5計數(shù)原理中等難度講義

1、計數(shù)原理解讀1、基本計數(shù)原理（1）加法原理m種不同的方法，分類計數(shù)原理：做件事，完成它有類辦法，在第類辦法中有種不同 的方法.那么完成這件事共類辦法中有，在第種方法，在第二類辦法中有u有種不同的方法.又稱加法原理. （2）乘法原理ni種不同的個步驟，做第個步驟有分步計數(shù)原理：做件事，完成它需要分成n：mm種不同 的方法.那么完成這，做第方法，做第二個步驟有個步驟有種不同方法，3件事共有 種不同的方法.又稱乘法原理. （3）加法原理與乘法原理的綜合運用如果完成件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分類計數(shù)原 理.如果完成件事的各個步驟是相互聯(lián)系的，即各個步驟都必須完成，這

2、件事才告完成，那么 計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分步計數(shù)原理.分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理是推導排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎，也是求解排列、組合問題 的基本思想方法，這兩個原理十分重要必須認真學好，并正確地靈活加以應用.探究今天我們先來研究解決計數(shù)問題的兩種最基本、最重要的方法：首先，我們大家一起來研究以下兩個問題問題1：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車.一天中，火車有3班，汽 車有2班.那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走 法？進一步思考以下幾個問題：問題剖析問題1要完成什么事 完成這個事情有兒類方 每類方案能否獨立完成這件事每類方案中分別有幾種不同的方完成這件事

3、情共有多少種不同的方法m 類方案中有1分類加法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不 同的方案，在笫n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m十種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法。問題2：從甲地到乙地，要從甲地先乘火車到丙地，再于次日從內(nèi)地乘汽車到乙 地。一天中，火車有3班，汽車有2班，那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種 不同的走法？學生口答，進步思考以下幾個問題:問題剖析問題2我們要做的一件事情是什么完成這個事情需要分幾步每步中的任一方法能否獨立完成這件事情每步方法中分別有幾種不同的方法完成這件事情共有多少種不同的方法m種不同的方步有1完成一件事需要兩個步驟，做笫：分步乘法計數(shù)原理nnm?N?

4、種不同的方法，做第2步有那么完成這件事共有種不同的方法.*法 類的情形）（引導學生得出推廣到三類甚至n種不同種不同的方法，做第步有 2步有完成一件事需要三個步驟，做第Immnm種不同的方法，的方法，做第3 步有那么完成這件事共有多少種不同的方法？ 3步有種不同的方法，完成一件事 情，需要分成n個步驟，做第1步有做第2mlMm有成.的方法那么完這件事共 同種步第 方同種不的法做n有不nin?mN?m?.種不同的方法派理解分步乘法計數(shù)原理：分步計數(shù)原理針對的是“分步”問題， 完成一件事要分為若干步，各個步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成 該件事，只有當各個步驟都完成后，才算完成這件事.總結

5、歸納兩個原理的區(qū)別和聯(lián)系分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理聯(lián)系區(qū)別小結：遇到計數(shù)問題首先考慮什么？兩個原理的區(qū)別和聯(lián)系教師總結：本節(jié)課主要介紹了兩個基本原理，解題時應緊扣原理，弄清事情完成的前后經(jīng)過，分清是分類還是分步，或分類中含分步、分步中含分類，無論是分類、分步，關鍵是做到不重不 漏。歸納總結1、基本計數(shù)原理（1）加法原理m種不同的方法，類辦法，在第類辦法中有分類計數(shù)原理：做件事，完成它有n：mm種不同 的方法.那么完成這件事類辦法中有種方法，在第在第二類辦法中有皿N?m?ni?m種不 同的方法.又稱加法原理.共有心）乘法原理（2 m種不同的分步計數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成個子步驟，做

6、第個步驟有mmm種不同的方法.那么完成方法，做第二個 步驟有個步驟有種不同方法，做第1Mm?mNo?in種不同的方法.又稱乘法原理.這件事 共有0（3）加法原理與乘法原理的綜合運用 如果完成件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分類計數(shù)原 理.如果完成件事的各個步驟是相互聯(lián)系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么 計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分步計數(shù)原理.分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理是推導排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎，也是求解排列、組合問題 的基本思想方法，這兩個原理十分重要必須認真學好，并正確地靈活加以應用.典例精講一.選擇題（共13小題）1.（2018春?湖

7、州期末）某班六位學生參演一個文藝節(jié)目，分別飾演其中的6個 不同角色，其中1號角色只能由小丁或小軍出演，6號角色不能由小丁出演，則 不同的角色分配方案有（）A. 192 種 B. 288 種 C. 240 種 D. 216 種所不同的高校來我校作招生宣傳，學校要求全國期末）本周日有52. （2017秋? 所去咨詢了解，甲、乙、丙三位同學的選擇2每位同學可以從中任選1所或）沒 有一所是相同的，則不同的選法共有（BA. 330種.420種C.510種D.600種化學、萍鄉(xiāng)期末）春?在某省改革方案中，要求每位高中生必須在物理、（3.2018 門參加等級考3門理科，生物、政治、歷史、地理6門（33門文科

