2015年北京市高考數(shù)學(xué)試題及答案(理科)【解析版】(共21頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2015年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題（每小題5分，共40分）1（5分）（2015北京）復(fù)數(shù)i（2i）=（）A1+2iB12iC1+2iD12i考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)分析：利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則解答解答：解：原式=2ii2=2i（1）=1+2i；故選：A點(diǎn)評：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算；關(guān)鍵是熟記運(yùn)算法則注意i2=12（5分）（2015北京）若x，y滿足，則z=x+2y的最大值為（）A0B1CD2考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：不等式的解法及應(yīng)用分析：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，再將目標(biāo)函數(shù)z=x+2y對應(yīng)的直線進(jìn)行

2、平移，即可求出z取得最大值解答：解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的三角形及其內(nèi)部陰影部分，由解得A（，），目標(biāo)函數(shù)z=x+2y，將直線z=x+2y進(jìn)行平移，當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值z最大值=故選：C點(diǎn)評：本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于基礎(chǔ)題3（5分）（2015北京）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）A（2，2）B（4，0）C（4，4）D（0，8）考點(diǎn)：程序框圖菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：圖表型；算法和程序框圖分析：模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的x，y，k的值，當(dāng)k=3時(shí)滿

3、足條件k3，退出循環(huán)，輸出（4，0）解答：解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得x=1，y=1，k=0s=0，i=2x=0，y=2，k=1不滿足條件k3，s=2，i=2，x=2，y=2，k=2不滿足條件k3，s=4，i=0，x=4，y=0，k=3滿足條件k3，退出循環(huán)，輸出（4，0），故選：B點(diǎn)評：本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，正確寫出每次循環(huán)得到的x，y，k的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題4（5分）（2015北京）設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，m是直線且m，“m“是“”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分不要條件D既不充分也不必要條件考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：簡易邏

4、輯分析：m并得不到，根據(jù)面面平行的判定定理，只有內(nèi)的兩相交直線都平行于，而，并且m，顯然能得到m，這樣即可找出正確選項(xiàng)解答：解：m，m得不到，因?yàn)?，可能相交，只要m和，的交線平行即可得到m；，m，m和沒有公共點(diǎn)，m，即能得到m；“m”是“”的必要不充分條件故選B點(diǎn)評：考查線面平行的定義，線面平行的判定定理，面面平行的定義，面面平行的判定定理，以及充分條件、必要條件，及必要不充分條件的概念5（5分）（2015北京）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）A2+B4+C2+2D5考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：空間位置關(guān)系與距離分析：根據(jù)三視圖可判斷直觀圖為：A面ABC，A

5、C=AB，E為BC中點(diǎn)，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC面AEO，AC=，OE=判斷幾何體的各個(gè)面的特點(diǎn)，計(jì)算邊長，求解面積解答：解：根據(jù)三視圖可判斷直觀圖為：OA面ABC，AC=AB，E為BC中點(diǎn)，EA=2，EC=EB=1，OA=1，可得AEBC，BCOA，運(yùn)用直線平面的垂直得出：BC面AEO，AC=，OE=SABC=2×2=2，SOAC=SOAB=×1=SBCO=2×=故該三棱錐的表面積是2，故選：C點(diǎn)評：本題考查了空間幾何體的三視圖的運(yùn)用，空間想象能力，計(jì)算能力，關(guān)鍵是恢復(fù)直觀圖，得出幾何體的性質(zhì)6（5分）（2015北京）設(shè)an是等差數(shù)列，下列結(jié)論

6、中正確的是（）A若a1+a20，則a2+a30B若a1+a30，則若a1+a20，C若若0a1a2，則a2D若a10，則（a2a1）（a2a3）0考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：對選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論解答：解：若a1+a20，則2a1+d0，a2+a3=2a1+3d2d，d0時(shí)，結(jié)論成立，即A不正確；若a1+a20，則2a1+d0，a2+a3=2a1+3d2d，d0時(shí)，結(jié)論成立，即B不正確；an是等差數(shù)列，0a1a2，2a2=a1+a32，a2，即C正確；若a10，則（a2a1）（a2a3）=d20，即D不正確故選：C點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的通

