第八知識(shí)塊平面解析幾何初步、圓錐曲線與方程(第6課時(shí)-第9課時(shí)) (1)

1、掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡(jiǎn)單性質(zhì)掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡(jiǎn)單性質(zhì) 第第6 6課時(shí)課時(shí) 橢圓橢圓【命題預(yù)測(cè)【命題預(yù)測(cè)】 1本講主要考查橢圓的基本概念和性質(zhì)，用待定系數(shù)法求橢圓方本講主要考查橢圓的基本概念和性質(zhì)，用待定系數(shù)法求橢圓方 程，橢圓第一、二定義的綜合運(yùn)用，橢圓中各量的計(jì)算，關(guān)于離程，橢圓第一、二定義的綜合運(yùn)用，橢圓中各量的計(jì)算，關(guān)于離 心率心率e的題目為熱點(diǎn)問題，各種題型均有考查，屬中檔題的題目為熱點(diǎn)問題，各種題型均有考查，屬中檔題2考綱要求掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，所考綱要求掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，所 以，近幾年的高考試

2、題一直在客觀題中考查定義、性質(zhì)的理解和以，近幾年的高考試題一直在客觀題中考查定義、性質(zhì)的理解和 運(yùn)用，在解答題中考查軌跡問題和直線與橢圓的位置關(guān)系運(yùn)用，在解答題中考查軌跡問題和直線與橢圓的位置關(guān)系3在解析幾何與向量的交匯處設(shè)計(jì)高考題，是近年來高考中一個(gè)在解析幾何與向量的交匯處設(shè)計(jì)高考題，是近年來高考中一個(gè) 新的亮點(diǎn)，主要考查：新的亮點(diǎn)，主要考查：(1)將向量作為工具解答橢圓問題；將向量作為工具解答橢圓問題；(2)以以 解析幾何為載體，將向量作為條件融入題設(shè)條件中解析幾何為載體，將向量作為條件融入題設(shè)條件中4利用數(shù)形結(jié)合法或?qū)⑺鼈兊姆匠探M成的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次利用數(shù)形結(jié)合法或?qū)⑺鼈兊姆匠探M成的

3、方程組轉(zhuǎn)化為一元二次 方程，利用判別式、根與系數(shù)關(guān)系來求解或證明直線與圓錐曲方程，利用判別式、根與系數(shù)關(guān)系來求解或證明直線與圓錐曲 線的位置關(guān)系問題線的位置關(guān)系問題 【應(yīng)試對(duì)策【應(yīng)試對(duì)策】 率率e確定橢圓的形狀，焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離確定橢圓的形狀，焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離p確定橢圓的大確定橢圓的大小注意焦點(diǎn)在小注意焦點(diǎn)在x軸和軸和y軸上對(duì)應(yīng)的橢圓方程的區(qū)別和聯(lián)系涉軸上對(duì)應(yīng)的橢圓方程的區(qū)別和聯(lián)系涉及橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離問題，常常要注意運(yùn)用第一定及橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離問題，常常要注意運(yùn)用第一定義，而涉及橢圓上的點(diǎn)到某一焦點(diǎn)的距離，常常用橢圓的第二義，而涉及橢圓上的點(diǎn)到某一焦點(diǎn)的距離，常常用

4、橢圓的第二定義對(duì)于后者，需要注意的是焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的正確對(duì)應(yīng)，不能定義對(duì)于后者，需要注意的是焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的正確對(duì)應(yīng)，不能弄錯(cuò)弄錯(cuò)1在運(yùn)用橢圓的兩種定義解題時(shí)，一定要注意隱含條件在運(yùn)用橢圓的兩種定義解題時(shí)，一定要注意隱含條件ac，離心，離心問題；準(zhǔn)確把握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征以及問題；準(zhǔn)確把握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征以及“標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)”的含義；要的含義；要能從橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中讀出幾何性質(zhì)，能夠利用標(biāo)準(zhǔn)方程解決問能從橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中讀出幾何性質(zhì)，能夠利用標(biāo)準(zhǔn)方程解決問題橢圓的幾何性質(zhì)是需要重點(diǎn)掌握的內(nèi)容，要能夠熟練運(yùn)用其幾題橢圓的幾何性質(zhì)是需要重點(diǎn)掌握的內(nèi)容，要能夠熟練運(yùn)用其幾何性質(zhì)來分析和解決問題特別是橢圓的離

