極值點偏移問題利器——極值點偏判定定理

1、專題02:極值點偏移問題利器一一極值點偏判定定理一、極值點偏移的判定定理對于可導函數(shù)y = f（x）,在區(qū)間（a,b）上只有一個極大（?。┲迭c,方程f（x）=0的解分別為xi, X2,且a 刈X2 b ,（1）若 f （x1） f （2x0x2）,則*（a）x0,即函數(shù) y= f（x）在區(qū)間（x1,x2）上 2極（?。┐笾迭c,小右（左）偏；（2）若 f （x1） f（2x0 -x2）,則 Wx2（）x0 ,即函數(shù) y= f（x）在區(qū)間（x1,x2）上極（小）大值點x0右（左）偏.證明：（1）因為對于可導函數(shù) y = f（x）,在區(qū)間（a,b）上只有一個極大（?。┲迭cx0,則函數(shù)f （x）的單調(diào)

2、遞增（減）區(qū)間為色,比），單調(diào)遞減（增）區(qū) 間為（x°,b）,由于a <x1 <x2 cb，有 x1 < x0,且 2x0 x2 <x0 ,又 f (x1) < f (2x0 x2)，故 x1 <(>)2x0 -x2,來源學&f4 &網(wǎng)Z&X&X&K所以x1 2 x2 （）x0 ,即函數(shù)極（?。┐笾迭c x0右（左）偏;（2）證明略.左快右慢(極值點左偏 u m < x1 + x2 )2x xo左慢右快(極值點右偏 u m >)2二、運用判定定理判定極值點偏移的方法1、方法概述：(1)求出函數(shù)

3、f(x)的極值點%；(2)構(gòu)造一元差函數(shù) F(x) = f (x0 + x) f (x0- x);(3)確定函數(shù)F(x)的單調(diào)性；(4)結(jié)合F(0)=0,判斷F(x)的符號，從而確定 f(x0+x)、 f(x0x)的大小關系.口訣：極值偏離對稱軸，構(gòu)造函數(shù)覓行蹤；四個步驟環(huán)相扣，兩次單調(diào)緊跟隨2、抽化模型答題模板：若已知函數(shù)f(x)滿足f(x1)=f(x2), x0為函數(shù)f(x)的極值點，求證：x1 x2 二 2x0.(1)討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性并求出f (x)的極值點x0 ；假設此處f (x)在(，)上單調(diào)遞減，在(x°,")上單調(diào)遞增.(2)構(gòu)造 F (x) = f

4、 (x0 + x) - f (x0 一 x);注：此處根據(jù)題意需要還可以構(gòu)造成F (x) = f (x) - f (2x0 - x)的形式.(3)通過求導 F'(x)討論F(x)的單調(diào)性，判斷出F(x)在某段區(qū)間上的正負，并得出f (x0 +x)與f (x0 -x)的大小關系；假設此處 F(x)在(0,十比)上單調(diào)遞增，那么我們便可得出F(x) >F(x0) = f (x0) - f (x0) =0,從而得到：x > x0時，f (x0 +x) > f (x0 -x).(4)不妨設 x1 <x0 <x2 ,通過 f (x)的單調(diào)性，f (x1)= f (x

5、2) , f (% +x)與 f (x0 x)的大小關系得出結(jié)論；接上述情況，由于 xx0 時，f (x0 +x) A f (x0 x)且 x1 < 刈 < x2 , f(x1)=f(x2),故 f (x)= f d) = fx0 +(x2 %) A f x0 (x2 %) = f (2x0 x2),又因為 x1 < % ,2X0 X2 < Xo且f (x)在(-°o,Xo)上單調(diào)遞減，從而得到Xi < 2X0 X2 ,從而Xi+X2 c 2x0得 證.(5)若要證明f'(X1+X2)<0 ,還需進一步討論X1+X2與X0的大小 得出X1

6、+ X2所在的2202單調(diào)區(qū)間，從而得出該處函數(shù)導數(shù)值的正負，從而結(jié)論得證此處只需繼續(xù)證明：因為X1+x2 <2X0,故過產(chǎn) <x0,由于f (x)在(*,%)上單調(diào)遞減，故f'(X1 +x2) <0.2'【說明】(1)此類試題由于思路固定，所以通常情況下求導比較復雜，計算時須細心；(2)此類題目若試題難度較低，會分解為三問，前兩問分別求 f(x)的單調(diào)性、極值點，證明f (x0+x)與f (x0 x)(或f(x)與f (2x0 -x)的大小關系；若試題難度較大，則直接給出形如 x1 +x2 <2x0或f'(x1 +x2) <0的結(jié)論，讓你

7、給予證明，此時自己應主動把 2該小問分解為三問逐步解題 .三、對點詳析，利器顯鋒芒已知函數(shù) f (x) -xe"(x R).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極,值；(2)若 X1 # X2 ,且 f (X1) = f (x2),證明：X1 + X2 > 2 .B(x2,a)兩點.44 31函數(shù) f (x) =x -x 與直線 y = a(a a -)交于 A(x1，a)、 33證明：x1 x2 ： 2.2已知函數(shù) f(x)= +ln x ,若Xi#X2,且 f(x1)= f (x2)，證明：x1+x2A4.Xx2已知函數(shù)f(x)=(x-2)e +a(x-1)有兩個零點.設為區(qū)是f (x )的兩個零點，證明:x1 x2 ： 2.四、招式演練 a ，已知函數(shù) g(x) = ex+x2,其中aw R, e= 2.71828|為自然對數(shù)的底數(shù)，f(x)是g(x)的導函數(shù).(I)求f (x )的極值；(n)若 a =-1 ,證明：當 x, #x2,且 f (x1 ) = f (x2 )時，x, +