平面幾何四大定理

1、實用標準文檔平面幾何四個重要定理文案大全四個重要定理梅涅勞斯(Menelaus)定理(梅氏線) ABC的三邊BC CA AB或其延長線上有點P、。R共線的充要條件是 BP CQ AR 1.PC QA RB塞瓦(Ceva)定理(塞瓦點) ABC的三邊 BG CA AB 上有點 P、Q R,則 AP、BQ點的充要條件是PC CARB 10托勒密(Ptolemy)定理四邊形的兩對邊乘積之和等于其對角線乘積的充要條件是 該四邊形內接于一圓。西姆松(Simson)定理(西姆松線)從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是 該點落在三角形的外接圓上。l例題：1. 設人口是 ABC的邊BC上的中線，

2、直線CF交AD于F。求證：AE 2AFOED FBAE DC BF【分析】CEF截 ABID>1 (梅氏定理)ED CB FA【評注】也可以添加輔助線證明：過A、B、D之一作CF的平行線。2. 過 ABC的重心 G的直線分別交 AR AC于E、F,交CB于D=求證：BEEACF . 1 。【分析】連結并延長AG交BC于M,則M為BC的中點。BEAGMDDE郵 ABM>1 （梅氏定理）EAGMDBCFAGMDDGF1 ACM>1 （梅氏定理）FAGMDC.BE CF_GM(DBDC)GM 2MD , =1EA FAAG MD2GM MD【評注】梅氏定理FA3.Dk E、F分別在

3、 ABC的BG CA AB邊上,BD AF CEDC FB EA求 Salmn>,AD BE、CF交成 LMN【評注】梅氏定理4.以4ABC各邊為底邊向外作相似的等腰4BCE CAR ABG 求證：AE、BF、CGffi交于一點?！痉治觥俊驹u注】塞瓦定理5.已知 ABC中，/ B=2/ Co 求證：AC2=AB'+AB BQ【分析】過A作BC的平行線交 ABC的外接圓于D,連結BD貝U CD=DA=AB AC=BD由托勒密定理， AC- BD=AD BC+CD AB=【評注】托勒密定理6.已知正七邊形 Ai A2A3A4A5A6A7 0求證：A1A2A1A3A1A41- ，一，一

4、1。（第21屆全蘇數學競賽）【分析】【評注】托勒密定理AAA57. 4ABC的BC邊上的高AD的延長線交外接圓于，AB于E,延長ED交AC延長線于F。求證：BC- EF=BF- CE+BE- CF?！痉治觥俊驹u注】西姆松定理（西姆松線）8.正六邊形ABCDEF勺對角線AC CE分別被內分點成的比為 AM AC=CN CE=k,且 B、M N共線。求 k。（23-IMO-5 ）【分析】【評注】面積法9.。為 ABC內一點，分別以da、db、dc表示。到BC CAAB的距離，以 R、R、RC表示。到A、B C的距離。實用標準文檔求證：(1) a Ra> b db+c - dc；(2) a -

5、 Ra> c - db+b dc；(3) R a+Rb+Rc>2(da+db+dc)o【分析】【評注】面積法10. ABC中，H、G O分別為垂心、重心、外心。求證：H G。三點共線，且HG=2GO （歐拉線）【分析】【評注】同一法11. ABC中，AB=AC AD）± BC于 D, BM BN三等分/ ABC 與AD相交于 M N,延長 Cg AB于E。求證：MB/NE?！痉治觥俊驹u注】對稱變換12. G是4ABC的重心，以 AG為弦作圓切 BG于G,延長CG交圓于 D 求證：aG=GC- GD【分析】BC文案大全實用標準文檔文案大全B'求證：PA+PB+P&#

6、169; OA+OB+OC（。為費馬點）C'【評注】旋轉變換費馬點：已知。是 ABC內一點，/ AOBW BOCh COA=120 ; P是 ABC內任一點,【分析】將 C R(B, 600)C', O R(B, 600) O', P R(B, 600) P,連結 OO'、PP'。則 B OO'、 B PP'都是正三角形。OO'=OB PP' =PB。顯然 BO'C' BOC BP'C' BPC由于 / BO'C'= /BOC=120 =180° -/BO'