5、心率，作為橢圓的幾何何性質(zhì)來分析和解決問題特別是橢圓的離心率，作為橢圓的幾何性質(zhì)之一，是高考的熱點(diǎn)性質(zhì)之一，是高考的熱點(diǎn) 2考綱要求掌握橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，靈活運(yùn)用橢圓的定義來解決考綱要求掌握橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，靈活運(yùn)用橢圓的定義來解決得到一個(gè)關(guān)于得到一個(gè)關(guān)于x(或或y)的一元二次方程，再求判別式或應(yīng)用根與系數(shù)的一元二次方程，再求判別式或應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系解題由判別式可以得到字母關(guān)系的范圍；利用根與系數(shù)關(guān)系、關(guān)系解題由判別式可以得到字母關(guān)系的范圍；利用根與系數(shù)關(guān)系、數(shù)形結(jié)合的思想和數(shù)形結(jié)合的思想和“設(shè)而不求設(shè)而不求”的方法可以解決中點(diǎn)弦或弦的垂直的方法可以解決中點(diǎn)弦或弦的垂直等問題橢圓在解答

6、題的考查中計(jì)算量比較大，要有簡(jiǎn)化運(yùn)算的意等問題橢圓在解答題的考查中計(jì)算量比較大，要有簡(jiǎn)化運(yùn)算的意識(shí)：可先運(yùn)算字母關(guān)系，最后代入數(shù)值，這樣做可減少運(yùn)算錯(cuò)誤，識(shí)：可先運(yùn)算字母關(guān)系，最后代入數(shù)值，這樣做可減少運(yùn)算錯(cuò)誤，提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性3解決直線與橢圓問題的通法是：將直線和橢圓的方程聯(lián)立、消元，解決直線與橢圓問題的通法是：將直線和橢圓的方程聯(lián)立、消元，4由于平面向量具有由于平面向量具有“雙重性雙重性”，與平面解析幾何在本質(zhì)上有密切的聯(lián)，與平面解析幾何在本質(zhì)上有密切的聯(lián)，因此，在解答此類問題時(shí)，要充分抓住垂直、平行、長(zhǎng)度、夾角的關(guān)系，因此，在解答此類問題時(shí)，要充分抓住垂直、平行、長(zhǎng)度、夾

7、角的關(guān)系，將向量的表達(dá)形式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式將向量的表達(dá)形式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式【知識(shí)拓展【知識(shí)拓展】 焦點(diǎn)三角形焦點(diǎn)三角形橢圓上的點(diǎn)橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形PF1F2稱作焦點(diǎn)三角形，稱作焦點(diǎn)三角形，如圖，如圖，F(xiàn)1PF2. (1)=arccos 當(dāng)當(dāng)r1=r2時(shí)，即時(shí)，即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大，且最大，且max=arccos(2) 當(dāng)當(dāng)|y0|b，即，即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，為短軸端點(diǎn)時(shí)，SPF1F2最大，且最大值為最大，且最大值為bc. 2焦點(diǎn)弦焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦過焦點(diǎn)的弦)AB為橢圓為橢圓 (abc)的焦點(diǎn)弦，的焦點(diǎn)弦，A(x1，y1)，B(x2，y