7、項(xiàng)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)7（5分）（2015北京）如圖，函數(shù)f（x）的圖象為折線ACB，則不等式f（x）log2（x+1）的解集是（）Ax|1x0Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x2考點(diǎn)：指、對數(shù)不等式的解法菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：不等式的解法及應(yīng)用分析：在已知坐標(biāo)系內(nèi)作出y=log2（x+1）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合得到不等式的解集解答：解：由已知f（x）的圖象，在此坐標(biāo)系內(nèi)作出y=log2（x+1）的圖象，如圖滿足不等式f（x）log2（x+1）的x范圍是1x1；所以不等式f（x）log2（x+1）的解集是x|1x1；故選C點(diǎn)評：本題考查了數(shù)形結(jié)合求不等式的解集；用到了圖象的平移8（5分）

8、（2015北京）汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下燃油效率情況，下列敘述中正確的是（）A消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油D某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí)，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油考點(diǎn)：函數(shù)的圖象與圖象變化菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：創(chuàng)新題型；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：根據(jù)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，以及圖象，分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可解答：解：對于選項(xiàng)A，消耗1升汽油，乙車行駛的距離比5小的很多，故A錯(cuò)誤；

9、對于選項(xiàng)B，以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最小，故B錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)C，甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，里程為80千米，燃油效率為10，故消耗8升汽油，故C錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)D，因?yàn)樵谒俣鹊陀?0千米/小時(shí)，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正確點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)圖象的識別，關(guān)鍵掌握題意，屬于基礎(chǔ)題二、填空題（每小題5分，共30分）9（5分）（2015北京）在（2+x）5的展開式中，x3的系數(shù)為40（用數(shù)字作答）考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：二項(xiàng)式定理分析：寫出二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式，利用x的指數(shù)為3，求出r，然后求解所求數(shù)值解答：解：（2+x）5的展開式的通

10、項(xiàng)公式為：Tr+1=25rxr，所求x3的系數(shù)為：=40故答案為：40點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的求法，考查計(jì)算能力10（5分）（2015北京）已知雙曲線y2=1（a0）的一條漸近線為x+y=0，則a=考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：運(yùn)用雙曲線的漸近線方程為y=±，結(jié)合條件可得=，即可得到a的值解答：解：雙曲線y2=1的漸近線方程為y=±，由題意可得=，解得a=故答案為：點(diǎn)評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的漸近線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題11（5分）（2015北京）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，）到直線（cos+s

11、in）=6的距離為1考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程分析：化為直角坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式距離公式即可得出解答：解：點(diǎn)P（2，）化為P直線（cos+sin）=6化為點(diǎn)P到直線的距離d=1故答案為：1點(diǎn)評：本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題12（5分）（2015北京）在ABC中，a=4，b=5，c=6，則=1考點(diǎn)：余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；解三角形分析：利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出結(jié)論解答：解：ABC中，a=4，b=5，c=6，cosC=，cosA=sin

12、C=，sinA=，=1故答案為：1點(diǎn)評：本題考查余弦定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)13（5分）（2015北京）在ABC中，點(diǎn)M，N滿足=2，=，若=x+y，則x=，y=考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：平面向量及應(yīng)用分析：首先利用向量的三角形法則，將所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到x，y值解答：解：由已知得到=；由平面向量基本定理，得到x=，y=；故答案為：點(diǎn)評：本題考查了平面向量基本定理的運(yùn)用，一個(gè)向量用一組基底表示，存在唯一的實(shí)數(shù)對（x，y）使，向量等式成立14（5分）（2015北京）設(shè)函數(shù)f（x）=，若a=1，則f（x）的最小值為1；若f（x）恰有2個(gè)零

13、點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a1或a2考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)；分段函數(shù)的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：創(chuàng)新題型；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：分別求出分段的函數(shù)的最小值，即可得到函數(shù)的最小值；分別設(shè)h（x）=2xa，g（x）=4（xa）（x2a），分兩種情況討論，即可求出a的范圍解答：解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=，當(dāng)x1時(shí)，f（x）=2x1為增函數(shù)，f（x）1，當(dāng)x1時(shí)，f（x）=4（x1）（x2）=4（x23x+2）=4（x）21，當(dāng)1x時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)x=時(shí)，f（x）min=f（）=1，設(shè)h（x）=2xa，g（x）=4（xa）（x2a）若在x1時(shí)，h（x）=與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，所以a0，并

