中山大學(xué)信息光學(xué)習(xí)題課后答案__習(xí)題234章作業(yè)

1、習(xí)題 22.1 把下列函數(shù)表示成指數(shù)傅里葉級數(shù)，并畫出頻譜。0COf (x) - 7 rect(x_2n)(2)g(x) - 、 tri(x_2n)n：n wj2.2 證明下列傅里葉變換關(guān)系式：(1)Frect( x)rect( y) = sinc( )sinc( ); (2)F_；(x)上(y)二sinc2( )sinc2(); y1(3)F1=W4)；(4)Fsgn(x)sgn(y)Fsgn(x)sgn(y) = = = =|.二;云人i i n ny y(5)Fn、(sinnx); (6)F :eJ(x y)/a1。2.3求x和xf (2 x)的傅里葉變換。2.4求下列函數(shù)的傅里葉逆變換

2、，畫出函數(shù)及其逆變換式的圖形。H( )= tri( 1) t r i( G( )= r e ct ( / 3) rec2.5 證明下列傅里葉變換定理：(1) 在所在f(x, y)連續(xù)的點(diǎn)上FF f (x,y)二Ff (x,y)二f (-x,-y);(2)Ff(x,y)h(x,y) =Ff(x,y)* F(g(x, y)。2.6 證明下列傅里葉-貝塞爾變換關(guān)系式：(1) 若fr(r)二、(r -r。)，則Bfr(r) =2nJ(2n。)；(2) 若ir 1時(shí)f,r) =1，而在其他地方為零，貝UB fr(r)二J2n)_aj1(2啟：)；(3) 若B fr(r) =F( )，則Bfr(r)g 二

3、;ala丿 BeBe - -n2n2 二e e川2.7 設(shè)g(r,C在極坐標(biāo)中可分離變量。證明若f(rj)二fr(r)ei，則：Ff(r,R =(-i)meimHm fr(r)其中Hm為m階漢克爾變換：Hm fr(r) =2 rfr(r)Jm(2n)dr。而()空間頻率中的極坐 標(biāo)。(提示：e eiasinx八kk(a)e(a)eikx)word 可編輯.word 可編輯.(1)sinc(x)*sinc( x)(2)Fsinc( x)sinc(2x)用寬度為a的狹縫，對平面上強(qiáng)度分布f (x) = 2 cos(2n0 x)掃描，在狹縫后用光電探測器記錄。求輸出強(qiáng)度分布。計(jì)算下面函數(shù)的相關(guān)。應(yīng)用

4、傅里葉定理求下面積分。求函數(shù)f (x)二rect(x)和f (x)二tri( x)的一階和二階導(dǎo)數(shù)。試求下圖所示函數(shù)的一維自相關(guān)。試計(jì)算函數(shù)f (x) = rect( x -3)的一階矩。證明實(shí)函數(shù)f (x, y)的自相關(guān)是實(shí)的偶函數(shù)，即：Rff(x, y)二Rff(-x,-y)。求下列廣義函數(shù)的傅里葉變換。(1)step(x)(2)sgn(x)(3)sin(2n0 x)求下列函數(shù)的傅里葉逆變換，并畫出函數(shù)及其逆變換式的圖形。(1)H (x)二tri( x 1)-tri( x T)(2)G(x)二rect(x/3)-rect(x)表達(dá)式計(jì)算下列各式的一維卷積。(1)rect寧5(2x -3)i

5、x 十3 (2)rect -1 2丿xrect*comb( x)(4)sin1I 2丿12丿試用卷積定理計(jì)算下列各式。*、(x-4)*、(x-1)rect( x)2.82.92.102.112.122.132.142.152.162.172.182.192.20利用梳狀函數(shù)與矩形函數(shù)的卷積表示光柵的透過率。假定縫寬為a,光柵常數(shù)為d d，縫數(shù)為N N。(1)rect口 rect口I 2丿 tritri 2x-2x-1 1tritri 2x-2x-1 1O02(1)e cos(2nax)dx旳2(2)sinc (x)sin(nx)dx1112355word 可編輯.3.5U Uo(x,(x, y

6、)y)定義:-xyZ Z Z Z |Jj|JjU U0()sinc(n-2Bsinc(n-2BX X)si)si門。(口一2 2呼)4 4冷口冠n nm mx_x_- ,y-,y-2BX2BY1 1f f(0,0)(0,0). .： ：QOf f f f f f (x,(x, y)dxdyy)dxdy, 也=Q0定義了一個(gè)周期函數(shù)，它在x方向上的周期為X X，它在y y方向上的周期為Y Y。證明p p的傅里葉變換可以寫為:其中G G是g g的傅里葉變換。習(xí)題33.1 設(shè)在一線性系統(tǒng)上加一個(gè)正弦輸入：g(x,y)二cos2nx y)，在什么充分條件下，輸出是一個(gè)空間頻率與輸入相同的實(shí)數(shù)值正弦函數(shù)