8、2)，弦，弦中中點(diǎn)點(diǎn)M(x0，y0)則弦長(zhǎng)則弦長(zhǎng)l2ae(x1x2)2a2ex0, 通徑最短通徑最短lmin 1橢圓的定義橢圓的定義 (1)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓必須滿足的兩個(gè)條件：平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓必須滿足的兩個(gè)條件：到兩個(gè)定點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的的距離的 等于常數(shù)等于常數(shù)2a(a0)2a F1F2. (2)上述橢圓的焦點(diǎn)是上述橢圓的焦點(diǎn)是 ，橢圓的焦距是橢圓的焦距是 . 思考：思考：當(dāng)當(dāng)2aF1F2時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形？時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形？ 提示：提示：當(dāng)當(dāng)2aF1F2時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2. 和和F1、F2F1F22橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

9、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 1(ab0) 1(ab0)圖形圖形性性質(zhì)質(zhì)范圍范圍 x ， y x ， y 對(duì)稱性對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心：對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心：原點(diǎn)原點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)A1 ，A2 B1 B2A1 ，A2B1 ，B2焦距焦距|F1F2|離心率離心率e準(zhǔn)線準(zhǔn)線方程方程xya，b，c的關(guān)系的關(guān)系c2abababba(a,0)(a,0)(0，b)(0，b)(0，a)(0，a)(b,0)(b,0)2c(0,1)a2b2 0的點(diǎn)的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是圍是_答案：答案： 1(2010東臺(tái)中學(xué)高三診斷東臺(tái)中學(xué)高三診斷)已知

10、已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足探究：探究：橢圓的離心率的大小與橢圓的扁平程度有怎樣的關(guān)系？橢圓的離心率的大小與橢圓的扁平程度有怎樣的關(guān)系？提示：提示：離心率越接近離心率越接近1，橢圓越扁，離心率越接近，橢圓越扁，離心率越接近0，橢圓就越，橢圓就越接近于圓接近于圓 2已知橢圓的方程是已知橢圓的方程是 1(a5)，它的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，它的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，且且F1F28，弦，弦AB過過F1，則，則ABF2的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為_ 解析：解析：a5，橢圓的焦點(diǎn)在橢圓的焦點(diǎn)在x軸上軸上a22542，a . 由橢圓的定義知由橢圓的定義知ABF2的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為4a4 答案：

11、答案：4 3中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若長(zhǎng)軸長(zhǎng)為軸上，若長(zhǎng)軸長(zhǎng)為18，且兩個(gè)焦點(diǎn)恰好將，且兩個(gè)焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分，則此橢圓的方程是長(zhǎng)軸三等分，則此橢圓的方程是_解析：解析：2a18,2c 2a6，a9，c3，b281972. 答案：答案： 4(揚(yáng)州市高三期末調(diào)研揚(yáng)州市高三期末調(diào)研)已知已知F1 、F2是橢圓是橢圓 的左、右焦點(diǎn)，弦的左、右焦點(diǎn)，弦AB過過F1，若，若ABF2的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為8，則橢圓的離，則橢圓的離心率為心率為_ 解析：解析：由題意知，由題意知，ABF2的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為8，根據(jù)橢圓定義得，根據(jù)橢圓定義得4a8，即即a2.又又c2a2b21，所以橢圓的離心率，

12、所以橢圓的離心率e 答案：答案： 5橢圓橢圓 上有一點(diǎn)上有一點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為到左準(zhǔn)線的距離為 那么那么P到右焦點(diǎn)的距離為到右焦點(diǎn)的距離為 _ 解析：解析：a5，b3，c4，e 答案：答案：8 PF21028.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程主要有定義法、待定系數(shù)法，有時(shí)還可根據(jù)條件用求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程主要有定義法、待定系數(shù)法，有時(shí)還可根據(jù)條件用代入法用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟是：代入法用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟是：(1)作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，還是在軸上，還是在y軸上，還是兩軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有能個(gè)坐標(biāo)軸都有能(2)設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程設(shè)