8、）中選擇門 理科，那么小丁同學的選科試.小丁同學理科成績較好，決定至少選擇2） 方 案有（B. 9 種 A. 8 種 C. 10 種 D. 11 種，每（. 2017?秋昌平區(qū)期末）四個足球隊進行單循環(huán)比賽（每兩隊比賽一場）4 分.比賽結束后發(fā)現(xiàn)沒有分，負者得場比賽勝者得301分，平局雙方各得足球隊 全勝，且四隊得分各不相同，則所有比賽中可能出現(xiàn)的最少平局場數(shù)）是（B. AO. 1C. 2D. 35.（2018春?瓊海校級期末）現(xiàn)有4種不同的顏色為公民基本道德規(guī)范四個主題 詞（如圖）涂色，要求相鄰的詞語涂色不同，則不同的涂法種數(shù)為（）144. C108DA. 27B. 54ABC與三棱柱P-A

9、BC6. （2018?南開區(qū)一模）如圖所示的幾何體是由一個三棱錐 CB種不同顏色對這個幾何體的表面涂色（底面ABC組合而成，現(xiàn)用3 - Amm）, 要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有（不涂色）種.36. 12 種 DBA. 6 種.9 種 C表示，表示一個兩位數(shù)，十位數(shù)和個位數(shù)分別用a, b7.（2017?百色模擬） 的兩位）=X ） =1+2+31X2=9,則滿足 f （ + ）記£ （ =a+b3ab,如 f）數(shù)的個數(shù)為（7D. A. 15. B13C9每人給另外兩人”三個人之間寫信，為“三角戀寫法?2017. 8 （春南昌期末）定 義“，若五個人" ab, d

10、, c之一寫一封信，且任意兩個人不會彼此給對方寫 信三角戀寫中的每個人都恰給其余四人中的某一個人寫了一封信，則不出現(xiàn)e“）”法寫法的寫信情況的種數(shù)為（1014D. C. B704. A8641004.9.（2017?衡陽三模）為防止部分學生考試時用搜題軟件作弊，命題組指派5名 教師對數(shù)學卷的選擇題、填空題和解答題這3種題型進行改編，則每種題型至少 指派一名教師的不同分派方法種數(shù)為（）A. 150B. 180C. 200D. 280條軌道上，若10. （2017春?辛集市校級月考）有5列火車停在某車站并行的5 列火車的停車方51B不能停在笫道上，則快車A不能停在第3道上，貨車）法共有（B. 72

11、 種 C. 120 種 D. A. 78 種 96 種四科D,名分別參加（2017?平羅縣校級一模）從5名學生中選出4A, BC, 11.） 競賽，其中甲不能參加A, B兩科競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為（B. 48C. 72D. 24A 120盆、5春.（2017?沙坪壩區(qū)校級期中）有盆互不相同的玫瑰花，2其中黃玫瑰12 盆白玫瑰不能相鄰，盆，1現(xiàn)把它們擺放成一排，2要求紅玫瑰白玫瑰2盆、）5 則這盆玫瑰花的不同擺放種數(shù)是（BA. 72C. 12120D. 363廈門校級期中）老師有同樣的作文練習？春（13. 20162本，同樣的英語練習） 每位學生4本送給4本，從中取出位學生，1 （則不同的

12、送法共有 本，B. 10 種.A4 種 C. 18 種 D. 20 種二.填空題（共5小題）14.（2018春?無錫期末）有甲、乙、丙三項不同任務，甲需由2人承擔，乙、 丙各需由1人承擔，從5人中選派4人承擔這三項任務，不同的選法共有 種（用數(shù)字作答）.15.（2018春?重慶期末）在重慶東北部有五個區(qū)縣如圖，請你用4種不同的顏 色為每個區(qū)縣涂色，要求相鄰區(qū)縣不同色，共有 種不同的涂法（川具體數(shù)字作答）每所學校為學生體檢，名護士被分配到名醫(yī)生和93 （16. 2018春?湖南期末）3種. 名護士，不同的分配方法共有所學校分配1名醫(yī)生和3 6cB的A42018 （春?泰州期末）如圖，用種不同的顏

13、色給三棱柱ABC - . 17m個 頂點涂色，要求每個點涂一種顏色，且每條棱的兩個端點涂不同的顏色，種.則 不同的作色方法共有 18. （2018春?江陰市校級期中）馬路上有10盞燈，為了節(jié)約用電，可以熄滅其 中3盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，那么熄燈方法共有 種.三.解答題（共4小題）19.（2017春?錫山區(qū)校級期中）平面內(nèi)有9個點，其中有4個點共線，其它無 任何三點共線；（1）過任意兩點作直線，有多少條？（2）能確定多少條射線？（3）能確定多少個不同的圓？20.（2017春?翠巒區(qū)校級月考）有一項活動，需在3名老師，8名男同學和5 名女同學中選人參加.（1）若只需一人參加，有多少種不同方法？（2）若需老師、男同學、女同學各一人參加，有多少種不同選法？（3）若需一名老師，一名學生參加，有多少種不同選法？21.（2017春?阜寧縣校級期中）4個男同學和3個女同學站成一排（1）甲乙兩同學之間必須恰有3人，有多少種不同的排法？（