2007年高考.全國Ⅰ卷.文科數(shù)學(xué)試題及解答

1、2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(全國I卷)本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分。第I卷1至2頁。第n卷3至4頁。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷注意事項(xiàng)：1 .答題前，考生在答題卡上務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，并貼好條形碼.請認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓號(hào)和科目。2 .每小題選出答案后，用 2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡 皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，在試題卷上作答無效。3 .本卷共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合 題目要求的.參考公式：球的表面

2、積公式S=4tt R2其中R表示球的半徑 球的體積公式如果事件A B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A B相互獨(dú)立，那么P(A- B) =P(A) RB)如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P,那么V=- % R33n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率R(k尸 C Pk(1-P)n-k(k=0,1,2,，n)一、選擇題(1)設(shè) S= 2x +1 >0 , T= X 3x -5 <0 ,貝U SA T=(A) ? (B):xx <-1 ； (C)】xx >-5 ;(D)(2) a是第四象限角，COS a12=，則 Sin a =13(A)-(B)-(

3、C)-(D)-131312512已知向量a= (-5, 6), b= (6, 5),則a與b(A)垂直(B)不垂直也不平行(C)平行且同向(D)平行且反向(4)已知雙曲線的離心率為2,焦點(diǎn)是(-4, 0), (4, 0),則雙曲線方程為(A)(C)22±-L=141222 -上=1106(B)(C)2x122x62上=142=110(5)甲、乙、丙3位同學(xué)選修課程，從 4門課程中，甲選修 2門，乙、丙各選修 3門，則不同的選修 方案共有(A) 36 種 (B) 48 種 (C) 96 種 (D) 192 種，、一'x + y -1 <0 ，(6)下面給出的四個(gè)點(diǎn)中，位于

4、 y表木的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是()、x - y + 1 > 0(A) (0,2)(B)(-2,0)(C)(0,-2)(D)(2,0)如圖，正四棱柱ABCD-AiBiCiDi中，AA二2AB,則異面直線 AiB與AD i所成角的余弦值為(A)(B) (C) (D)一5555(8)設(shè)a>1,函數(shù)f(x)=log,x在區(qū)間a,2a上的最大值與最小值1之差為，則2=2(A) 72(B) 2(C) 2衣 (D) 4(9) f(x) , g(x)是定義在R上的函數(shù),h(x)=f(x)+g(x),則“f(x),g(x)均為偶函數(shù)”,是“h(x)為偶數(shù)”的(A)充分條件(B)充分而不必要的條件(C)必

5、要而不充分的條件(D)既不充分也不必要的條件(10)函數(shù)y=2cos2x的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是/«、, 冗冗、，、， 冗、/八、,冗3冗、(A) ( , )(B) (0, )(C)(,)兀(D) (J,/)2 1 3 ，一(11)曲線y= -x+x在點(diǎn)(1,33)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為12(A)7(B) 7(C)99(12)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為(D)1,經(jīng)過F且斜率為J3的直線與拋物線在x軸上方的部分相交4 424 4于點(diǎn)A, AKL1,滿足為K,則4AKF的面積是(A) 4(B) 3d3(C) 4 33(D)82007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)注意

6、事項(xiàng)：1 .答題前，考生先在答題卡上用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，然后貼好條形碼。請認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。2 .第n卷共2頁，請用直徑5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作 答無效。3 .本卷共10題，共90分二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在橫線上.(13)從某自動(dòng)包裝機(jī)包裝的食鹽中，隨機(jī)抽取 20袋，測得各袋的質(zhì)量分別為(單位：g):492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499根據(jù)頻率分布估計(jì)總體分布的原理，該自動(dòng)

7、包裝機(jī)包裝的袋裝食鹽質(zhì)量在497.5501.5之間的概率約為(14)函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=log3x(x>0)的圖像關(guān)于直線 y=x對稱，則f(x)=(15)正四棱錐S-ABCD的底面邊長和各測棱長都為/2,點(diǎn)S、A、B、C、D都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為(16)等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn,已知S,2S2,3S3成等差數(shù)列，則 %的公比.、解答題：本大題共 6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟(17)(本小題滿分10分)設(shè)銳角三角形 ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=2bsinA (n )求B的大小；(出)若 a=3 V3 ,c=5,

8、求 b.(18)(本小題滿分12分)某商場經(jīng)銷某商品，顧客可采用一次性付款或分期付款購買.根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用一次性付款的概率是0.6.經(jīng)銷一件該商品，若顧客采用一次性付款，商場獲得利潤200元;若顧客采用分期付款，商場獲得利潤250元.(I )求3位購買該商品的顧客中至少有1位采用一次性付款的概率；(n )求3位顧客每人購買1件該商品，商場獲得利潤不超過650元的概率.(19)(本小題滿分12分)四棱錐S ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC,底面ABCD.已知/ ABC = 45° , AB = 2,BC=2 72 ,SA= SB= 33 .(I)證明：SAXB

9、C;(n)求直線SD與平面SAB所成角的大小.(20)(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2時(shí)取得極值(I )求a、b的值；(n)若對于任意的x w03 ,都有f(x)vc2成立，求c的取值范圍.(21)(本小題滿分12分)設(shè)an是等差數(shù)列，加是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且 a = b1=1,a3+b5=21,a5+ b3=13.(I )an, bn的通項(xiàng)公式;r 、an，.一(n)求數(shù)列J 的刖n項(xiàng)和Sn.bn ,2 2(22)(本小題滿分12分)已知橢圓 上+匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2,過Fi的直線交橢圓于B、 32D兩點(diǎn)，過F2的直線交