13、方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程 (ab0)或或 (ab0) 或或mx2ny21.(3)找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a、b、c的方程組的方程組(4)得方程：解得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求 【例【例1】 (江蘇南通調(diào)研題江蘇南通調(diào)研題)一動(dòng)圓與已知圓一動(dòng)圓與已知圓O1：(x3)2y21外切，與圓外切，與圓 O2：(x3)2y281內(nèi)切，試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程內(nèi)切，試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程 思路點(diǎn)撥：思路點(diǎn)撥：兩圓相切，圓心之間的距離與圓半徑有關(guān)，據(jù)此可以找到兩圓相切，圓心之間的距離與圓半徑有關(guān)，據(jù)此可以找到動(dòng)圓圓心滿足的條件

14、動(dòng)圓圓心滿足的條件 解：解：由已知，兩定圓的圓心和半徑分別是由已知，兩定圓的圓心和半徑分別是O1(3,0)，r11；O2(3,0)，r29.設(shè)動(dòng)圓圓心為設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為半徑為R，則由題設(shè)條件，可知，則由題設(shè)條件，可知MO11R，MO29R.MO1MO210.由橢圓的定義知：由橢圓的定義知：M在以在以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)的橢圓上，且為焦點(diǎn)的橢圓上，且a5，c3，b2a2c225916.故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為 變式變式1：已知圓已知圓A：(x3)2y2100，圓圓A內(nèi)一定點(diǎn)內(nèi)一定點(diǎn)B(3,0)，動(dòng)圓動(dòng)圓P 過過B點(diǎn)且與圓點(diǎn)且與圓A內(nèi)切，求圓心內(nèi)切，求圓心P的軌跡方

15、程的軌跡方程. . 解：解：設(shè)設(shè)|PB|r.圓圓P與圓與圓A內(nèi)切，圓內(nèi)切，圓A的半徑為的半徑為10，兩圓的圓心距兩圓的圓心距PA10r，即即PAPB10(大于大于AB)點(diǎn)點(diǎn)P的軌跡是以的軌跡是以A、B兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓2a10,2cAB6.a5，c3.b2a2c225916，即點(diǎn)即點(diǎn)P的軌跡方程為的軌跡方程為 1橢圓的性質(zhì)常涉及一些不等關(guān)系，例如對(duì)橢圓橢圓的性質(zhì)常涉及一些不等關(guān)系，例如對(duì)橢圓 (ab0)， 有有axa，byb,0e1等，在求與橢圓有關(guān)的一些量的范圍，等，在求與橢圓有關(guān)的一些量的范圍，或者求這些量的最大值或最小值時(shí)，經(jīng)常用到這些不等關(guān)系或者求這些量的最大值或最小值時(shí)

16、，經(jīng)常用到這些不等關(guān)系 2求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，即使不畫出圖形，求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，即使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形當(dāng)涉及到頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形當(dāng)涉及到頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系 關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于e的等式或不等式，從而求出的等式或不等式，從而求出e的值或范圍離心率的值或范圍離心率e與與a、b的關(guān)系：的關(guān)系： 3 求橢圓離心率問題，應(yīng)先將求橢圓離心率問題，應(yīng)先將e用有關(guān)的一些

17、量表示出來，再利用其中的一些用有關(guān)的一些量表示出來，再利用其中的一些的兩焦點(diǎn)為的兩焦點(diǎn)為F1、 F2 , P是橢圓上一點(diǎn)且是橢圓上一點(diǎn)且 =0，試求該橢圓的離心率，試求該橢圓的離心率e的取值范圍的取值范圍思路點(diǎn)撥：思路點(diǎn)撥：利用利用0 x2a2建立關(guān)于建立關(guān)于a與與c的不等式的不等式 【例【例2】即即 又又 聯(lián)立聯(lián)立消去消去y得：得：e2x c2b2，又，又c2a2b2，e2 2c2a2. 據(jù)題意，據(jù)題意，P點(diǎn)在橢圓上，但不在點(diǎn)在橢圓上，但不在x軸上，軸上，0 于是于是02c2a2b0)上任意一點(diǎn)，上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1為其左焦點(diǎn)為其左焦點(diǎn) (1)求求|PF1|的最小值和最大值；的最小值和最大值；