7、？用系統(tǒng)適當(dāng)?shù)奶卣鞅硎境鲚敵龅恼穹拖辔弧?.2 證明零階貝塞爾函數(shù)2J(2nr)是任何具有圓對稱脈沖響應(yīng)的線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)。對應(yīng)的本征值是什么？3.3 傅里葉系統(tǒng)算符可以看成是函數(shù)到其他變換式的變換，因此它滿足本章把提出的關(guān)系系統(tǒng)的定義。試問：(a) 這個(gè)系統(tǒng)是線性的嗎？(b) 你是否具體給出一個(gè)表征這個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)？如果能夠，它是什么？如果不能，為什么不能？3.4 某一成像系統(tǒng)的輸入是復(fù)數(shù)值的物場分布U(x,y),其空間頻率含量是無限的，而系統(tǒng)的輸出是像場分布Ui(x,y)。可以假定成像系統(tǒng)是一個(gè)線性的空間不變換低通濾波器，其傳遞函數(shù)在頻域上的區(qū)間DBx,|乞By之外恒等于零。證明

8、，存在一個(gè)由點(diǎn)源的方形陣列所構(gòu)成的它與真實(shí)物體U。產(chǎn)生完全一樣的像Ui，并且等產(chǎn)供效物體的場分布可寫成:p(x,p(x, y)y)二g(x,g(x,y)*y)*comcom訐J n叮丿I I X X丫丿八，G G 3 3n -_： ：m -_： ：X丫(b)(x g(x, y) = rect 12 rectJX丿2時(shí)，畫出函數(shù)I丫丿p(x,y)的圖形，并求出對應(yīng)的傅里葉變換“等效”物體Uo(x,y),分別為原函數(shù)f(x,y)及其頻譜函數(shù)F( 1 )的“等效面積”和“等效帶寬”，試證明:word 可編輯.匚xyL *1上式表明函數(shù)的“等效面積”和“等效帶寬”成反比，稱為傅里葉變換反比定理，亦稱面

9、積計(jì)算定理。3.6 已知線性不變系統(tǒng)的輸入為：f (x) =comb(x)。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為rect( /b)。當(dāng)b b=1和b =3 3時(shí),求系統(tǒng)的輸出g(x)，并畫出函數(shù)及其頻譜。3.7 對一個(gè)線性不變系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)為：h(x) =7s in c(7 x)用頻率域方法對下列的每一個(gè)輸入fi(x)，求其輸出gi(x)(必要時(shí)，可取合理近似)：(1)f1(x) =cos4n(2)f2(x)二cos(4 n)rect( x/75)f3(x)二1 cos(8 n)rect( x/75)g(x)comb(x/3)rect(x/100) *rect( x)_3若系統(tǒng)脈沖響應(yīng)：h( x)二rect( x

10、-1)。求系統(tǒng)的輸出，并繪出傳遞函數(shù)、脈沖響應(yīng)、輸出及其頻譜的圖形。f4(x)二comb(x)*rect(2 x)3.8給定正實(shí)常數(shù)0和實(shí)常數(shù)a和b b，求證:(1)若|b|，則sinc(x/b)*cos(22-0|b |n0 x)二cos(2n0 x)3.9若|b|，則 sinc(x/b)*cos(22-0|b |n0 x)二0若|b|：|a|，則sinc(x/b)*sinc( x/a) =|b|sinc(x/a)(4)若|b|：回，則sinc(x/b)*sinc2若限帶函數(shù)f (x)的傅里葉變換在帶寬2(x/a) T b |sinc2(x/a)w之外恒為零,(1)如果|a卜:丄，證明:w丄

11、si n(x( a/ ) *x(f)x () |a|如果|a |丄，上面的等式還成立嗎?w3.10 給定一個(gè)線性系統(tǒng)，輸入為有限延伸的矩形波:分別為原函數(shù)f(x,y)及其頻譜函數(shù)F( 1 )的“等效面積”和“等效帶寬”，試證明:word 可編輯.3.11 給定一線性不變系統(tǒng)，輸入函數(shù)為有限延伸的三角波word 可編輯.g(x)二1 comb( x / 2)rect( x / 50) * tri( x)對下列傳遞函數(shù)利用圖解方法確定系統(tǒng)的輸出：(1)H()二rect( /2)(2)H ()二rect( /4) - rect( / 2)3.12 若對函數(shù)：2h(x)二asinc (ax)抽樣，求允