14、且當(dāng)x=1時(shí)，h（1）=2a0，所以0a2，而函數(shù)g（x）=4（xa）（x2a）有一個(gè)交點(diǎn)，所以2a1，且a1，所以a1，若函數(shù)h（x）=2xa在x1時(shí)，與x軸沒有交點(diǎn)，則函數(shù)g（x）=4（xa）（x2a）有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)a0時(shí)，h（x）與x軸無交點(diǎn)，g（x）無交點(diǎn)，所以不滿足題意（舍去），當(dāng)h（1）=2a時(shí)，即a2時(shí)，g（x）的兩個(gè)交點(diǎn)為x1=a，x2=2a，都是滿足題意的，綜上所述a的取值范圍是a1，或a2點(diǎn)評：本題考查了分段函數(shù)的問題，以及函數(shù)的零點(diǎn)問題，培養(yǎng)了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力以及分類能力，屬于中檔題三、解答題（共6小題，共80分）15（13分）（2015北京）已知函數(shù)f（x）=s

15、incossin（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在區(qū)間，0上的最小值考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)；三角函數(shù)的周期性及其求法；三角函數(shù)的最值菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)分析：（）運(yùn)用二倍角公式和兩角和的正弦公式，化簡f（x），再由正弦喊話說的周期，即可得到所求；（）由x的范圍，可得x+的范圍，再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求得最小值解答：解：（）f（x）=sincossin=sinx（1cosx）=sinxcos+cosxsin=sin（x+），則f（x）的最小正周期為2；（）由x0，可得x+，即有1，則當(dāng)x=時(shí)，sin（x+）取得最小值1，則有f（x

16、）在區(qū)間，0上的最小值為1點(diǎn)評：本題考查二倍角公式和兩角和的正弦公式，同時(shí)考查正弦函數(shù)的周期和值域，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題16（13分）（2015北京）A，B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時(shí)間（單位：天）記錄如下：A組：10，11，12，13，14，15，16B組；12，13，15，16，17，14，a假設(shè)所有病人的康復(fù)時(shí)間相互獨(dú)立，從A，B兩組隨機(jī)各選1人，A組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙（）求甲的康復(fù)時(shí)間不少于14天的概率；（）如果a=25，求甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長的概率；（）當(dāng)a為何值時(shí)，A，B兩組病人康復(fù)時(shí)間的方差相等？（結(jié)論不要求證明）考點(diǎn)：極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)

17、差；古典概型及其概率計(jì)算公式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：概率與統(tǒng)計(jì)分析：設(shè)事件Ai為“甲是A組的第i個(gè)人”，事件Bi為“乙是B組的第i個(gè)人”，由題意可知P（Ai）=P（Bi）=，i=1，2，7（）事件等價(jià)于“甲是A組的第5或第6或第7個(gè)人”，由概率公式可得；（）設(shè)事件“甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長”C=A4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A7B2A7B3A6B6A7B6，易得P（C）=10P（A4B1），易得答案；（）由方差的公式可得解答：解：設(shè)事件Ai為“甲是A組的第i個(gè)人”，事件Bi為“乙是B組的第i個(gè)人”，由題意可知P（Ai）=P（Bi）=，i=1，2，7（）事件“甲的康復(fù)時(shí)間不少于

18、14天”等價(jià)于“甲是A組的第5或第6或第7個(gè)人”甲的康復(fù)時(shí)間不少于14天的概率P（A5A6A7）=P（A5）+P（A6）+P（A7）=；（）設(shè)事件C為“甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長”，則C=A4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A7B2A7B3A6B6A7B6，P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）P+（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P（A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=（）當(dāng)a為11或18時(shí)，A，B兩組病人康復(fù)時(shí)間的方差相等點(diǎn)評：本題考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式和