18、(2)在橢圓在橢圓 上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)P，使這點(diǎn)與橢圓兩焦點(diǎn)的連線互相垂直，使這點(diǎn)與橢圓兩焦點(diǎn)的連線互相垂直 思路點(diǎn)撥：思路點(diǎn)撥：用用x0，a，e表示表示PF1，(1)利用利用PF1與與x0，a，e之間的關(guān)系之間的關(guān)系求最值；求最值；(2)用用PF1、PF2與與x0，a，e之間的關(guān)系及勾股定理列出之間的關(guān)系及勾股定理列出x0，a，e的方程，并求的方程，并求x0. 解：解：(1)對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于F1的準(zhǔn)線方程為的準(zhǔn)線方程為x PF1aex0.又又ax0a， 當(dāng)當(dāng)x0a時(shí)時(shí)，PF1mina 當(dāng)當(dāng)x0a時(shí)，時(shí)，PF1maxa(2)a225，b25，c220，e2 (aex0)2(aex0)24c2.將數(shù)據(jù)

19、代入得將數(shù)據(jù)代入得25 代入橢圓方程得代入橢圓方程得P P點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為 變式變式3：已知點(diǎn)已知點(diǎn)P在橢圓在橢圓 1(ab0)上，上， F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)， 求求PF1PF2的取值范圍的取值范圍 解：解：設(shè)設(shè)P(x0，y0)，橢圓的準(zhǔn)線方程為，橢圓的準(zhǔn)線方程為y 不妨設(shè)不妨設(shè)F1、F2分別為下分別為下焦點(diǎn)、上焦點(diǎn)，則焦點(diǎn)、上焦點(diǎn)，則 PF2a PF1PF2 當(dāng)當(dāng)y00時(shí)，時(shí)，PF1PF2最大，最大值為最大，最大值為a2；當(dāng)；當(dāng)y0a時(shí)，時(shí)，PF1PF2最最小，最小值為小，最小值為a2c2b2.因此，因此，PF1PF2的取值范圍是的取值范圍是b2，a2 y0a，a

20、y0a， 1直線與橢圓位置關(guān)系的判定直線與橢圓位置關(guān)系的判定 把橢圓方程把橢圓方程 1(ab0)與直線方程與直線方程yk kxb聯(lián)立消去聯(lián)立消去y，整理，整理 成形如成形如Ax2BxC0的形式，對(duì)此一元二次方程有：的形式，對(duì)此一元二次方程有：(1)0，直線，直線與橢圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)與橢圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)(2)0，直線與橢圓相切，有一個(gè)公共，直線與橢圓相切，有一個(gè)公共點(diǎn)點(diǎn)(3)b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2， 點(diǎn)點(diǎn)P在橢圓在橢圓C上，且上，且PF1F1F2，PF1 (1)求橢圓求橢圓C的方程；的方程； (2)若直線若直線l過圓過圓x2y24x2y0的圓心的圓心M，交橢圓交橢圓C于

21、于A，B兩兩 點(diǎn)，且點(diǎn)，且A，B關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，求直線對(duì)稱，求直線l的方程的方程 思路點(diǎn)撥：思路點(diǎn)撥：(1)可根據(jù)橢圓定義來求橢圓方程；可根據(jù)橢圓定義來求橢圓方程；(2)解法一：設(shè)斜率為解法一：設(shè)斜率為k k，表示出直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，表示出直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解；利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解；解法二：設(shè)出解法二：設(shè)出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，作差變形，利用中點(diǎn)兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，作差變形，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及斜率求解坐標(biāo)公式及斜率求解(即點(diǎn)差法即點(diǎn)差法) 解：解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓在橢圓C上，所以上，所以2aPF

