njnn cn rn/ 4(N 居訪儀200 正所以 l(a = OP-PA + PB - OP+2PA +2x,.r 、 V2 cos«(sin(2 4-coscr) -(2 +V2sin«)(costt-sinfZ)因為'9)=2V2sin(« - ) +V2410分答：當口二£時./最小, 122 sin :【解后反思】熟悉復合函數(shù)導數(shù)公式的同學可以直接對f（"）=不求導，即sin（.，%）4in （：-）-：.z ，冗、,冗、，不，.，Ccos- sin（-） -cos（