19、方差，屬基礎(chǔ)題17（14分）（2015北京）如圖，在四棱錐AEFCB中，AEF為等邊三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC，BC=4，EF=2a，EBC=FCB=60°，O為EF的中點(diǎn)（）求證：AOBE（）求二面角FAEB的余弦值；（）若BE平面AOC，求a的值考點(diǎn)：二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：空間位置關(guān)系與距離；空間角分析：（）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明AOBE（）建立空間坐標(biāo)系，利用向量法即可求二面角FAEB的余弦值；（）利用線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合向量法即可求a的值解答：證明：（）AEF為等邊三角形，O為EF的中點(diǎn)，AO

20、EF，平面AEF平面EFCB，AO平面AEF，AO平面EFCBAOBE（）取BC的中點(diǎn)G，連接OG，EFCB是等腰梯形，OGEF，由（）知AO平面EFCB，OG平面EFCB，OAOG，建立如圖的空間坐標(biāo)系，則OE=a，BG=2，GH=a，BH=2a，EH=BHtan60°=，則E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，0），=（a，0，a），=（a2，0），設(shè)平面AEB的法向量為=（x，y，z），則，即，令z=1，則x=，y=1，即=（，1，1），平面AEF的法向量為，則cos=即二面角FAEB的余弦值為；（）若BE平面AOC，則BEOC，即=0，=（a2，0），=（2，0），=2

21、（a2）3（a2）2=0，解得a=點(diǎn)評：本題主要考查空間直線和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐標(biāo)系利用向量法是解決空間角的常用方法18（13分）（2015北京）已知函數(shù)f（x）=ln，（）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0）處的切線方程；（）求證，當(dāng)x（0，1）時(shí)，f（x）；（）設(shè)實(shí)數(shù)k使得f（x）對x（0，1）恒成立，求k的最大值考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用分析：（1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求在曲線上某點(diǎn)處的切線方程（2）構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明命題成立（3）對k進(jìn)行討論，利用新函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)k的取值范圍解答

22、：解答：（1）因?yàn)閒（x）=ln（1+x）ln（1x）所以又因?yàn)閒（0）=0，所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0）處的切線方程為y=2x（2）證明：令g（x）=f（x）2（x+），則g'（x）=f'（x）2（1+x2）=，因?yàn)間'（x）0（0x1），所以g（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增所以g（x）g（0）=0，x（0，1），即當(dāng)x（0，1）時(shí)，f（x）2（x+）（3）由（2）知，當(dāng)k2時(shí)，f（x）對x（0，1）恒成立當(dāng)k2時(shí)，令h（x）=f（x），則h'（x）=f'（x）k（1+x2）=，所以當(dāng)時(shí)，h'（x）0，因此h（x）在區(qū)間（0，）上單

23、調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，h（x）h（0）=0，即f（x）所以當(dāng)k2時(shí)，f（x）并非對x（0，1）恒成立綜上所知，k的最大值為2點(diǎn)評：本題主要考查切線方程的求法及新函數(shù)的單調(diào)性的求解證明在高考中屬常考題型，難度適中19（14分）（2015北京）已知橢圓C：+=1（ab0）的離心率為，點(diǎn)P（0，1）和點(diǎn)A（m，n）（m0）都在橢圓C上，直線PA交x軸于點(diǎn)M（）求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)（用m，n表示）；（）設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，直線PB交x軸于點(diǎn)N，問：y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得OQM=ONQ？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說明理由考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有

24、專題：創(chuàng)新題型；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；圓錐曲線中的最值與范圍問題分析：（I）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)得出求解即可（II）求解得出M（，0），N（，0），運(yùn)用圖形得出tanOQM=tanONQ，=，求解即可得出即yQ2=xMxN，+n2，根據(jù)m，m的關(guān)系整體求解解答：解：（）由題意得出解得：a=，b=1，c=1+y2=1，P（0，1）和點(diǎn)A（m，n），1n1PA的方程為：y1=x，y=0時(shí)，xM=M（，0）（II）點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)A（m，n）（m0）點(diǎn)B（m，n）（m0）直線PB交x軸于點(diǎn)N，N（，0），存在點(diǎn)Q，使得OQM=ONQ，Q（0，yQ），tanOQM=tanONQ，=，即y