22、1PF26，a3. 在在RtPF1F2中，中，F(xiàn)1F2 故橢圓的半焦距故橢圓的半焦距c 從而從而b2a2c24，所以橢圓所以橢圓C的方程為的方程為 (2)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)已知圓的方程為已知圓的方程為(x2)2(y 1)25，所以圓心所以圓心M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2,1)，從而可設(shè)直線從而可設(shè)直線l l的方程為：的方程為：yk k(x 2)1，代入橢圓代入橢圓C的方程得：的方程得：(49k k2)x2(36k k218k k)x36k k236k k270. 因?yàn)橐驗(yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，所以對(duì)稱，所以 2，解得解得k k 所以直線所以直線l

23、的方程為的方程為y (x2)1，即，即8x9y250.(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意線方程符合題意)變式變式4：斜率為斜率為1的直線的直線l與橢圓與橢圓 y21相交于相交于A、B兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)，則 AB的最大值為的最大值為_解析：解析：設(shè)橢圓截直線于設(shè)橢圓截直線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)，由 消去消去y，得，得5x28tx4(t21)0.則有則有x1x2 t，x1x2 .AB |x1x2| ，當(dāng)，當(dāng)t0時(shí)，時(shí)，|AB|max 2(1)如果已知橢圓如果已知橢圓 1(ab0)上一點(diǎn)上一點(diǎn)P，需要解決有關(guān)，需要解決有關(guān) PF1F2的問題，由于在的問題，由于在PF1F

24、2中已知中已知F1F22c， PF1PF22a，如果再給出一個(gè)條件，如果再給出一個(gè)條件，PF1F2可可 解解(2)當(dāng)然如果涉及到橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，也可當(dāng)然如果涉及到橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，也可 考慮由考慮由 和方程推出的結(jié)論和方程推出的結(jié)論焦半徑公式焦半徑公式 PF1aex0，PF2aex0.【規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié)】1求橢圓方程：求橢圓方程：(1)可通過對(duì)條件的可通過對(duì)條件的“量化量化”根據(jù)兩個(gè)條件利用待根據(jù)兩個(gè)條件利用待 定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)可利用求軌跡方程的方法求可利用求軌跡方程的方法求橢圓方程橢圓方程3在掌握橢圓簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)上，能對(duì)橢圓性

25、質(zhì)有更多的了在掌握橢圓簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)上，能對(duì)橢圓性質(zhì)有更多的了 解，如解，如(1)ac與與ac分別為橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值和最小分別為橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值和最小 值；值；(2)橢圓的通徑橢圓的通徑(過焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦過焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦)長(zhǎng)長(zhǎng) ，是過橢圓焦，是過橢圓焦 點(diǎn)的直線被橢圓所截得的弦長(zhǎng)的最小值等點(diǎn)的直線被橢圓所截得的弦長(zhǎng)的最小值等4求橢圓的離心率求橢圓的離心率e ，可根據(jù)已知條件列出一個(gè)關(guān)于，可根據(jù)已知條件列出一個(gè)關(guān)于a、b、c 的齊的齊次等式，再結(jié)合次等式，再結(jié)合a2b2c2可得關(guān)于可得關(guān)于e的方程求解，求橢圓的離心率的方程求解，求橢圓的離心率與求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比

26、較，比求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程少一個(gè)條件與求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，比求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程少一個(gè)條件. 【例【例5】 (2009重慶卷重慶卷)已知橢圓已知橢圓 1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別的左、右焦點(diǎn)分別 為為F1(c,0)、F2(c,0)，若橢圓上存在點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P使使 ，則該橢圓的離心率的取值范圍為則該橢圓的離心率的取值范圍為_分析：分析：在在PF1F2中根據(jù)正弦定理建立關(guān)系式和已知條件比中根據(jù)正弦定理建立關(guān)系式和已知條件比較尋找關(guān)于離心率較尋找關(guān)于離心率e的不等式的不等式【高考真題高考真題】規(guī)范解答：規(guī)范解答：根據(jù)已知條件根據(jù)已知條件PF1F2，PF2F1都不等于都不等于0，即點(diǎn)即點(diǎn)P不是橢圓的