7、O, .A、O O'、C'四點共線。 . AP+PP'+P'C' > AC'=AO+OO'+O'C',即 PA+PB+PC OA+OB+OC14. （95全國競賽）菱形ABCD勺內切圓O與各邊 分別交于E、F、G H,在弧EF和弧GH上分別作 。的切線交 AR BG CD DA分別于 M N P、Q求證：MQ/NP?！痉治觥坑?AB/ CD知：要證 MQ NP,只需證/AMQ= CPN結合/ A=/C知，只需證 AM。 CPNAM CP ,AM- CN=AQ CR AQ CN連結AC BD,其交點為內切圓心設MNWO

8、。切于K,連結OE OMOOKON OR t己/ ABO=）, / MOK = , / KON=/ EOM= , / FON書,/ EOF=2% +2 3 =180° -2（）。/ BON=90 - / NOF-Z COF=90 - 3 -（）= a / CNOW NBO廿 NOB=）+ a = / AOE廿 MOE= AOM又/ OCNW MAO 1 OCN° MAO 于曰AMZE COAO ,CN，AM- CN=AO CO同理，AQ- CP=AO CO【評注】15. （96全國競賽）。和。Q與A ABC的三邊所在直線 都相切，E、F、G H為切點，EG FH的延長線交于

9、 P。 求證：PAI BC=C FE B【分析】【評注】16. (99全國競賽)如圖，在四邊形 ABCM,對角線AC平 分/ BAD)在CD上取一點 E, BE與AC相交于F,延長DF 交BC于G求證：/ GAC4 EAC證明：連結 BD交AC于H。對 BCD用塞瓦定理，可得CG BH DE . 1GB HD EC因為AH是/ BAD的角平分線，由角平分線定理，可得BH而AB j CG AB DE 一，故AD GB AD EC過C作AB的平行線交 AG的延長線于1。I ,過C作AD的平行線交AE的延長線于J。CG CI DE AD則,GB AB EC CJCI AB AD .，一所以1 從而c

10、i=cjoAB AD CJ又因為 CI/AB , CJ/AD ,故/ ACI=tt - / BAC=t - / DACW ACJ= 因此， ACIZACJ,從而/ IAC=/JAC,即/ GACh EAG已知 AB=AD BC=DC AC與 BD交于 O, 過O的任意兩條直線 EF和GH與四邊形 ABCM四邊交于 E、F、G H。連結 GF EH,分別交BD于M N。求證：OM=ON (5 屆CMO證明：# EOH S(AC) E'OH',則只需證E'、M H'共線，即E'H'、BO GF三線共點。E'G BH' FK 記/ BO

11、Gw , / GOE'=3 。連結 E'F 交 BO于 K。只需證=1（Ceva 逆GB H'F KE'定理）。E'G BH' FK S OE'G GB H'F KE '_ S ogbS obh' S ofk OE'sin OB sinS OH'F S OKE' OBsin OFsinOFOE'=1注：箏形：一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形。對應于99聯(lián)賽2: /E'OB=/FOB且E'H'、GF BO三線共點。 求證：/ GOBW H'OBo事

12、實上，上述條件是充要條件，且M在OB延長線上時結論仍然成立。證明方法為：同一法。蝴蝶定理：P是。的弦AB的中點，過 P點引。的兩弦CDEF,連結 DE交AB于M,連結 CF交AB于N。求證：MP=NP【分析】設 GH1過P的直徑，F S(GH) F'F ,顯然COO。又PC GHPF'=PF。 PF S(GH) PF' , PA S(GH)PB,Z FPN=/ F'PM, PF=PF'。又 FFUGH AN! GH . . FF' /AR/ F'PM+Z MDF'=Z FPN-+Z EDF'=Z EFF'+ ZEDF'=1