12、許的最大抽樣間隔。3.13 證明在頻率平面上一個(gè)半徑為B B的圓之外沒有非零的頻譜分量的函數(shù)，遵從下述抽樣定理：g(x,y)=g(x,y)=丄匸n2 2Ji2般(/曲凡云/曲)2 n nssss J2BJ2B 2B2B丿4 42 2 nBnB譏x_n/2B)x_n/2B)2 2+(y_m/2B)+(y_m/2B)2j j習(xí)題44.14.1 尺寸為 a a b b 的不透明矩形屏被單位振幅的單色平面波垂直照明，求出緊靠零后的平面上 透射光場的角譜。4.24.2 采用單位振幅的單色平面波垂直照明具有下述透過率函數(shù)的孔徑，求菲涅耳衍射圖樣在 孔徑軸上的強(qiáng)度分布：(1)(1) t(xt(xg,y,yo

13、) ) = =circ(circ(T Tx xFFy yi) )tgy。1,蘭110,其匕4.34.3 余弦型振幅光柵的復(fù)振幅透過率為：t(x0) = a bcos(2二x0/d)式中，d d 為光柵的周期，a a b b 0 0。觀察平面與光柵相距z。當(dāng)z分別取下述值時(shí)，確定 單色平面波垂直照明光柵，在觀察平面上產(chǎn)生的強(qiáng)度分布。4.44.4 參看下圖，用向 P P 點(diǎn)會(huì)聚的單色球面波照明孔徑1oP P 點(diǎn)位于孔徑后面距離為z的觀察平面上，坐標(biāo)為(0, b)。假定觀察平面相對孔徑的位置是在菲涅耳區(qū)內(nèi)，證明觀察平面上強(qiáng)度分布是以 P P 點(diǎn)為中心的孔徑的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣。(1)(1)2d2(3)

14、(3)z二zrd242word 可編輯.4.54.5 方向余弦為cos,cos,振幅為 A A 的傾斜單色平面波照明一個(gè)半徑為a的圓孔。觀察平面 位于夫瑯禾費(fèi)區(qū)，也孔徑相距為z。求衍射圖樣的強(qiáng)度分布。4.64.6 環(huán)形孔徑的外徑為 2a2a，內(nèi)徑為 2 2；a a(0： ； ：1)。其透射率可以表示為：1,1, wawa 蘭 r r0蘭 a a血)=o,o,其他用單位振幅的單色平面波垂直照明孔徑，求距離為z的觀察屏上夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的強(qiáng)度分布。4.74.7 下圖所示孔徑由兩個(gè)相同的圓孔構(gòu)成。它們的半徑都為a，中心距離為 d d (d(d a)。采用單位振幅的單色平面波垂直照明孔徑，求出相距孔徑

15、為z的觀察平面上夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的強(qiáng)度分布并畫出沿 y y 方向截面圖。4.84.8 參看下圖，邊長為 2a2a 的正方形孔徑內(nèi)再放置一個(gè)邊長為a的正方形掩模，其中心落在(,)點(diǎn)。采用單位振幅的單色平面波垂直照射，求出與它相距為z的觀察平面上夫瑯禾費(fèi)射圖樣的光場分布。畫出x、y0時(shí)，孔徑頻譜在x方向上的截面圖。4.94.9 下圖所示孔徑由兩個(gè)相同的矩孔構(gòu)成，它們的寬度為a，長度為 b b，中心相距 d d。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求相距為z的觀察平面上夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的強(qiáng)度分布。假定 b b = =4a4a 及 d d -1.5a-1.5a，畫出沿x和 y y 方向上強(qiáng)度分布的截面圖

16、。4.104.10 下圖所示半無窮不透明屏的復(fù)振幅透過率可以用階躍函數(shù)表示，即：t(Xo) =step(x)采用單位振幅的單色平面波垂直照明衍射屏，求相距為z的觀察平面上夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的復(fù)振幅分布。畫出沿X方向的振幅分布曲線。4.114.11 下圖所示為寬度為a的單狹縫，它的兩半部分之間通過相位介質(zhì)引入位相差n。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求相距為z的觀察平面上夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣強(qiáng)度分布。畫出沿X方向的截面圖。4.124.12 線光柵的縫寬為a，光柵常數(shù)為 d d，光柵整體孔徑是邊長 L L 的正方形。試對下述條件， 分別確定a和 d d 之間的關(guān)系：(1)(1) 光柵的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣中缺少偶數(shù)級。(2)(2) 光柵的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣中第三級為極小。4.134.13 衍射屏由兩個(gè)錯(cuò)開的網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成，其透過率可以表示為：word 可編輯.word 可編輯.t()o,y)= co m bo( a/ )coynb4b / ) comba a 0. 10“)bcomb( / )采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求相距為z的觀察平面上夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的強(qiáng) 度分布。畫出沿x方向的截面圖。4.144.14 如下圖所示為透射式鋸齒形位相光柵。其折射率為n，齒寬為a，齒形角為：，光柵的整體孔徑為邊長為 L L 的正方形。采用單位振幅