27、不是橢圓的左、右頂點(diǎn)，故左、右頂點(diǎn)，故P，F(xiàn)1，F(xiàn)2構(gòu)成三角形在構(gòu)成三角形在PF1F2中，由正弦中，由正弦定理得定理得 ，則由已知得，則由已知得 ，即即aPF1cPF2.設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，由焦點(diǎn)半徑公式，得，由焦點(diǎn)半徑公式，得PF1aex0，PF2aex0，則，則a(aex0)c(aex0)得得x0 ，由橢圓的幾何性質(zhì)知由橢圓的幾何性質(zhì)知x0a，則，則 a， 整理得整理得e22e10， 解得解得e 1. 又又e(0,1)，故橢圓的離心率，故橢圓的離心率e( 1,1) 故填故填( 1,1) 答案答案：( 1, 11, 1) ) 【全解密全解密】【命題探究命題探究】本題考查橢圓的定義、橢圓

28、的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、正弦定理等基礎(chǔ)知本題考查橢圓的定義、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、正弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，但試題的核心考查點(diǎn)是分析問題、解決問題的能力，試題給出的識(shí)，但試題的核心考查點(diǎn)是分析問題、解決問題的能力，試題給出的 實(shí)際上是給出了這個(gè)橢圓上點(diǎn)實(shí)際上是給出了這個(gè)橢圓上點(diǎn)P到左、右焦點(diǎn)的兩條焦半徑之間的一個(gè)等量關(guān)系，到左、右焦點(diǎn)的兩條焦半徑之間的一個(gè)等量關(guān)系，要求考生根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系建立關(guān)于離心率的不等式，對(duì)能力有較高的要要求考生根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系建立關(guān)于離心率的不等式，對(duì)能力有較高的要求試題設(shè)計(jì)新穎，是一道值得仔細(xì)品味的試題求試題設(shè)計(jì)新穎，是一道值得仔細(xì)品味的試題橢圓的焦點(diǎn)半徑橢圓的焦點(diǎn)半徑如果在橢圓如

29、果在橢圓C： 1(ab0)中，點(diǎn)中，點(diǎn)P(x0，y0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，則分別為左、右焦點(diǎn)，則PF1aex0，PF2aex0，F(xiàn)1F22c，e為橢圓的離心率，其證明過程如下：為橢圓的離心率，其證明過程如下：由于由于 1，故，故 ，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式PF1 =又由于又由于ax0a，所以，所以0ca x0aca，故，故PF1 x0aaex0；根據(jù)橢；根據(jù)橢圓定義圓定義PF22aPF12a(aex0)aex0，F(xiàn)1F22c.【知識(shí)鏈接知識(shí)鏈接】注：注：(1)通常把通常把PF1、PF2稱為該橢圓的左、右焦點(diǎn)半徑，從這個(gè)規(guī)律可以看出焦點(diǎn)稱為該橢圓的左、右焦點(diǎn)半徑，從這

30、個(gè)規(guī)律可以看出焦點(diǎn)在在x軸上的橢圓的焦點(diǎn)半徑只與點(diǎn)軸上的橢圓的焦點(diǎn)半徑只與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)有關(guān)，同理可以寫出焦點(diǎn)在的橫坐標(biāo)有關(guān)，同理可以寫出焦點(diǎn)在y軸上的橢軸上的橢圓的焦點(diǎn)半徑圓的焦點(diǎn)半徑(2)由由PF1aex0知當(dāng)知當(dāng)x0a時(shí)，時(shí)，PF1最小，當(dāng)最小，當(dāng)x0a時(shí)，時(shí)，PF1最大最大(雖然這時(shí)雖然這時(shí)F1，F(xiàn)2已經(jīng)不能構(gòu)成三角形，但我們上面的推導(dǎo)并沒有用到已經(jīng)不能構(gòu)成三角形，但我們上面的推導(dǎo)并沒有用到P，F(xiàn)1，F(xiàn)2構(gòu)成三角形這個(gè)條構(gòu)成三角形這個(gè)條 件件) 【方法探究方法探究】橢圓離心率范圍問題基本分析思路：求解橢圓的離心率實(shí)際上橢圓離心率范圍問題基本分析思路：求解橢圓的離心率實(shí)際上就是建立一個(gè)關(guān)于