10、橢圓于 A、C兩點(diǎn)，且ACXBD,垂足為P. 22(I )設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(X0, Yo),證明：包+也1 ;3 2(II )求四過形ABCD的面積的最小值.2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)試題(必修+選修 1)參考答案一、選擇題1 . D2. B3. A4. A 5. C 6. C 7. D 8. D 9. B10. D11. A12. C二、填空題x4 冗 一 113. 0,2514. 3 (xw R)15. 一 16.33三、解答題17.解：1(I)由 a =2bsin A ,根據(jù)正弦定理得 sin A = 2sin Bsin A ,所以 sin B =，2由 ABC為銳角三

11、角形得 B =-.6(n)根據(jù)余弦定理，得 b2 =a2+c2 2accosB =27 + 2545 = 7.所以，b =近.18.解：(I)記A表示事件：“3位顧客中至少1位采用一次性付款”，則公表示事件：“3位顧客中無人采用 一次性付款”.2P(A) =(1 -0.6) =0.064,P(A) =1 -P(A) =1 -0,064 =0,936 .(n)記B表示事件：“3位顧客每人購買1件該商品，商場獲得利潤不超過650元”.B。表示事件：“購買該商品的3位顧客中無人采用分期付款”.B1表示事件：“購買該商品的3位顧客中恰有1位采用分期付款”.則 B = B。+ B1 ._ _3_ _ 1

12、2P(B0)=0.6 =0.216, P(B1)=C3M0,6 父0,4 =0.432.P(B) =P(B° B1)= P(B0) P(B1) = 0.216 0.432= 0.648.19 .解法一：(1)作SOX BC ,垂足為O,連結(jié)AO,由側(cè)面SBC，底面ABCD,得SO,底面ABCD.因?yàn)镾A = SB,所以AO =BO ,又/ ABC =45:故 AOB為等腰直角三角形， AO ± BO , 由三垂線定理，得 SAX BC .(n )由(i)知 SAX BC ,依題設(shè)AD / BC ,故 SAL AD,由 AD =BC =2 量,SA=V3,SD=，AD2 +S

13、A2 =而.又 AO =ABsin45； = *.2一，作為E ,則DE，平面SBC,連結(jié)SE.ED AO .2sin / ESD = = =：DE ± BC ,垂足/ESD為直線SD與平面SBC所成的角.22所以，直線SD與平面SBC所成的角為arc*.11SD SD 、,11COBCB >xOA與SD的夾角記為m , SD與平面ABC所成的角記為與P互余. ，OalSd<22.: .22cosa = I： , =, sin P =,P ,因?yàn)镺A為平面SBC的法向量，所以。OALSD1111解法二：(I)作SOX BC ,垂足為O ,連結(jié)AO ,由側(cè)面SBC,底面AB

14、CD ,得SOX平面ABCD . 因?yàn)镾A = SB,所以AO =BO .又/ ABC =45, AOB為等腰直角三角形， AO ± OB .如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸正向，建立直角坐標(biāo)系 O-xyz,因?yàn)?AO = BO = AB = 2SO='SB2 - BO2 =1,又BC =2反所以A(夜,0,0),B(0,衣0)(0,-60) .普01) , SA = (72,0口)，CB =(02礴,里ICBpH以 S=SA AD = SACB =(技20,1),22所以，直線SD與平面SBC所成的角為arcsin，2.1120 .解：(I) f '(x) =6x2

15、 +6ax +3b ,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=1及x=2取得極值，則有 (1) = 0, f'(2)=0.6 6a 3b =0, a24 12a 3b =0.解得 a = -3, b = 4 .(n)由(i)可知， f (x) =2x3 -9x2 +12x+8c ,一 .2f (x)=6x 18x+12 =6(x1)(x2).當(dāng) xw(01)時(shí)，f (x) A0；當(dāng) xw(1,2)時(shí),f (x)<0；當(dāng) xw(2,3)時(shí)，f (x) >0 .所以，當(dāng) x=1 時(shí)，f(x)取得極大值 f = 5+8c,又 f(0) =8c, f(3)=9+8c.則當(dāng)xe|0,3時(shí),f(x)的最

16、大值為f(3)=9+8c.因?yàn)閷τ谌我獾膞w0,3】，有f(x)<c2恒成立，所以9+8c <c2,解得c < 一1或c > 9,因此c的取值范圍為(_oo,_1)U(9,+ g).21 .解：(i)設(shè)4的公差為d , 0的公比為q,則依題意有1 2d qq >0且= 13,1 4d q解得 d =2, q =2.所以 an =1 +(n -1)d =2n -1, n 1 n jbn =q =2(H)an2n -1bnSn =1212n1 5 2n-3 2n-1_2n _2nJ '22226=2十3+|+川+羿+第322221得 Sn =2+2+_+r+|I|+f_f-,2 222111=2 21 1"1=2 2 5_2二112n122n -12n會(huì)2n 3=Qr-22.證明(i)橢圓的半焦距 由AC，BD知點(diǎn) 故 X2 yo =1,2 2所以，x0 .弛w3 2c = V3 -2 =1 ,P在以線段F1F2為直徑的圓上,22 d也+近J<1.222yhDpxBC(n) (i)當(dāng)BD的斜率k存在且k#0時(shí)，BD的方程為y = k(x + 1),代入橢圓方程并化簡得(3k2+2)x2+6k2x+3k2 6=0.設(shè) B(Xi, y1), D(x2, 丫2),則6k23k2 -6X1 X2 = - 2? X1X2 = 2?