25、Q2=xMxN，+n2=1yQ2=2，yQ=，故y軸上存在點(diǎn)Q，使得OQM=ONQ，Q（0，）或Q（0，）點(diǎn)評：本題考查了直線圓錐曲線的方程，位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用，運(yùn)用代數(shù)的方法求解幾何問題，難度較大，屬于難題20（13分）（2015北京）已知數(shù)列an滿足：a1N*，a136，且an+1=（n=1，2，），記集合M=an|nN*（）若a1=6，寫出集合M的所有元素；（）如集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，證明：M的所有元素都是3的倍數(shù)；（）求集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值考點(diǎn)：數(shù)列遞推式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：創(chuàng)新題型；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法分析：（）a1=6，利用an+1=可求得集合M的所有

26、元素為6，12，24；（）因?yàn)榧螹存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)ak是3的倍數(shù)，由an+1=（n=1，2，），可歸納證明對任意nk，an是3的倍數(shù)；（）分a1是3的倍數(shù)與a1不是3的倍數(shù)討論，即可求得集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值解答：解：（）若a1=6，由于an+1=（n=1，2，），M=an|nN*故集合M的所有元素為6，12，24；（）因?yàn)榧螹存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)ak是3的倍數(shù)，由an+1=（n=1，2，），可歸納證明對任意nk，an是3的倍數(shù)如果k=1，M的所有元素都是3的倍數(shù)；如果k1，因?yàn)閍k=2ak1，或ak=2ak136，所以2ak1是3的倍數(shù)；于是ak1是3的

27、倍數(shù)；類似可得，ak2，a1都是3的倍數(shù)；從而對任意n1，an是3的倍數(shù)；綜上，若集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，則集合M的所有元素都是3的倍數(shù)（）對a136，an=（n=1，2，），可歸納證明對任意nk，an36（n=2，3，）因?yàn)閍1是正整數(shù)，a2=，所以a2是2的倍數(shù)從而當(dāng)n3時(shí)，an是2的倍數(shù)如果a1是3的倍數(shù)，由（）知，對所有正整數(shù)n，an是3的倍數(shù)因此當(dāng)n3時(shí)，an12，24，36，這時(shí)M的元素個(gè)數(shù)不超過5如果a1不是3的倍數(shù)，由（）知，對所有正整數(shù)n，an不是3的倍數(shù)因此當(dāng)n3時(shí)，an4，8，16，20，28，32，這時(shí)M的元素個(gè)數(shù)不超過8當(dāng)a1=1時(shí)，M=1，2，4，8，16，2

28、0，28，32，有8個(gè)元素綜上可知，集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值為8點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，突出考查分類討論思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及推理、運(yùn)算能力，屬于難題2015年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（每小題5分，共40分）1（5分）（2015北京）復(fù)數(shù)i（2i）=（）A1+2iB12iC1+2iD12i2（5分）（2015北京）若x，y滿足，則z=x+2y的最大值為（）A0B1CD23（5分）（2015北京）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）A（2，2）B（4，0）C（4，4）D（0，8）4（5分）（2015北京）設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，m是直線且m，“m“是“”的（）A充分而不必要

29、條件B必要而不充分條件C充分不要條件D既不充分也不必要條件5（5分）（2015北京）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）A2+B4+C2+2D56（5分）（2015北京）設(shè)an是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是（）A若a1+a20，則a2+a30B若a1+a30，則若a1+a20，C若若0a1a2，則a2D若a10，則（a2a1）（a2a3）07（5分）（2015北京）如圖，函數(shù)f（x）的圖象為折線ACB，則不等式f（x）log2（x+1）的解集是（）Ax|1x0Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x28（5分）（2015北京）汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下燃油效率情況，下列敘述中正確的是（）A消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油D某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí)，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油二、填空題（每小題5分，共30分）9（5分）（2015北京）在（2+x）5的展開式中，x3的系數(shù)為（用數(shù)字作答）10（5分）（2015北京）已知雙曲線y2=1（a0）的一條漸近線為x+y=0，則a=11（5分）（2015北京）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，）到直線（c