31、離心率的不等式，這個(gè)不等式可以通過建立就是建立一個(gè)關(guān)于離心率的不等式，這個(gè)不等式可以通過建立a，b，c的不等的不等式達(dá)到目的，在橢圓中建立不等式有如下一些思考途徑：一是橢圓幾何性質(zhì)，式達(dá)到目的，在橢圓中建立不等式有如下一些思考途徑：一是橢圓幾何性質(zhì)，如根據(jù)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍與已知條件建立不等式；二是涉及直線與橢圓如根據(jù)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍與已知條件建立不等式；二是涉及直線與橢圓相交時(shí)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后所得到的一元二次方程的判別式大相交時(shí)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后所得到的一元二次方程的判別式大于零；三是題目中給出的或能夠根據(jù)已知條件得出的不等關(guān)系式于零；三是題目中給出的或能夠根

32、據(jù)已知條件得出的不等關(guān)系式【技巧點(diǎn)撥技巧點(diǎn)撥】在橢圓中，當(dāng)橢圓上的點(diǎn)不是其長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)與橢在橢圓中，當(dāng)橢圓上的點(diǎn)不是其長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)三角形，這個(gè)三角形中一個(gè)邊長(zhǎng)等于焦距，另兩個(gè)圓的兩個(gè)焦點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)三角形，這個(gè)三角形中一個(gè)邊長(zhǎng)等于焦距，另兩個(gè)邊長(zhǎng)之和等于長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，在這個(gè)三角形中利用正余弦定理可以巧妙地解決一些邊長(zhǎng)之和等于長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，在這個(gè)三角形中利用正余弦定理可以巧妙地解決一些問題問題【發(fā)散思維發(fā)散思維】本題也可以按如下方法解答：據(jù)本題也可以按如下方法解答：據(jù)“規(guī)范解答規(guī)范解答”知知PF1 PF2，由橢圓，由橢圓的定義知的定義知PF1PF22a

33、，則，則 PF2PF22a，即，即PF2 .由橢圓的幾何性質(zhì)由橢圓的幾何性質(zhì)知知PF2ac，則，則 0，所以，所以e22e10，從而可求出離心，從而可求出離心率率e的范圍的范圍【誤點(diǎn)警示【誤點(diǎn)警示】本題易出現(xiàn)的一個(gè)致命的錯(cuò)誤就是忽視了隱含條件本題易出現(xiàn)的一個(gè)致命的錯(cuò)誤就是忽視了隱含條件“PF1F2，PF2F1都不能等于都不能等于0”，這樣會(huì)導(dǎo)致在最后的答案中含有離心率等于，這樣會(huì)導(dǎo)致在最后的答案中含有離心率等于 1.解答解答數(shù)學(xué)題目要注意對(duì)隱含條件的挖掘，確保答案準(zhǔn)確無誤，特別是解答選擇題和填數(shù)學(xué)題目要注意對(duì)隱含條件的挖掘，確保答案準(zhǔn)確無誤，特別是解答選擇題和填空題尤為如此空題尤為如此. 1已知橢圓已知橢圓x2 1和直線和直線y2xm恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求兩交點(diǎn)連線的恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求兩交點(diǎn)連線的 中點(diǎn)軌跡方程中點(diǎn)軌跡方程分析：分析：解決直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，除利用根與系數(shù)關(guān)系外，也可以解決直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，除利用根與系數(shù)關(guān)系外，也可以